Universo das funções - parte 2 (revisão)

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Cálculo de inversas

Sejam $f$ e $g$ duas funções reais de variável real. Verifica-se que $f$ e $g$ são inversas uma da outra se e só se

(1)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} y=g(x) \\ x \in D_g \end{array} \right. \;\; \Leftrightarrow \;\; \left\{ \begin{array}{l} x=f(y) \\ y \in D_f \end{array} \right.. \end{align}

No caso afirmativo tem-se além do mais que o contradomínio ou imagem de $f$ (resp. $g$) é $CD_f = f(D_f) = D_g$ (resp. $CD_g = g(D_g) = D_f$).

Exercício

  1. Em cada um dos seguintes casos, determina um domínio adequado onde possas inverter a função $f$ e calcula a sua inversa. Indica também o contradomínio de $f$ no domínio escolhido.
    1. $f(x)=\frac{4x-1}{2x+3}$;
    2. $f(x)=1+\sqrt{2+3x}$.

Funções exponenciais

Vimos anteriormente que faz sentido o cálculo de $x^n$ para qualquer que seja o real $n$ desde que se mantenha o $x$ positivo. No caso de fixarmos a base e considerarmos o expoente como variável obtêm-se as funções exponenciais (de base $a>0$):

(2)
\begin{align} y=a^x, \qquad x \in \mathbb R. \end{align}

Há duas configurações possíveis para os correspondentes gráficos, consoante a base seja inferior ou superior a 1. Explora essas possibilidades atribuindo valores a $a$ na seguinte interface gráfica:

Funções logarítmicas

As funções exponenciais anteriores são injetivas se e só se $a \not= 1$. As inversas para cada tal $a$ são as funções logarítmicas (de base $a$):

(3)
\begin{align} y=\log_a x, \qquad x \in \mathbb R^+. \end{align}
1

Há também duas configurações possíveis para os correspondentes gráficos, novamente consoante a base seja inferior ou superior a 1. Explora essas possibilidades atribuindo valores a $a$ na seguinte interface gráfica:

Exercícios

  1. Diz qual é maior sem fazeres cálculos?
    1. $1,\!25^{-3,5}$ ou $1,\!25^{-2,5}$?
    2. $0,\!25^{2,7}$ ou $0,\!25^{4,3}$?
  2. Considera as funções dadas por: $f(x)=e^{\frac{1}{x}}+2, \quad g(x)=2-3e^{x-1}, \quad h(x)=1-\ln(x+e), \quad i(x)=\ln(4-x^2), \quad j(x)= \frac{\ln (x+1)}{\ln x+1}$.
    1. Determina o domínio de definição de cada uma delas.
    2. Caracteriza $f^{^{-1}}$, $g^{^{-1}}$ e $h^{^{-1}}$.
    3. Calcula os zeros de $i$ e de $j$.
    4. Determina as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção do gráfico de $j$ com a reta de equação $y=1$.

Funções trigonométricas (diretas)

Foram definidas de um modo geométrico no ensino secundário e, para já, não acrescentamos mais nada a essa potencial dificuldade para o seu tratamento analítico2, a não ser referir que deste ponto de vista é conveniente que os ângulos sejam medidos em radianos. Será sempre esta a convenção a usar aqui, se nada for dito em contrário. Supõem-se conhecidas as suas propriedades básicas. Explora a interface gráfica abaixo para recordares os respetivos gráficos:

É ainda em certas ocasiões útil considerar também as funções secante e cossecante, cuja definição se reduz à consideração das funções seno ou cosseno:

(4)
\begin{align} \sec x := \frac{1}{\cos x}; \qquad \csc x := \frac{1}{\sin x}. \end{align}
3

Modifica a interface gráfica acima de modo a produzires os respetivos gráficos.


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