1.2 Derivadas parciais e extremos globais - parte 2

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Derivadas parciais

Para funções reais de várias variáveis reais, é costume definir-se derivada (parcial) relativamente a cada uma das variáveis. Tal como para os conceitos anteriores, exemplificaremos apenas para funções de três variáveis, mas a ideia adapta-se facilmente a um qualquer número finito de variáveis.

Assim, dada uma função $f(x,y,z)$, designaremos respetivamente por $f_x^\prime (x,y,z)$, $f_y^\prime(x,y,z)$ e $f_z^\prime(x,y,z)$ a derivada parcial de $f$ relativamente à variável $x$, à variável $y$ e à variável $z$. A regra para obter estas derivadas parciais em cada ponto $(x_0,y_0,z_0)$ é a seguinte: antes de mais, consideram-se apenas os pontos $(x_0,y_0,z_0)$ tais que a função $f_1(x):= f(x,y_0,z_0)$ faça sentido para todo o $x$ pertencente a um certo intervalo aberto centrado em $x_0$, a função $f_2(y):= f(x_0,y,z_0)$ faça sentido para todo o $y$ pertencente a um certo intervalo aberto centrado em $y_0$ e a função $f_3(z):= f(x_0,y_0,z)$ faça sentido para todo o $z$ pertencente a um certo intervalo aberto centrado em $z_0$. Observe-se que $f_1$, $f_2$ e $f_3$ são funções de uma só variável, logo faz sentido definir

(1)
\begin{align} f_x^\prime (x_0,y_0,z_0):=f_1^\prime (x_0), \end{align}
(2)
\begin{align} f_y^\prime (x_0,y_0,z_0):=f_2^\prime (y_0), \end{align}
(3)
\begin{align} f_z^\prime (x_0,y_0,z_0):=f_3^\prime (z_0) \end{align}

— supondo que os segundos membros destas igualdades fazem sentido.

Por exemplo, suponhamos que temos $\, f:\mathbb R^3\backslash \{ (0,0,0)\} \rightarrow \mathbb R \,$ dada por

(4)
\begin{align} f(x,y,z):= \frac{x}{x^2+y^2+z^2}. \end{align}

Neste caso, todo o ponto $(x_0,y_0,z_0)$ do domínio da função verifica a primeira parte da regra indicada acima. Temos então que, para um qualquer desses pontos,

(5)
\begin{eqnarray} f_x^\prime (x_0,y_0,z_0) & = & \left. \left( \frac{x}{x^2+y_0^2+z_0^2} \right) ^\prime \right| _{x=x_0} \nonumber \\ & = & \left. \frac{x^2+y_0^2+z_0^2-2x^2}{(x^2+y_0^2+z_0^2)^2}\right| _{x=x_0} \nonumber \\ & = & \frac{-x_0^2+y_0^2+z_0^2}{(x_0^2+y_0^2+z_0^2)^2}, \nonumber \end{eqnarray}

já que a função de uma variável real que tivemos que derivar é derivável (e usámos, portanto, as regras de derivação que já conhecemos para tais funções).

Tal como foi notado em cima, o ponto $(x_0,y_0,z_0)$ pode ser qualquer elemento de $\mathbb R^3\backslash \{(0,0,0)\}$, e portanto podemos dizer que a função derivada parcial de $f$ relativamente à variável $x$ é dada por

(6)
\begin{align} f_x^\prime (x,y,z)=\frac{-x^2+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2} \end{align}

para todo o $(x,y,z)$ pertencente a $\mathbb R^3\backslash \{(0,0,0)\}$.

Repare-se que este resultado poderia ter sido obtido sem a necessidade de se andar a mudar para uma notação $(x_0,y_0,z_0)$: basta pensarmos que, para fazermos a derivação relativamente à variável $x$, as outras duas variáveis se devem comportar momentaneamente como constantes. Assim, se tivéssemos imaginado que a expressão que dá $f(x,y,z)$ só depende de $x$, estando lá as restantes variáveis a fazer o papel de constantes, e tivéssemos usado as regras de derivação para funções de uma só variável, teríamos obtido exatamente o mesmo resultado.

Usando este tipo de estratégia para calcularmos a derivada parcial de $f(x,y,z)$ relativamente à variável $y$ (pensando agora, portanto, que $x$ e $z$ são constantes) obteríamos

(7)
\begin{align} f_y^\prime (x,y,z)=\frac{-2xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}. \end{align}

De modo análogo,

(8)
\begin{align} f_z^\prime (x,y,z)=\frac{-2xz}{(x^2+y^2+z^2)^2}. \end{align}

Uma conclusão a tirar disto tudo é que a partir do conhecimento da tabela de derivadas para funções de uma só variável somos capazes de derivar parcialmente um número considerável de funções de várias variáveis (e as regras de derivação a aplicar são aquelas que já conhecemos do contexto de uma só variável).

Notação

Em vez da notação $f_x^\prime$, $f_y^\prime$ e $f_z^\prime$, usada acima, para as derivadas parciais, também se usa, respetivamente,

(9)
\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} \quad \mbox{e} \quad \frac{\partial f}{\partial z} \end{align}

e até mesmo, e respetivamente,

(10)
\begin{align} f_x, \quad f_y \quad \mbox{e} \quad f_z. \end{align}

Interpretação geométrica

No caso de funções de duas variáveis, as derivadas parciais têm uma interpretação geométrica simples.

Consideremos $z=f(x,y)$ e, por exemplo, $f_x^\prime(x_0,y_0)$, para um ponto $(x_0,y_0)$ do domínio de $f$ onde aquela derivada parcial esteja definida. Atendendo ao modo como se definiu,

$f_x^\prime(x_0,y_0)$ dá-nos o declive da reta tangente em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ à curva que é o gráfico de $z=f(x,y_0)$.

Esta curva é a interseção do gráfico de $z=f(x,y)$ com o plano de equação $y=y_0$.

(figura e ligação para a qual remete disponibilizadas por cortesia de Ana Breda)

Analogamente, e caso esteja definida,

$f_y^\prime(x_0,y_0)$ dá-nos o declive da reta tangente em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ à curva que é o gráfico de $z=f(x_0,y)$.

Esta curva é a interseção do gráfico de $z=f(x,y)$ com o plano de equação $x=x_0$.

(figura e ligação para a qual remete disponibilizadas por cortesia de Ana Breda)

Extremos relativos ou locais

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $P_0 \in D$.

Diz-se que $f(P_0)$ é um máximo relativo (ou máximo local) de $f$ se for o máximo absoluto de $f|_{D \cap B_r(P_0)}$ para algum $r>0$, onde

(11)
\begin{align} B_r(P_0):=\{X\in \mathbb R^n: \| X-P_0 \| < r \} \end{align}

se designa por bola aberta de centro em $P_0$ e raio $r$.

Analogamente, diz-se que $f(P_0)$ é um mínimo relativo (ou mínimo local) de $f$ se for o mínimo absoluto de $f|_{D \cap B_r(P_0)}$ para algum $r>0$.

Máximos e mínimos relativos designam-se, no seu conjunto, por extremos relativos (ou locais).

Os pontos $P_0$ onde os extremos relativos são atingidos dizem-se extremantes relativos (ou locais)minimizantes no caso de $f(P_0)$ ser mínimo; maximizantes no caso de $f(P_0)$ ser máximo.

Observe-se que todos os extremos absolutos de uma função são também seus extremos relativos, de modo que se detetarmos todos os extremos relativos dessa função temos a certeza de que entre eles estão os extremos absolutos da mesma, se os houver.

Teorema de Fermat

No caso de uma função $f(x,y)$ de duas variáveis, da interpretação geométrica das derivadas parciais feita acima sai que se $f(x_0,y_0)$ for um extremo relativo e se as derivadas parciais estiverem definidas em $(x_0,y_0)$ então $f_x^\prime(x_0,y_0) = f_y^\prime(x_0,y_0) = 0$, pois $f(x_0,y_0)$ será então também um extremo relativo quer de $x \mapsto f(x,y_0)$ quer de $y \mapsto f(x_0,y)$ e o Teorema de Fermat para funções de uma variável é aplicável.

No caso de funções com um maior número de variáveis, mesmo sem interpretação geométrica não é muito difícil concluir que o raciocínio acima continua válido:

Teorema de Fermat (generalizado)

Sejam $\, f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \,$ e $\,P_0 \in D$. Se $f(P_0)$ for um extremo relativo de $f$ e as derivadas parciais $f_{x_1}^\prime, \ldots, f_{x_n}^\prime$ existirem em $P_0$ então

$\quad f_{x_1}^\prime (P_0)=0\, \wedge \,\ldots \, \wedge \, f_{x_n}^\prime (P_0)=0$.

Os pontos $P_0$ que anulam todas as derivadas parciais de $f$, mesmo não sendo extremantes dessa função, dizem-se pontos críticos (ou de estacionaridade) de $f$.

Num caso concreto poderá não ser fácil ter a certeza que consideramos no estudo todos os pontos do domínio onde uma dada função tem derivadas parciais. Para facilitar a nossa vida aqui, limitar-nos-emos a tentar averiguar sobre a existência de tais derivadas em subconjuntos do domínio que sejam abertos, já que pelo menos em tal situação a primeira parte da regra indicada no cimo desta página, para o cálculo das derivadas parciais, está garantida. Se possível consideraremos o interior do domínio (que, por definição, é o maior conjunto aberto dentro do domínio), mas se não for fácil determinar exatamente o interior trabalharemos com o maior aberto que conseguirmos facilmente detetar dentro do domínio.


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