1.2 Derivadas parciais e extremos globais - parte 3

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Procedimento para o cálculo de extremos absolutos

Passamos agora à consideração do problema da determinação dos extremos absolutos de funções, cuja resolução se apoia fortemente no Teorema de Weierstrass e no Teorema de Fermat considerados nas partes 1 e 2 desta secção. O processo é análogo ao utilizado na resolução de problema análogo no contexto de uma variável.

Assim, para se determinarem os extremos absolutos de uma função contínua num subconjunto limitado e fechado, pode proceder-se do seguinte modo:

  1. obter os pontos críticos da função no maior conjunto aberto que se conseguir;
  2. considerar os pontos do conjunto anterior onde pelo menos uma das derivadas parciais da função não esteja definida;
  3. considerar os restantes pontos do domínio da função, ou apenas alguns deles caso se consiga reduzir, nem que seja parcialmente, esta parte do estudo ao problema da determinação dos extremos para funções de uma variável — cf. exemplo em baixo;
  4. calcular os valores da função em todos os pontos anteriores; o menor valor será o mínimo absoluto da função; o maior valor será o máximo absoluto da função.

Ilustramos com um exemplo:

Exemplo

Pretende-se determinar os extremos absolutos de $f(x,y) := x^2+y^2-x-y+1$ em $D := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}$.

1. O subconjunto $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 < 1 \}$ do domínio é aberto e é fácil verificar que a função tem derivadas parciais em todos os pontos do mesmo e que tem aí um único ponto crítico, a saber, $(1/2,1/2)$.

2. A função tem derivadas parciais em todos os pontos do subconjunto acima, como se indicou no passo anterior, logo não há nada a fazer no presente passo.

3. Sobram os pontos da circunferência de raio $1$ centrada na origem. Vimos no Exemplo 4 da parte 1 da secção 1.1 que este conjunto é a imagem da aplicação

(1)
\begin{align} (x,y) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0,2\pi]. \end{align}

A composição "$f$ após esta aplicação" dá, para $t \in [0,2\pi]$, exatamente os mesmos valores de $f$ restrita à circunferência de raio $1$ centrada na origem, logo se houver um extremante de $f$ nessa circunferência ele também será extremante daquela composição, que iremos aqui designar por $h$. Trata-se da aplicação

(2)
\begin{align} h(t):=(\cos t)^2+(\sin t)^2-\cos t-\sin t+1,\quad t \in [0,2\pi], \end{align}

obviamente contínua no intervalo limitado e fechado $[0,2\pi]$, logo atinge os seus extremos absolutos em pontos desse intervalo e, como se sabe do cálculo com funções de uma variável, os correspondentes extremantes têm de estar no conjunto formado pelos seus pontos de estacionaridade, pelos pontos do interior do intervalo onde $h$ não tenha derivada e pelos extremos do intervalo.

É fácil verificar que $h$ tem derivada em $]0,2\pi[$ e que os seus pontos de estacionaridade são os pontos $t= \pi/4$ e $t=5\pi/4$, a que correspondem, respetivamente, os pontos $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ e $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ da circunferência de raio $1$ centrada na origem. Aos pontos fronteiros $t=0$ e $t=2\pi$ corresponde o ponto $(1,0)$ dessa mesma circunferência.

4. Como

(3)
\begin{align} f(1/2,1/2) = 1/2, \quad f(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2) = 2-\sqrt{2}, \quad f(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2) = 2+\sqrt{2} \quad \mbox{e} \quad f(1,0) = 1, \end{align}

então o mínimo absoluto de $f$ é $1/2$, atingido em $(1/2,1/2)$, e o máximo absoluto é $2+\sqrt{2}$, atingido em $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$.

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: extremos-globais.gcf. Para o caso de estranhares a expressão que aparece como definidora da superfície curva, fica a informação de que se trata da expressão para a função $f$ acima escrita nas chamadas coordenadas cilíndricas (a serem consideradas com algum detalhe em Cálculo III — para os cursos que têm Cálculo III). Foram usadas estas em vez das coordenadas cartesianas porque foi a única maneira que encontrámos de o programa traçar o que se pretendia. Curiosidade: poderás observar que os restantes elementos da figura acima foram obtidos através de equações vetoriais, logo considerando curvas e superfícies como imagens de aplicações; o motivo foi novamente o de ter sido a única maneira que encontrámos de o programa traçar o que se pretendia.

Nem sempre o passo 3 do procedimento acima exige uma análise tão detalhada como no exercício anterior. É o caso do seguinte exercício:

Exercício

Encontrar o valor máximo do produto $xyzw$ de quatro números não negativos $x, y, z, w$ sob a condição de a sua soma ser uma constante $C$ ($x+y+z+w=C$).

Sugestão: Observa que a condição $x+y+z+w=C$ é equivalente a $w=C-x-y-z$ (em particular, $w$ é determinado a partir do conhecimento dos outros três números: $x,y,z$). Podemos então formalizar o problema do seguinte modo: maximizar a função

(4)
\begin{equation} f(x,y,z):=xyz(C-x-y-z) \end{equation}

no conjunto $\{(x,y,z)\in \mathbb R^3: x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge z\geq 0\wedge x+y+z\leq C\}$.


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