1.2 Derivadas parciais e extremos globais - parte 1

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Vamo-nos concentrar nas funções e nos seus gráficos (mas veremos que os outros conceitos considerados na secção anterior também serão importantes), principalmente nas funções (reais) de duas ou de três variáveis (reais).

Queremos para estas funções fazer um estudo de certo modo análogo ao que se fez para funções de uma variável, em particular determinando extremos (ou seja, máximos e mínimos) quando eles existam.

Falar de monotonia nesta situação mais geral é um bocado complicado, porque pode haver diferentes monotonias consoante a direção considerada. Já no que diz respeito aos extremos, é fácil perceber que aqui os planos tangentes podem, no caso de funções de duas variáveis (genericamente denotadas por $z=f(x,y)$ num certo domínio de $\mathbb R^2$), desempenhar um papel análogo ao que as retas tangentes desempenham para funções de uma variável: quando há extremos, os planos tangentes aos correspondentes pontos dos gráficos devem ser horizontais (i.e., paralelos ao plano $x0y$).

Não é de estranhar que a consideração de planos tangentes faça uso de alguma noção de derivada, tal como no caso das retas tangentes e funções de uma variável. Por seu lado, neste último caso, a diferenciabilidade é um caso particular da continuidade, que, por sua vez, se define em termos de limites. Vamos, por isso, começar por abordar, mesmo que rapidamente, conceitos correspondentes que nos irão ser úteis para analisar o comportamento de funções de mais de uma variável.

Muitas coisas são parecidas com o que se passa com funções de uma variável, de modo que prosseguiremos por analogia nesta parte, omitindo provas. Além disso, quando nenhuma complicação adicional surgir pela consideração de funções de qualquer número finito $n$ de variáveis, optaremos por trabalhar logo com $\mathbb R^n$ em vez de somente com os casos particulares de $\mathbb R^2$ ou $\mathbb R^3$.

Limite de função (segundo Heine)

Naturalmente, para $f: D \subset \mathbb R^n \to \mathbb R$, diz-se que o limite de $f(X)$ quando $X$ tende para $A \in \mathbb R^n \,$ é $\, b \in \mathbb R$, escrevendo-se

(1)
\begin{align} \lim_{X\to A} f(X) = b, \end{align}

se e só se para qualquer sucessão $(X_k)_{k \in \mathbb N} \subset D \setminus \{ A \}$ convergente para $A$ a correspondente sucessão $(f(X_k))_{k \in \mathbb N} \subset \mathbb R$ das imagens convergir para $b$.

Aqui supõe-se que $A$ é um ponto de acumulação de $D$, i.e., podendo embora $A$ não pertencer a $D$, existe pelo menos uma sucessão de elementos de $D$ diferentes de $A$ que converge para $A$.

Por sua vez, a convergência de $(X_k)_{k \in \mathbb N} \subset \mathbb R^n$ para $A$, que se denota por vezes por

(2)
\begin{align} X_k \mathop{\longrightarrow}_{k \to \infty} A, \end{align}

significa que

(3)
\begin{align} \lim_{k \to \infty} \| X_k-A \| = 0, \end{align}

onde $\| \cdot \|$ é a notação usada para a norma.

Recorda-se que, dado um qualquer $X:=(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb R^n$, a norma de $X$ se define como

(4)
\begin{align} \| X \| := \sqrt{x_1^2+\ldots+x_n^2}. \end{align}

Trata-se da extensão natural a $n>3$ das expressões que, atendendo ao Teorema de Pitágoras, em $\mathbb R^2$ e em $\mathbb R^3$ nos dão a distância de $X$ à origem e que ocupa em $\mathbb R^n$ o lugar que o módulo $| \cdot |$ ocupa em $\mathbb R$. Aliás, no caso $n=1$ verifica-se que $\| X \| = |X|$.

Juntando tudo, a definição de limite de uma função real de várias variáveis reais reduz-se à consideração de limites de sucessões de números reais, assunto já estudado anteriormente. De facto, a definição acima pode parafrasear-se da seguinte maneira:

$\displaystyle \lim_{X\to A} f(X) = b \,$ se e só se sempre que se verificar que $\, \displaystyle \lim_{k \to \infty} \| X_k-A \| = 0 \,$ para uma sucessão $(X_k)_{k \in \mathbb N} \subset D \setminus \{ A \}$ também se verifica que $\, \displaystyle \lim_{k \to \infty} | f(X_k)-b | = 0$.

Por outras palavras ainda,

$\displaystyle \lim_{X\to A} f(X) = b \,$ se e só se sempre que tende para zero a distância a $A$ dos elementos de uma sucessão $(X_k)_{k \in \mathbb N} \subset D \setminus \{ A \}$ também tende para zero a distância a $b$ dos elementos da sucessão $\, (f(X_k))_{k \in \mathbb N}$.

Continuidade

A função $f: D \subset \mathbb R^n \to \mathbb R$ diz-se contínua num ponto de acumulação $A \in D$ se e só se

(5)
\begin{align} \lim_{X\to A} f(X) = f(A). \end{align}

Trata-se da tradução imediata para o contexto de várias variáveis da noção de continuidade num ponto de acumulação de um domínio de uma variável apenas.

No caso de um ponto do domínio que não seja de acumulação (i.e., um ponto isolado) considera-se, também por definição e tal como no contexto de uma variável, que a função é contínua.

Observa que no caso de se saber à partida que uma função é contínua num ponto de acumulação pertencente ao seu domínio, a expressão (5) permite imediatamente dizer qual o valor do limite da função nesse ponto. Interessa, pois, identificar situações comuns onde se sabe que a continuidade se verifica.

Há, de facto, várias funções em que é imediato reconhecer-se que se tratam de funções contínuas no seu domínio. Damos algumas regras nesse sentido. Mesmo sem provas, são suficientemente parecidas com o que se conhece no contexto de uma variável para não causarem surpresa. De modo a não sobrecarregar a notação, dá-las-emos apenas para o caso de uma função $f(x,y,z)$1 de três variáveis, mas correspondentes resultados são válidos para funções de qualquer número finito de variáveis:

As funções constantes (isto é, aquelas que assumem sempre um mesmo valor) são contínuas.

As funções $f(x,y,z)=x$, $f(x,y,z)=y\,$ e $\, f(x,y,z)=z\,$ são contínuas.

A soma, o produto e o quociente de funções contínuas é ainda uma função contínua.

Conjugando isto com as duas regras anteriores, podemos, por exemplo, afirmar que a função

(6)
\begin{align} f(x,y,z)=\frac{2xy+5z^2x}{7y^3z-xyz} \end{align}

é contínua — no seu domínio, é claro, o que exclui os ternos $(x,y,z)$ que anulam o denominador.

A composição de funções contínuas é ainda uma função contínua, isto é, se $f(x,y,z)$ e $g(t)$ forem contínuas então a função que a $(x,y,z)$ faz corresponder $g(f(x,y,z))$ (supondo que tal é possível) é contínua.

Conjugando isto com as regras anteriores ou outras já conhecidas, temos, por exemplo, que a função

(7)
\begin{align} \frac{\exp {x+y}z^2+\sin xyz}{\ln xz+\frac{z}{y^3}} \end{align}

é contínua.

A restrição de uma função contínua a um subconjunto do seu domínio é também uma função contínua.

Ilustrações gráficas

No caso de funções de duas variáveis podemos tentar apreciar geometricamente o significado da continuidade, do valor dos limites ou da falta deles olhando para o gráfico da função.

Exemplo de função contínua em $\mathbb R^2$:

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: sin(x^2+y^2).gcf

Exemplo de função contínua em $\mathbb R^2 \setminus \{ (0,0) \}$ e sem limite em $(0,0)$:

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: xysobre(x^2+y^2).gcf

Extremos absolutos ou globais

Pode ter passado despercebido no enunciado do Teorema de Weierstrass para funções de uma variável, mas é um facto que a hipótese de o intervalo do domínio da função ser limitado e fechado é muito importante para a conclusão de que o contradomínio é também um intervalo limitado e fechado (e, a fortiori, para a conclusão de que f tem extremos absolutos). Aliás, os ingredientes essenciais acerca do domínio da função nesse teorema são as propriedades de ser um conjunto limitado e fechado e não o facto de se tratar de um intervalo.

No caso de funções de várias variáveis reais precisamos assim dos conceitos correspondentes de limitado e de fechado. E mais à frente precisaremos também do conceito de conjunto aberto. Vamos ilustrá-los apenas no caso de funções $f(x,y,z)$ de três variáveis, mas, tal como no caso da continuidade, correspondentes definições ou caracterizações valem no caso geral.

Conjunto limitado

Um conjunto $D$ de ternos ordenados $(x,y,z)$ diz-se limitado se e só se

(8)
\begin{align} \exists M>0:\forall (x,y,z)\in D,\, \| (x,y,z) \| \leq M. \end{align}

Com esta definição temos, por exemplo, que a esfera sólida

(9)
\begin{align} \{ (x,y,z)\in \mathbb R^3:x^2+y^2+z^2\leq 1\} \end{align}

assim como a superfície esférica

(10)
\begin{align} \{ (x,y,z)\in \mathbb R^3:x^2+y^2+z^2 = 1\} \end{align}

são conjuntos limitados: como em ambos os casos se verifica que $\, \| (x,y,z) \| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\leq 1\,$ então podemos escolher $M=1$ na definição acima.

Conjunto fechado e fronteira

Um conjunto $D$ de ternos ordenados $(x,y,z)$ diz-se fechado se e só se contiver a sua fronteira. Entende-se por fronteira de $D$ o conjunto ${\rm fr} D$ formado pelos pontos de $\mathbb R^3$ que podem ser aproximados tanto por sucessões só formadas por pontos de $D$ como por sucessões só formadas por pontos do complementar $D^c$ de $D$.

Por exemplo, a esfera sólida acima considerada é um conjunto fechado porque contém a correspondente superfície esférica, que é de facto a sua fronteira. A própria superfície esférica é um conjunto fechado, pois ela é a sua própria fronteira, logo contém esta.

O seguinte critério dá-nos um processo simples para detetarmos se estamos em presença de um conjunto fechado:

Se um conjunto $D$ de ternos ordenados $(x,y,z)$ de $\mathbb R^3$ é definido por um número finito de conjunções e/ou disjunções de desigualdades do tipo $\, g_1(x,y,z)\leq a_1\,$ e/ou $\, g_2(x,y,z)\geq a_2\,$ e/ou de igualdades do tipo $\, h(x,y,z)= b\,$, onde $a_1$, $a_2$ e $b$ são constantes e $g_1$, $g_2$ e $h$ são funções contínuas em todo o $\mathbb R^3$, então $D$ é um conjunto fechado.

Por exemplo, sai imediatamente por aplicação deste critério que o conjunto

(11)
\begin{align} \{ (x,y,z)\in \mathbb R^3:x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge z\geq -1\wedge xy+z^2\leq 4\} \end{align}

é fechado.

Conjunto aberto, interior e exterior

Um conjunto $D$ de ternos ordenados $(x,y,z)$ diz-se aberto se e só se for disjunto da sua fronteira.

Por exemplo, a esfera sólida

(12)
\begin{align} \{ (x,y,z)\in \mathbb R^3:x^2+y^2+z^2 < 1\} \end{align}

é um conjunto aberto porque é disjunto da correspondente superfície esférica, que é de facto tanto a fronteira desta esfera sólida como da outra mais acima. Em contrapartida, a superfície esférica em causa não é ela própria um conjunto aberto.

O seguinte critério dá-nos um processo simples para detetarmos se estamos em presença de um conjunto aberto:

Se um conjunto $D$ de ternos ordenados $(x,y,z)$ de $\mathbb R^3$ é definido por um número finito de conjunções e/ou disjunções de desigualdades do tipo $\, g_1(x,y,z) < a_1\,$ e/ou $\, g_2(x,y,z) > a_2\,$, onde $a_1$ e $a_2$ são constantes e $g_1$ e $g_2$ são funções contínuas em todo o $\mathbb R^3$, então $D$ é um conjunto aberto.

Como exemplo de aplicação deste critério, se tornarmos estritas todas as desigualdades usadas para definir o conjunto (11) acima, o novo conjunto que se obtém é aberto.

Dado um qualquer conjunto $D$ de $\mathbb R^3$, este universo fica dividido em três partes disjuntas: a fronteira de $D$, o interior de $D$ e o exterior de $D$. Já anteriormente definimos o que se entende por fronteira ${\rm fr} D$ de $D$; falta-nos definir os outros dois conceitos:

O interior ${\rm int} D$ de $D$ é o maior conjunto aberto de $\mathbb R^3$ que está contido em $D$; o exterior ${\rm ext} D$ de $D$ é o interior do complementar $D^c$ de $D$.

Assim, a propriedade acima pode resumir-se, em termos simbólicos, por

Dado $D \subset \mathbb R^3$, $\; \mathbb R^3 = {\rm int} D \cup {\rm fr} D \cup {\rm ext} D$.

Teorema de Weierstrass

Podemos finalmente enunciar o seguinte teorema para funções de um qualquer número $n$ de variáveis:

Teorema de Weierstrass (generalizado)

Se $f:D\subset \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ é contínua e $D$ é um conjunto limitado e fechado, então existem $c, d \in \mathbb R$ que são, respetivamente, o menor e o maior valor que $f$ atinge.

Tal como no contexto de uma variável, a relevância do acima enunciado Teorema de Weierstrass para as aplicações é que, nas condições dadas, os números $c$ e $d$ são, respetivamente, o mínimo absoluto (ou global) e o máximo absoluto (ou global) de $f$, também globalmente designados por extremos absolutos (ou globais) de $f$.

Os pontos onde esses extremos são atingidos dizem-se extremantes (minimizantes ou maximizantes consoante o caso).


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