Universo das funções - parte 2 (revisão)

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Cálculo de inversas

Sejam $f$ e $g$ duas funções reais de variável real. Verifica-se que $f$ e $g$ são inversas uma da outra se e só se

(1)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} y=g(x) \\ x \in D_g \end{array} \right. \;\; \Leftrightarrow \;\; \left\{ \begin{array}{l} x=f(y) \\ y \in D_f \end{array} \right.. \end{align}

No caso afirmativo tem-se além do mais que o contradomínio ou imagem de $f$ (resp. $g$) é $CD_f = f(D_f) = D_g$ (resp. $CD_g = g(D_g) = D_f$).

Exercício

1. Em cada um dos seguintes casos, determina um domínio adequado onde possas inverter a função $f$ e calcula a sua inversa. Indica também o contradomínio de $f$ no domínio escolhido.
   1. $f(x)=\frac{4x-1}{2x+3}$;
   2. $f(x)=1+\sqrt{2+3x}$.

Ver soluções ou indicações

1. Soluções:
   1. Escolhendo $D_f=\mathbb R \setminus \{ -3/2 \}$, obtém-se $f^{-1}(x)=\frac{-3x-1}{2x-4}$, $\; x \not= 2, \;$ e $\; CD_f = \mathbb R \setminus \{ 2 \}$.
   2. Escolhendo $D_f = [-2/3,\infty[$, obtém-se $f^{-1}(x)=\frac{1}{3}(x-1)^2-\frac{2}{3}$, $\; x \geq 1, \;$ e $\; CD_f = [1,\infty[$.

Funções exponenciais

Vimos anteriormente que faz sentido o cálculo de $x^n$ para qualquer que seja o real $n$ desde que se mantenha o $x$ positivo. No caso de fixarmos a base e considerarmos o expoente como variável obtêm-se as funções exponenciais (de base $a>0$):

(2)

\begin{align} y=a^x, \qquad x \in \mathbb R. \end{align}

Há duas configurações possíveis para os correspondentes gráficos, consoante a base seja inferior ou superior a 1. Explora essas possibilidades atribuindo valores a $a$ na seguinte interface gráfica:

Funções logarítmicas

As funções exponenciais anteriores são injetivas se e só se $a \not= 1$. As inversas para cada tal $a$ são as funções logarítmicas (de base $a$):

(3)

\begin{align} y=\log_a x, \qquad x \in \mathbb R^+. \end{align}

¹

Há também duas configurações possíveis para os correspondentes gráficos, novamente consoante a base seja inferior ou superior a 1. Explora essas possibilidades atribuindo valores a $a$ na seguinte interface gráfica:

Exercícios

1. Diz qual é maior sem fazeres cálculos?
   1. $1,\!25^{-3,5}$ ou $1,\!25^{-2,5}$?
   2. $0,\!25^{2,7}$ ou $0,\!25^{4,3}$?
2. Considera as funções dadas por: $f(x)=e^{\frac{1}{x}}+2, \quad g(x)=2-3e^{x-1}, \quad h(x)=1-\ln(x+e), \quad i(x)=\ln(4-x^2), \quad j(x)= \frac{\ln (x+1)}{\ln x+1}$.
   1. Determina o domínio de definição de cada uma delas.
   2. Caracteriza $f^{^{-1}}$, $g^{^{-1}}$ e $h^{^{-1}}$.
   3. Calcula os zeros de $i$ e de $j$.
   4. Determina as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção do gráfico de $j$ com a reta de equação $y=1$.

Ver soluções ou indicações

1. Soluções (sabendo de cor as possíveis configurações gráficas das exponenciais):
   1. $1,\!25^{-2,5}$;
   2. $0,\!25^{2,7}$.
2. Soluções:
   1. $D_f=\mathbb R \setminus \{ 0 \}$; $\; D_g=\mathbb R$; $\; D_h=]-e,\infty[$; $\; D_i=]-2,2[$; $\; D_j=]0,\infty[ \setminus \{ e^{-1} \}$.
   2. $f^{^{-1}}:\; ]2,\infty[\backslash\{3\}\to\mathbb{R},\quad x\mapsto\frac{1}{\ln(x-2)}$; $\; g^{^{-1}}:\, ]-\infty,2[\to\mathbb{R},\quad x\mapsto \ln\left(\frac{2-x}{3}\right)+1$; $\; h^{^{-1}}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad x\mapsto e^{1-x}-e$.
   3. Os zeros de $i$ são $\pm\sqrt{3}$. A função $j$ não tem zeros.
   4. $\left(\frac{1}{e-1},1\right).$

Funções trigonométricas (diretas)

Foram definidas de um modo geométrico no ensino secundário e, para já, não acrescentamos mais nada a essa potencial dificuldade para o seu tratamento analítico², a não ser referir que deste ponto de vista é conveniente que os ângulos sejam medidos em radianos. Será sempre esta a convenção a usar aqui, se nada for dito em contrário. Supõem-se conhecidas as suas propriedades básicas. Explora a interface gráfica abaixo para recordares os respetivos gráficos:

É ainda em certas ocasiões útil considerar também as funções secante e cossecante, cuja definição se reduz à consideração das funções seno ou cosseno:

(4)

\begin{align} \sec x := \frac{1}{\cos x}; \qquad \csc x := \frac{1}{\sin x}. \end{align}

³

Modifica a interface gráfica acima de modo a produzires os respetivos gráficos.

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Comentários:

Footnotes

1. Tal como no caso da extração da raiz de índice $m$, embora seja verdade que existe o logaritmo de qualquer número positivo, não se trata de um resultado óbvio.

2. Observa também que para a implementação do seu cálculo em calculadoras e computadores o ponto de vista geométrico não é o mais adequado: estás a ver alguma dessas máquinas a medir comprimentos para conseguir calcular senos e cossenos?

3. Aliás, também a tangente e a cotangente se exprimem facilmente em função do seno e do cosseno: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. E também o seno e o cosseno estão relacionados pelas fórmulas $\cos x = \sin \big(\frac{\pi}{2} - x\big)$ e $\sin x = \cos \big(\frac{\pi}{2} - x\big)$.