1.2 Universo das funções (complemento)

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Começamos por introduzir duas das chamadas funções hiperbólicas através dos seguintes exercícios:

Exercícios - funções hiperbólicas

  1. As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico definem-se, respetivamente, como $\sinh x := \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ e $\cosh x := \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$, $\; x \in \mathbb R$. Verifica que
    1. tal como $\sin$, $\sinh$ é uma função ímpar;
    2. tal como $\cos$, $\cosh$ é uma função par;
    3. em vez da fórmula $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ é válida a fórmula $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$;
  2. Tenta prever, com base nas definições dadas e no conhecimento dos gráficos da exponencial, qual deverá ser o aspeto dos gráficos do seno hiperbólico e do cosseno hiperbólico. Depois compara com o que obténs através de um software como, por exemplo, o Desmos. Verifica em particular que, contrariamente a $\sin$ e $\cos$, $\sinh$ e $\cosh$ não são periódicas.
  3. Usa a Álgebra das funções contínuas para provares que $\sinh$ e $\cosh$ são funções contínuas.

Introduzimos agora várias das chamadas funções trigonométricas inversas:

Acompanha com a interface gráfica abaixo (carrega em "Submeter" para a destacares) a discussão que se segue:

Função arco seno

A restrição principal $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}$ da função seno é uma aplicação bijetiva de $[-\pi/2,\pi/2]$ em $[-1,1]$ (definida por $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} y = \sin y$, $\forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$), logo tem inversa, que se designa por arco seno,

(1)
\begin{align} \arcsin : [-1,1] \longrightarrow [-\pi/2,\pi/2], \end{align}

definindo-se, para cada $x \in [-1,1]$, $\arcsin x$ como o único $y \in [-\pi/2,\pi/2]$ tal que $\sin y = x$.

Exercícios

  1. Obtém um esboço do gráfico de $\arcsin$.
  2. Determina $\arcsin (\sin \frac{3\pi}{2})$.

Segue imediatamente da definição de função inversa que $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(\arcsin x) = x$, $\forall x \in [-1,1]$. E como, por definição, $\arcsin$ assume valores necessariamente só em $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, então podemos, mais simplesmente, escrever

(2)
\begin{align} \sin(\arcsin x) = x, \quad \forall x \in [-1,1]. \end{align}

No entanto, embora também saia imediatamente da definição de função inversa que $\arcsin(\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} y) = y$, $\forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, e portanto pode escrever-se, mais simplesmente, que

(3)
\begin{align} \arcsin(\sin y) = y, \quad \forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], \end{align}

é preciso ter o cuidado de não aplicar esta igualdade mesmo quando $y \notin [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, já que para qualquer tal $y$ ela é sempre falsa, como se exemplificou no 2.º exercício acima.

Função arco cosseno

A restrição principal $\cos|_{[0,\pi]}$ da função cosseno é uma aplicação bijetiva de $[0,\pi]$ em $[-1,1]$ (definida por $\cos|_{[0,\pi]} y = \cos y$, $\forall y \in [0,\pi]$), logo tem inversa, que se designa por arco cosseno,

(4)
\begin{align} \arccos : [-1,1] \longrightarrow [0,\pi], \end{align}

definindo-se, para cada $x \in [-1,1]$, $\arccos x$ como o único $y \in [0,\pi]$ tal que $\cos y = x$.

Exercícios

  1. Obtém um esboço do gráfico de $\arccos$.
  2. Determina $\arccos (\cos \frac{3\pi}{2})$.
  3. Estabelece para o cosseno e o arco cosseno propriedades correspondentes a (2) e (3).
  4. Verifica que $\sin^2(\arccos x) = \cos^2(\arcsin x) = 1-x^2,\; \forall x \in [-1,1]$.1.
  5. Mostra que a relação $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}, \; \forall x \in [-1,1]$ é uma consequência da conhecida relação $\sin(\frac{\pi}{2}-y)=\cos y, \; \forall y \in \mathbb R$.

Função arco tangente

A restrição principal da função tangente é, analogamente aos casos anteriores, a restrição da tangente que atua como aplicação bijetiva de $]-\pi/2,\pi/2[$ em $\mathbb R$, logo tem inversa, que se designa por arco tangente,

(5)
\begin{align} \arctan : \mathbb R \longrightarrow \; ]-\pi/2,\pi/2[, \end{align}

definindo-se, para cada $x \in \mathbb R$, $\arctan x$ como o único $y \in \; ]-\pi/2,\pi/2[$ tal que $\tan y = x$.

Exercícios

  1. Obtém um esboço do gráfico de $\arctan$.
  2. Determina $\arctan (\tan \pi)$.
  3. Estabelece para a tangente e o arco tangente propriedades correspondentes a (2) e (3).
  4. Verifica que $\tan^2(\arcsin x)=\frac{x^2}{1-x^2}, \; \forall x \in \; ]-1,1[$.2
  5. Verifica que $\cos^2(\arctan x) =\frac{1}{1+x^2}, \; \forall x \in \; \mathbb R$.3

Função arco cotangente

A restrição principal da função cotangente é, analogamente aos casos anteriores, a restrição da cotangente que atua como aplicação bijetiva de $]0,\pi[$ em $\mathbb R$, logo tem inversa, que se designa por arco cotangente,

(6)
\begin{align} {\rm arccot} : \mathbb R \longrightarrow \; ]0,\pi[, \end{align}

definindo-se, para cada $x \in \mathbb R$, ${\rm arccot}\, x$ como o único $y \in \; ]0,\pi[$ tal que $\cot y = x$.

Aviso:

Não existe acordo quanto à maneira oficial de definir a função arco cotangente. Uma outra definição comum, alternativa à que se apresenta acima, é obtida por inversão da restrição da cotangente ao intervalo $]-\pi/2, \pi/2]$ (excluindo o zero, onde ${\rm cotan}$ não é definida), obtendo-se, em particular, uma função descontínua. Essa é a convenção usada pela WolframAlpha para definir arco cotangente, razão pela qual não se incluiu a possibilidade de calcular ${\rm arccot}$ na interface gráfica acima. Podes ler mais sobre isto aqui.

Exercícios

  1. Faz um esboço do gráfico de ${\rm arccot}$.
  2. Determina ${\rm arccot} (\cot \frac{7\pi}{4})$.
  3. Estabelece para a cotangente e o arco cotangente propriedades correspondentes a (2) e (3).
  4. Verifica que $\cot^2(\arccos x)=\frac{x^2}{1-x^2}, \; \forall x \in \; ]-1,1[$.
  5. Mostra que a relação ${\rm arccot}\, x + \arctan x = \frac{\pi}{2}, \; \forall x \in \mathbb R$ é uma consequência da conhecida relação $\tan(\frac{\pi}{2}-y)=\cot y, \; \forall y \in \mathbb R$.

Mais exercícios

  1. Mostra, com a ajuda do Teorema da inversão, que as funções $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ e ${\rm arccot}$ são contínuas.
  2. Determina $k$ por forma a que a função $f$ seja contínua no seu domínio: $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \arccos \frac{2}{x} & \mbox{se} & x \geq 2\\ 2ke^{x-2} & \mbox{se} & x<2 \end{array}\right.$.
  3. Calcula, caso exista,
    1. $\lim_{x \to -\infty} \arccos \frac{1}{x}$;
    2. $\lim_{x \to \infty} \arctan (1-x)$.

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