1.1 Gráficos, imagens e conjuntos de nível - parte 2 (revisão)

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Vamos considerar três maneiras de representar uma superfície em $\mathbb R^3$, onde o objeto "superfície" não será definido mas deverá englobar os exemplos assim designados abaixo, outros análogos e, eventualmente, alguns não tão análogos assim. Intuitivamente consideraremos que uma superfície é um objeto geométrico que tem "duas dimensões" e que exibe "continuidade" e, a maior parte das vezes, "conectividade" (mas o último exemplo em baixo ilustra um caso de falta de "conectividade", onde as superfícies podem ser constituídas por pedaços separados). Exploradas matematicamente, estas ideias permitem incluir muitos objetos que não consideramos intuitivamente como superfícies, mas evitaremos fazê-lo, já que, como veremos, iremos habitualmente exigir uma certa "suavidade" ao objeto. Por outro lado, consideraremos que uma "secção" de um plano é uma superfície nesta aceção, sendo o mais simples exemplo de superfície.

Superfície como gráfico de uma função

Exemplo 1: plano não vertical (no espaço)

Gráfico da função

(1)
\begin{align} z=Ax+By+C, \quad (x,y) \in \mathbb R^2, \end{align}

para $A$, $B$ e $C$ números reais dados.

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: plano-nao-vertical.gcf

Observa que a curva de nível $0$ desta função é, de acordo com o explicado anteriormente, a interseção do seu gráfico com o plano $x0y$, considerada no universo deste plano:

(2)
\begin{align} \{ (x,y) \in \mathbb R^2: Ax+By+C=0 \}. \end{align}

Exemplo 2: paraboloide de revolução

Gráfico da função

(3)
\begin{align} z=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2, \quad (x,y) \in \mathbb R^2, \end{align}

para $x_0$ e $y_0$ números reais dados.

Observa que, para um número real $r$ dado, a curva de nível $r^2$ desta função (que é a função $g$ do final da parte anterior) é, de acordo com o explicado anteriormente, a interseção do seu gráfico com o plano horizontal de cota $r^2$, considerada (por projeção) no universo do plano $x0y$:

(4)
\begin{align} \{ (x,y) \in \mathbb R^2: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \}. \end{align}

Superfície como imagem ou contradomínio de uma aplicação

Exemplo 3: plano (no espaço)

Imagem da aplicação

(5)
\begin{align} P = P_0+u\vec{a}+v\vec{b}, \quad (u,v) \in \mathbb R^2, \end{align}

onde a igualdade se diz a equação vetorial do plano que passa pelo ponto $P_0$ e é paralelo aos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, supostos não colineares.

Exemplo 4: paraboloide de revolução

O paraboloide do Exemplo 2 acima pode ser descrito vetorialmente como imagem da aplicação

(6)
\begin{align} P = (x,y,(x-x_0)^2+(y-y_0)^2), \quad (x,y) \in \mathbb R^2, \end{align}

ou mesmo como imagem da aplicação

(7)
\begin{align} P = (x_0,y_0,0)+v(\cos u,\sin u,v), \quad (u,v) \in \mathbb R^2 \end{align}

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: paraboloide-vetorial.gcf. Se abrires este ficheiro verás que a figura foi realmente desenhada como imagem da aplicação (7), neste caso concreto com vértice em $(1,1,0)$.

Nota que a imagem da última aplicação acima é a mesma se $(u,v)$ apenas percorrer $[0,2\pi[ \times \mathbb R_0^+$ (facto de que se tirou partido para reproduzir a figura acima).

Variante que consiste em separar nas coordenadas

Exemplo 5: plano (no espaço)

Se, no Exemplo 3 acima, $P_0=(x_0,y_0,z_0)$, $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$, $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ e designarmos o ponto genérico $P$ por $(x,y,z)$, então (5) pode escrever-se, de modo equivalente, como

(8)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x = x_0+ua_1+vb_1 \\ y = y_0+ua_2+vb_2 \\ z = z_0+ua_3+vb_3 \end{array} \right., \quad (u,v) \in \mathbb R^2, \end{align}

sendo estas equações no seu conjunto designadas por equações paramétricas do plano em causa.

Exemplo 6: paraboloide de revolução

Exercício: Procede de modo análogo ao exemplo anterior para obteres a partir de (6) e de (7) as respetivas equações paramétricas.

Superfície como lugar geométrico definido por uma equação cartesiana

Exemplo 7: plano (no espaço)

Lugar geométrico dos ternos $(x,y,z) \in \mathbb R^3$ que satisfazem a equação

(9)
\begin{align} \vec{w} \cdot ((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)) = 0, \end{align}

onde $(x_0,y_0,z_0) \in \mathbb R^3$ é um ponto do plano e $\vec{w} \not= 0$ é um vetor que lhe é ortogonal.

Nota: O vetor $\vec{w}$ na representação acima pode obter-se a partir dos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ na representação (5) através de produto vetorial: $\vec{w} = \vec{a} \times \vec{b}$.

Fazendo as contas, é fácil verificar que a equação (9) tem a forma

(10)
\begin{equation} Ax+By+Cz+D = 0, \end{equation}

dizendo-se a equação geral ou cartesiana do plano em causa, neste caso com $(A,B,C)=\vec{w} \,$ e $\, D=-\vec{w} \cdot (x_0,y_0,z_0)$.

Exercício: Mostra que qualquer equação da forma $Ax+By+Cz+D = 0$, com $A$, $B$, $C$ e $D$ números reais dados, representa sempre um plano (no espaço) e averigua em que condições é equivalente a uma equação do tipo (1).

Exemplo 8: paraboloide de revolução

Exercício: Mostra que (6) (respetivamente (7)) é equivalente à equação

(11)
\begin{equation} z=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2, \end{equation}

no sentido de $(x,y,z) \in \mathbb R^3$ satisfazer esta última equação se e só se existe um par $(x,y) \in \mathbb R^2$ (respetivamente $(u,v) \in \mathbb R^2$) tal que $P:=(x,y,z)$ satisfaz a igualdade em (6) (respetivamente (7)).

A equação (11) diz-se a equação cartesiana do paraboloide em causa.

Variante que consiste em considerar a superfície como conjunto de nível

Tanto (10) como (11) se designam também por conjuntos de nível (neste caso também por superfícies de nível), respetivamente das funções

(12)
\begin{align} f(x,y,z):=Ax+By+Cz+D, \quad (x,y,z) \in \mathbb R^3 \end{align}

e

(13)
\begin{align} g(x,y,z):=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-z, \quad (x,y,z) \in \mathbb R^3. \end{align}

Mais precisamente, (10) é a superfície de nível $0$ de $f$ e (11) é a superfície de nível $0$ de $g$.

Uma das novidades aqui é que estamos a representar superfícies à custa da consideração de funções reais de três variáveis reais, mais propriamente à custa de conjuntos de nível seus.

Exemplo 9: superfícies de nível de $f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2+\sin(4x)+\sin(4y)+\sin(4z)$

Como compreenderás, é impossível representar graficamente esta função, pois isso exigiria quatro variáveis espaciais independentes. Já quanto às superfícies de nível é perfeitamente possível, pois estas vivem em $\mathbb R^3$:

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: superficie-nivel.gcf

Tendo introduzido a ideia de funções reais de três variáveis reais, podemos tentar repetir o que está para trás substituindo as funções de duas variáveis por funções de três variáveis e observar o que obtemos. Mas não iremos fazê-lo.1


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