1.2 Universo das funções (complemento)

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Começamos por introduzir duas das chamadas funções hiperbólicas através dos seguintes exercícios:

Exercícios - funções hiperbólicas

1. As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico definem-se, respetivamente, como $\sinh x := \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ e $\cosh x := \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$, $\; x \in \mathbb R$. Verifica que
   1. tal como $\sin$, $\sinh$ é uma função ímpar;
   2. tal como $\cos$, $\cosh$ é uma função par;
   3. em vez da fórmula $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ é válida a fórmula $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$;
2. Tenta prever, com base nas definições dadas e no conhecimento dos gráficos da exponencial, qual deverá ser o aspeto dos gráficos do seno hiperbólico e do cosseno hiperbólico. Depois compara com o que obténs através de um software como, por exemplo, o Desmos. Verifica em particular que, contrariamente a $\sin$ e $\cos$, $\sinh$ e $\cosh$ não são periódicas.
3. Usa a Álgebra das funções contínuas para provares que $\sinh$ e $\cosh$ são funções contínuas.

Introduzimos agora várias das chamadas funções trigonométricas inversas:

Acompanha com a interface gráfica abaixo (carrega em "Submeter" para a destacares) a discussão que se segue:

Função arco seno

A restrição principal $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}$ da função seno é uma aplicação bijetiva de $[-\pi/2,\pi/2]$ em $[-1,1]$ (definida por $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} y = \sin y$, $\forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$), logo tem inversa, que se designa por arco seno,

(1)

\begin{align} \arcsin : [-1,1] \longrightarrow [-\pi/2,\pi/2], \end{align}

definindo-se, para cada $x \in [-1,1]$, $\arcsin x$ como o único $y \in [-\pi/2,\pi/2]$ tal que $\sin y = x$.

Exercícios

1. Obtém um esboço do gráfico de $\arcsin$.
2. Determina $\arcsin (\sin \frac{3\pi}{2})$.

Ver soluções ou indicações

1. Recorda que podes fazê-lo de dois modos: geometricamente a partir do gráfico de $\sin|_{[-\pi/2,\pi/2]}$ ou através da interface gráfica acima.
2. $-\frac{\pi}{2}$.

Segue imediatamente da definição de função inversa que $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(\arcsin x) = x$, $\forall x \in [-1,1]$. E como, por definição, $\arcsin$ assume valores necessariamente só em $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, então podemos, mais simplesmente, escrever

(2)

\begin{align} \sin(\arcsin x) = x, \quad \forall x \in [-1,1]. \end{align}

No entanto, embora também saia imediatamente da definição de função inversa que $\arcsin(\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} y) = y$, $\forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, e portanto pode escrever-se, mais simplesmente, que

(3)

\begin{align} \arcsin(\sin y) = y, \quad \forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], \end{align}

é preciso ter o cuidado de não aplicar esta igualdade mesmo quando $y \notin [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, já que para qualquer tal $y$ ela é sempre falsa, como se exemplificou no 2.º exercício acima.

Função arco cosseno

A restrição principal $\cos|_{[0,\pi]}$ da função cosseno é uma aplicação bijetiva de $[0,\pi]$ em $[-1,1]$ (definida por $\cos|_{[0,\pi]} y = \cos y$, $\forall y \in [0,\pi]$), logo tem inversa, que se designa por arco cosseno,

(4)

\begin{align} \arccos : [-1,1] \longrightarrow [0,\pi], \end{align}

definindo-se, para cada $x \in [-1,1]$, $\arccos x$ como o único $y \in [0,\pi]$ tal que $\cos y = x$.

Exercícios

1. Obtém um esboço do gráfico de $\arccos$.
2. Determina $\arccos (\cos \frac{3\pi}{2})$.
3. Estabelece para o cosseno e o arco cosseno propriedades correspondentes a (2) e (3).
4. Verifica que $\sin^2(\arccos x) = \cos^2(\arcsin x) = 1-x^2,\; \forall x \in [-1,1]$.¹.
5. Mostra que a relação $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}, \; \forall x \in [-1,1]$ é uma consequência da conhecida relação $\sin(\frac{\pi}{2}-y)=\cos y, \; \forall y \in \mathbb R$.

Ver soluções ou indicações

1. Recorda que podes fazê-lo de dois modos: geometricamente a partir do gráfico de $\cos|_{[0,\pi]}$ ou através da interface gráfica acima.
2. $\frac{\pi}{2}$.
3. -
4. Resolução: $\sin^2(\arccos x) + \cos^2(\arccos x) = 1$, logo $\sin^2(\arccos x) = 1 - \cos^2(\arccos x) = 1 - x^2$; faz agora, de modo análogo, o caso que falta!
5. Completa a resolução explicando o seguinte esquema:

Função arco tangente

A restrição principal da função tangente é, analogamente aos casos anteriores, a restrição da tangente que atua como aplicação bijetiva de $]-\pi/2,\pi/2[$ em $\mathbb R$, logo tem inversa, que se designa por arco tangente,

(5)

\begin{align} \arctan : \mathbb R \longrightarrow \; ]-\pi/2,\pi/2[, \end{align}

definindo-se, para cada $x \in \mathbb R$, $\arctan x$ como o único $y \in \; ]-\pi/2,\pi/2[$ tal que $\tan y = x$.

Exercícios

1. Obtém um esboço do gráfico de $\arctan$.
2. Determina $\arctan (\tan \pi)$.
3. Estabelece para a tangente e o arco tangente propriedades correspondentes a (2) e (3).
4. Verifica que $\tan^2(\arcsin x)=\frac{x^2}{1-x^2}, \; \forall x \in \; ]-1,1[$.²
5. Verifica que $\cos^2(\arctan x) =\frac{1}{1+x^2}, \; \forall x \in \; \mathbb R$.³

Ver soluções ou indicações

1. Recorda que podes fazê-lo de dois modos: geometricamente a partir do gráfico de $\tan|_{]-\pi/2,\pi/2[}$ ou através da interface gráfica acima.
2. $0$.

Função arco cotangente

A restrição principal da função cotangente é, analogamente aos casos anteriores, a restrição da cotangente que atua como aplicação bijetiva de $]0,\pi[$ em $\mathbb R$, logo tem inversa, que se designa por arco cotangente,

(6)

\begin{align} {\rm arccot} : \mathbb R \longrightarrow \; ]0,\pi[, \end{align}

definindo-se, para cada $x \in \mathbb R$, ${\rm arccot}\, x$ como o único $y \in \; ]0,\pi[$ tal que $\cot y = x$.

Aviso:

Não existe acordo quanto à maneira oficial de definir a função arco cotangente. Uma outra definição comum, alternativa à que se apresenta acima, é obtida por inversão da restrição da cotangente ao intervalo $]-\pi/2, \pi/2]$ (excluindo o zero, onde ${\rm cotan}$ não é definida), obtendo-se, em particular, uma função descontínua. Essa é a convenção usada pela WolframAlpha para definir arco cotangente, razão pela qual não se incluiu a possibilidade de calcular ${\rm arccot}$ na interface gráfica acima. Podes ler mais sobre isto aqui.

Exercícios

1. Faz um esboço do gráfico de ${\rm arccot}$.
2. Determina ${\rm arccot} (\cot \frac{7\pi}{4})$.
3. Estabelece para a cotangente e o arco cotangente propriedades correspondentes a (2) e (3).
4. Verifica que $\cot^2(\arccos x)=\frac{x^2}{1-x^2}, \; \forall x \in \; ]-1,1[$.
5. Mostra que a relação ${\rm arccot}\, x + \arctan x = \frac{\pi}{2}, \; \forall x \in \mathbb R$ é uma consequência da conhecida relação $\tan(\frac{\pi}{2}-y)=\cot y, \; \forall y \in \mathbb R$.

Ver soluções ou indicações

1. Atenção: se usaste a WolframAlpha para obteres o esboço, está errado — cf. aviso acima. Podes no entanto ver o gráfico desta e das outras funções acima em https://www.desmos.com/calculator/leydotju4o.
2. $\frac{3\pi}{4}$.

Mais exercícios

1. Mostra, com a ajuda do Teorema da inversão, que as funções $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ e ${\rm arccot}$ são contínuas.
2. Determina $k$ por forma a que a função $f$ seja contínua no seu domínio: $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \arccos \frac{2}{x} & \mbox{se} & x \geq 2\\ 2ke^{x-2} & \mbox{se} & x<2 \end{array}\right.$.
3. Calcula, caso exista,
   1. $\lim_{x \to -\infty} \arccos \frac{1}{x}$;
   2. $\lim_{x \to \infty} \arctan (1-x)$.

Ver soluções ou indicações

1. -
2. $k=0$. Apresenta-se abaixo, na coluna da esquerda, uma resolução com justificações sumárias e, na coluna da direita, algumas justificações mentais adicionais associadas. A expressão vizinhança de $a$, aí usada, refere-se a um intervalo aberto contendo $a$.
   
3. 1. Dada uma qualquer sucessão $(u_n)_{n\in \mathbb N}$ tendendo para $-\infty$, sabemos que $(\frac{1}{u_n})_{n\in \mathbb N}$ tende para $0$. Como $\arccos$ é contínua em $0$, então $(\arccos \frac{1}{u_n})_{n \in \mathbb N}$ tende para $\arccos 0$, ou seja, para $\frac{\pi}{2}$.
      Por definição de limite concluímos então que o limite em causa é $\frac{\pi}{2}$.
   2. Dada uma qualquer sucessão $(u_n)_{n\in \mathbb N}$ tendendo para $\infty$, sabemos que $(1-u_n)_{n\in \mathbb N}$ tende para $\,-\infty$. Como $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$, então também $(\arctan(1-u_n))_{n\in \mathbb N}$ tende para $-\frac{\pi}{2}$.
      Por definição de limite concluímos então que o limite em causa é $-\frac{\pi}{2}$.

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Comentários:

Footnotes

1. Tira partido da fórmula fundamental da trigonometria: $\sin^2 \alpha \, + \, \cos^2 \alpha = 1$

2. Tira partido do exercício 4 acima.

3. Tira partido da fórmula fundamental da trigonometria.