1.1 Gráficos, imagens e conjuntos de nível - parte 1 (revisão)

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Vamos considerar três maneiras de representar uma curva em $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$, onde o objeto "curva" não será definido mas deverá englobar os exemplos assim designados abaixo, outros análogos e, eventualmente, alguns não tão análogos assim. Intuitivamente consideraremos que uma curva é um objeto geométrico que tem "uma dimensão" e que exibe "continuidade" e, a maior parte das vezes, "conectividade" (mas o último exemplo em baixo ilustra um caso de falta de "conectividade", onde as curvas podem ser constituídas por pedaços separados) . Exploradas matematicamente, estas ideias permitem incluir muitos objetos que não consideramos intuitivamente como curvas, mas evitaremos fazê-lo, já que, como veremos, iremos habitualmente exigir uma certa "suavidade" ao objeto. Por outro lado, consideraremos que um segmento de reta é uma curva nesta aceção, sendo o mais simples exemplo de curva.

Curva como gráfico de uma função

Exemplo 1: reta não vertical no plano

Gráfico da função

(1)
\begin{align} y=mx+b, \quad x \in \mathbb R, \end{align}

onde a igualdade se diz a equação reduzida da reta de declive $\, m \in \mathbb R \,$ e ordenada na origem $\, b \in \mathbb R \,$.

Exemplo 2: semicircunferência no plano

Gráfico da função

(2)
\begin{align} y=\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}+y_0, \quad x_0-r \leq x \leq x_0+r, \end{align}

onde a igualdade se diz a equação da semicircunferência superior da circunferência de centro em $\, (x_0,y_0) \in \mathbb R^2 \,$ e raio $\, r>0 \,$.

Curva como imagem ou contradomínio de uma aplicação

Exemplo 3: reta no plano ou no espaço

Imagem da aplicação

(3)
\begin{align} P = P_0+t\vec{a}, \quad t \in \mathbb R, \end{align}

onde a igualdade se diz a equação vetorial da reta que passa pelo ponto $P_0$ e tem a direção do vetor $\vec{a} \not= 0$. Consoante o universo para o ponto e o vetor seja $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$, assim se dirá que a reta está no plano ou no espaço, respetivamente.

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: reta-espaco.gcf

Exemplo 4: circunferência no plano

Imagem da aplicação

(4)
\begin{align} P = (x_0,y_0)+r(\cos t,\sin t), \quad t \in \mathbb R, \end{align}

onde a igualdade se diz a equação vetorial da circunferência de centro em $\, (x_0,y_0) \in \mathbb R^2 \,$ e raio $\, r>0 \,$.

Nota que a imagem da aplicação acima é a mesma se $t$ apenas percorrer $[0,2\pi]$, ou até mesmo se percorrer apenas $[0,2\pi[$. Observa também que uma única aplicação/função permite obter a circunferência toda, o que não é possível se se usar a abordagem de curva como gráfico — cf. o Exemplo 2 acima.

Variante que consiste em separar nas coordenadas

Exemplo 5: reta no plano

Se, no Exemplo 3 acima, $P_0=(x_0,y_0)$, $\vec{a}=(a_1,a_2) \not=(0,0)$ e designarmos o ponto genérico $P$ por $(x,y)$, então (3) pode escrever-se, de modo equivalente, como

(5)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = x_0+ta_1 \\ y = y_0+ta_2 \end{array} \right., \quad t \in \mathbb R, \end{align}

sendo estas equações no seu conjunto designadas por equações paramétricas da reta em causa.

Exemplo 6: reta no espaço

Se, no Exemplo 3 acima, $P_0=(x_0,y_0,z_0)$, $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\not=(0,0,0)$ e designarmos o ponto genérico $P$ por $(x,y,z)$, então (3) pode escrever-se, de modo equivalente, como

(6)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = x_0+ta_1 \\ y = y_0+ta_2 \\ z = z_0+ta_3 \end{array} \right., \quad t \in \mathbb R, \end{align}

sendo estas equações no seu conjunto designadas por equações paramétricas da reta em causa.

Exemplo 7: circunferência no plano

Exercício: Procede de modo análogo aos dois exemplos anteriores para obteres a partir de (4) as respetivas equações paramétricas.

Curva como lugar geométrico definido por uma ou mais equações cartesianas

Exemplo 8: reta no plano

Exercício: Mostra que (5) é equivalente à equação

(7)
\begin{equation} -a_2x+a_1y+a_2x_0-a_1y_0 = 0, \end{equation}

no sentido de $(x,y) \in \mathbb R^2$ satisfazer a equação se e só se existe um $t \in \mathbb R$ tal que $(x,y)$ satisfaz o sistema em (5).

A equação (7) tem a forma

(8)
\begin{equation} Ax+By+C = 0, \end{equation}

dizendo-se a equação geral ou cartesiana da reta em causa, neste caso com $(A,B)=(-a_2,a_1)$, que é um vetor ortogonal a $\vec{a}$, e $C=-(-a_2,a_1) \cdot (x_0,y_0)$ (o simétrico do produto interno ou escalar entre $(-a_2,a_1)$ e $(x_0,y_0)$). Observa ainda que a equação (7) também se pode escrever na forma equivalente

(9)
\begin{align} (-a_2,a_1) \cdot ((x,y)-(x_0,y_0)) = 0, \end{align}

a qual tem um significado geométrico evidente.

Exercício: Mostra que qualquer equação da forma $Ax+By+C = 0$, com $A$, $B$ e $C$ números reais dados, representa sempre uma reta no plano e averigua em que condições é equivalente a uma equação do tipo (1).

Exemplo 9: reta no espaço

Exercício: Mostra que, se $a_1, a_2, a_3 \not= 0$, (6) é equivalente ao conjunto de equações

(10)
\begin{align} \frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3}, \end{align}

no sentido de $(x,y,z) \in \mathbb R^3$ satisfazer estas equações se e só se existe um $t \in \mathbb R$ tal que $(x,y,z)$ satisfaz o sistema em (6).

As equações (10) dizem-se as equações cartesianas da reta em causa.

Exemplo 10: circunferência no plano

Exercício: Mostra que (4) é equivalente à equação

(11)
\begin{equation} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, \end{equation}

no sentido de $(x,y) \in \mathbb R^2$ satisfazer esta última equação se e só se existe um $t \in \mathbb R$ tal que $P:=(x,y)$ satisfaz a igualdade em (4).

A equação (11) diz-se a equação cartesiana da circunferência em causa.

Variante que consiste em considerar a curva como conjunto de nível

Tanto (8) como (11) se designam também por conjuntos de nível (neste caso também por curvas de nível), respetivamente das funções

(12)
\begin{align} f(x,y):=Ax+By+C, \quad (x,y) \in \mathbb R^2 \qquad \mbox{e} \qquad g(x,y):=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2, \quad (x,y) \in \mathbb R^2. \end{align}

Mais precisamente, (8) é a curva de nível $0$ de $f$ e (11) é a curva de nível $r^2$ de $g$.

Um das novidades aqui é que estamos a representar curvas à custa da consideração de funções reais de duas variáveis reais, mais propriamente à custa de conjuntos de nível seus.

Exemplo 11: curvas de nível de $f(x,y):=y^2-x^2$

A seguinte figura ilustra graficamente o processo para se obterem as curvas de nível:

(figura e ligação para a qual remete disponibilizadas por cortesia de Ana Breda)

E a figura que se segue dá uma possível representação para algumas curvas de nível da função deste exemplo e onde se podem ver as coordenadas $(x,y)$ do ponto marcado (que não está exatamente sobre nenhuma das curvas de nível destacadas), assim como o respetivo valor da função:

y%5E2-x%5E2.png

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: y^2-x^2.gcf. Se escolheres Graph > Contour Plot no menu do programa verás o que realmente se designa por uma representação em curvas de nível.

Tendo introduzido a ideia de funções reais de duas variáveis reais, podemos tentar repetir o que está para trás substituindo as funções de uma variável por funções de duas variáveis e observar o que obtemos. É o que faremos na parte seguinte.


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