Universo das funções - parte 1 (revisão)

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É conveniente saber-se de cor o aspeto dos gráficos de várias funções.

Funções afins/lineares

(1)
\begin{align} y=mx+b, \quad \quad x \in \mathbb{R}. \end{align}

Há quatro configurações possíveis para o gráfico de uma tal função, consoante o declive $m$ e a ordenada na origem $b$ sejam positivos ou negativos. Explora essas possibilidades fazendo variar os valores de $m$ e $b$ na seguinte interface gráfica:

Funções quadráticas

(2)
\begin{align} y=ax^2+bx+c, \quad \quad x \in \mathbb{R}. \end{align}

Há seis configurações possíveis para o gráfico de uma tal função, consoante o coeficiente $a$ seja positivo ou negativo e o binómio discriminante $d:=b^2-4ac$ seja menor que, igual a ou maior que zero. Explora essas possibilidades fazendo variar os valores de $a$ e $d$ na seguinte interface gráfica:

Funções potências

Acompanha com a interface gráfica abaixo (carrega em "Submeter" para a destacares) a discussão que se segue:

  • No caso de $n \in \mathbb{N}$, há duas configurações possíveis para os gráficos de $y=x^n, \;\;x \in \mathbb{R}$, consoante o expoente $n$ seja par ou ímpar.
  • No caso de $n \in \mathbb{Z}^-$, define-se
(3)
\begin{align} y=x^n := \frac{1}{x^{-n}}, \quad \quad x \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \}, \end{align}

e há também duas configurações possíveis para os gráficos, novamente consoante o expoente seja par ou ímpar (negativo, neste caso).

  • No caso de $n$ da forma $\frac{1}{m}$, para algum $m \in \mathbb{N}$, define-se
(4)
\begin{align} y=x^n = x^{\frac{1}{m}} := \sqrt[m]{x}, \quad \quad \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0 & \mbox{se } m \mbox{ par} \\ x \in \mathbb{R} & \mbox{se } m \mbox{ ímpar} \end{array} \right., \end{align}
1

onde a função $x \mapsto \sqrt[m]{x}$ é a inversa da função $y \mapsto y^m$2 (restrita a $\mathbb{R}_0^+$ quando $m$ é par3). Há aqui também duas configurações possíveis para os gráficos, consoante a paridade do $m$.

Aviso:
A interface gráfica da WolframAlpha considera que o domínio da função real acima é $\mathbb{R}_0^+$ mesmo quando $m$ é ímpar. Trata-se de uma questão de convenção. Não é estritamente necessário fazê-lo.
Produz tu próprio um esboço do gráfico neste caso na parte do domínio que é omitida pela WolframAlpha!

  • No caso de $n$ da forma $\frac{p}{q}$, para $p \in \mathbb Z$ e $q \in \mathbb N$ dados, define-se
(5)
\begin{align} y=x^n = x^{\frac{p}{q}} := (x^{\frac{1}{q}})^p, \qquad x > 0. \end{align}

Podemos dizer, noutros termos, que é a função composta $g \circ f$4, no caso de $f$ representar a função $x \mapsto x^{\frac{1}{q}}$ e de $g$ representar a função $y \mapsto y^p$. Há três configurações possíveis para o gráfico de uma tal função, consoante seja $n < 0$, $0 < n < 1$ ou $n > 1$.

Nota:
Temos em geral omitido casos extremos ou de fronteira na nossa discussão. Por exemplo, vê o que acontece quando $n=0$ ou quando $n=1$!

  • No caso de $n$ ser um número irracional, define-se
(6)
\begin{align} y=x^n := \lim_{k \to \infty} x^{n_k}, \qquad x>0, \end{align}

onde $(n_k)_{k \in \mathbb N}$ é uma qualquer sucessão convergente para $n$ formada por números racionais5. As possíveis configurações para os gráficos neste caso são as mesmas do caso anterior.

Para pensar: Um programa que traça gráficos de funções necessita constantemente de fazer aproximações para conseguir mostrar alguma coisa (mesmo no caso de traçar uma função tão básica como $y=x^2$6). Assim, é o estudo teórico das funções que nos permite, em cada caso, decidir se aquilo que vemos traçado é, de facto, típico para a função em causa. Por exemplo, considera $n=10000$ na interface gráfica acima e diz se o que vês traçado corresponde ou não à realidade.

Exercícios

  1. Resume as possibilidades de configuração dos gráficos de $y=x^n$, $x > 0$, em função do valor de $n \in \mathbb R$ (inclui a consideração de casos de fronteira).
  2. Simplifica a expressão $\sqrt{x^2}$, onde $x$ é um qualquer número real.
  3. Simplifica as expressões para $f \circ g$ e $g \circ f$ sabendo que $f(x) = \sqrt{x+4}$ e $g(x) = x^2-2x-3$. Em cada caso diz também qual o domínio de definição da função composta.
  4. Se $f(x)=\frac{x^2-x}{x-1}$ e $g(x)=x$, é verdade que $f=g$?
  5. Esboça o gráfico de $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x+2 & \mbox{se } x \leq -1 \\ x^2 & \mbox{se } x>-1 \end{array} \right.$ apenas a partir do teu conhecimento das funções envolvidas em cada ramo.
  6. Um retângulo tem 16 m2 de área. Exprime o seu perímetro $p$ em função do comprimento $a$ de um dos seus lados.
  7. Em cada um dos seguintes casos, explica como se obtém o gráfico da função indicada a partir do gráfico da função $y=\sqrt{x}$:
    1. $y=\sqrt{x-2}-1$;
    2. $y=1-2\sqrt{x+3}$.
  8. Identifica três funções $f, g, h$ de tal modo que a função $y=\sqrt[8]{2+|x|}$ corresponda a $f \circ g \circ h$.

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