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Começamos por introduzir duas das chamadas funções hiperbólicas através dos seguintes exercícios:
Exercícios I - funções hiperbólicas
- As funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico definem-se, respetivamente, como $\sinh x := \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ e $\cosh x := \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$, $\; x \in \mathbb R$. Verifica que
- tal como $\sin$, $\sinh$ é uma função ímpar;
- tal como $\cos$, $\cosh$ é uma função par;
- em vez da fórmula $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ é válida a fórmula $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$;
- Tenta prever, com base nas definições dadas e no conhecimento dos gráficos da exponencial, qual deverá ser o aspeto dos gráficos do seno hiperbólico e do cosseno hiperbólico. Depois compara com o que obténs através de um software como, por exemplo, o Desmos. Verifica em particular que, contrariamente a $\sin$ e $\cos$, $\sinh$ e $\cosh$ não são periódicas.
- Usa a Álgebra das funções contínuas para provares que $\sinh$ e $\cosh$ são funções contínuas.
Introduzimos agora várias das chamadas funções trigonométricas inversas:
Acompanha com a interface gráfica abaixo (carrega em "Submeter" para a destacares) a discussão que se segue:
Função arco seno
A restrição principal $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}$ da função seno é uma aplicação bijetiva de $[-\pi/2,\pi/2]$ em $[-1,1]$ (definida por $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} y = \sin y$, $\forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$), logo tem inversa, que se designa por arco seno,
(1)definindo-se, para cada $x \in [-1,1]$, $\arcsin x$ como o único $y \in [-\pi/2,\pi/2]$ tal que $\sin y = x$.
Exercícios II
- Obtém um esboço do gráfico de $\arcsin$.
- Determina $\arcsin (\sin \frac{3\pi}{2})$.
Segue imediatamente da definição de função inversa que $\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(\arcsin x) = x$, $\forall x \in [-1,1]$. E como, por definição, $\arcsin$ assume valores necessariamente só em $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, então podemos, mais simplesmente, escrever
(2)No entanto, embora também saia imediatamente da definição de função inversa que $\arcsin(\sin|_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} y) = y$, $\forall y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, e portanto pode escrever-se, mais simplesmente, que
(3)é preciso ter o cuidado de não aplicar esta igualdade mesmo quando $y \notin [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, já que para qualquer tal $y$ ela é sempre falsa, como se exemplificou no 2.º exercício acima.
Função arco cosseno
A restrição principal $\cos|_{[0,\pi]}$ da função cosseno é uma aplicação bijetiva de $[0,\pi]$ em $[-1,1]$ (definida por $\cos|_{[0,\pi]} y = \cos y$, $\forall y \in [0,\pi]$), logo tem inversa, que se designa por arco cosseno,
(4)definindo-se, para cada $x \in [-1,1]$, $\arccos x$ como o único $y \in [0,\pi]$ tal que $\cos y = x$.
Exercícios III
- Obtém um esboço do gráfico de $\arccos$.
- Determina $\arccos (\cos \frac{3\pi}{2})$.
- Estabelece para o cosseno e o arco cosseno propriedades correspondentes a (2) e (3).
- Verifica que $\sin^2(\arccos x) = \cos^2(\arcsin x) = 1-x^2,\; \forall x \in [-1,1]$.1.
- Mostra que a relação $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}, \; \forall x \in [-1,1]$ é uma consequência da conhecida relação $\sin(\frac{\pi}{2}-y)=\cos y, \; \forall y \in \mathbb R$.
Função arco tangente
A restrição principal da função tangente é, analogamente aos casos anteriores, a restrição da tangente que atua como aplicação bijetiva de $]-\pi/2,\pi/2[$ em $\mathbb R$, logo tem inversa, que se designa por arco tangente,
(5)definindo-se, para cada $x \in \mathbb R$, $\arctan x$ como o único $y \in \; ]-\pi/2,\pi/2[$ tal que $\tan y = x$.
Exercícios IV
- Obtém um esboço do gráfico de $\arctan$.
- Determina $\arctan (\tan \pi)$.
- Estabelece para a tangente e o arco tangente propriedades correspondentes a (2) e (3).
- Verifica que $\tan^2(\arcsin x)=\frac{x^2}{1-x^2}, \; \forall x \in \; ]-1,1[$.2
- Verifica que $\cos^2(\arctan x) =\frac{1}{1+x^2}, \; \forall x \in \; \mathbb R$.3
Função arco cotangente
A restrição principal da função cotangente é, analogamente aos casos anteriores, a restrição da cotangente que atua como aplicação bijetiva de $]0,\pi[$ em $\mathbb R$, logo tem inversa, que se designa por arco cotangente,
(6)definindo-se, para cada $x \in \mathbb R$, ${\rm arccot}\, x$ como o único $y \in \; ]0,\pi[$ tal que $\cot y = x$.
Aviso:
Não existe acordo quanto à maneira oficial de definir a função arco cotangente. Uma outra definição comum, alternativa à que se apresenta acima, é obtida por inversão da restrição da cotangente ao intervalo $]-\pi/2, \pi/2]$ (excluindo o zero, onde ${\rm cotan}$ não é definida), obtendo-se, em particular, uma função descontínua. Essa é a convenção usada pela WolframAlpha para definir arco cotangente, razão pela qual não se incluiu a possibilidade de calcular ${\rm arccot}$ na interface gráfica acima. Podes ler mais sobre isto aqui.
Exercícios V
- Faz um esboço do gráfico de ${\rm arccot}$.
- Determina ${\rm arccot} (\cot \frac{7\pi}{4})$.
- Estabelece para a cotangente e o arco cotangente propriedades correspondentes a (2) e (3).
- Verifica que $\cot^2(\arccos x)=\frac{x^2}{1-x^2}, \; \forall x \in \; ]-1,1[$.
- Mostra que a relação ${\rm arccot}\, x + \arctan x = \frac{\pi}{2}, \; \forall x \in \mathbb R$ é uma consequência da conhecida relação $\tan(\frac{\pi}{2}-y)=\cot y, \; \forall y \in \mathbb R$.
Exercícios VI
- Mostra, com a ajuda do Teorema da inversão, que as funções $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ e ${\rm arccot}$ são contínuas.
- Determina $k$ por forma a que a função $f$ seja contínua no seu domínio: $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \arccos \frac{2}{x} & \mbox{se} & x \geq 2\\ 2ke^{x-2} & \mbox{se} & x<2 \end{array}\right.$.
- Calcula, caso exista,
- $\lim_{x \to -\infty} \arccos \frac{1}{x}$;
- $\lim_{x \to \infty} \arctan (1-x)$.
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Comentários:
Num teste esta uma questao
1. Considere a funcao f real de variavel real definida por
(1)(c) Justifique que f e invertıvel e caracterize a funcao inversa de f (indicando domınio e expressao
analıtica).
(d) calcule
(2)eu nao sei como resolver estas duas
(c) Não treinámos problemas de inversão de funções este ano. Em princípio faz-se como aprendeste no secundário, resolvendo neste caso em ordem a $x$, mas certos pormenores podem não ser assim tão simples de decidir. Certamente haverá mais do que uma maneira de fazer. Eu gosto especialmente de usar a caracterização em 1-1-elementar-parte-2. Não será óbvio à primeira, mas após algumas tentativas pode ver-se que a seguinte dupla implicação é verdadeira:
(1)logo $f$ é invertível, a expressão analítica da sua inversa é dada por $x=\sin(y^2)$ e o respetivo domínio é $\Big[0,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\Big]$.
(d) A resolução desta alínea depende do que já se deu anteriormente, para se saber o que se pode usar aqui. Se este exercício aparecer depois da regra de Cauchy para o levantamento de indeterminações e depois de se saber a derivada de $\arcsin$, pode seguir-se a abordagem via regra de Cauchy.
Se não se puder usar essa informação, pode tirar-se partido da alínea (c) e do conhecimento de um limite notável:
(2)