1.3 Derivadas, gradientes e diferenciais - parte 1

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Queremos agora fazer um estudo local mais completo de funções reais de várias variáveis reais. Mesmo no caso do estudo dos extremos de tais funções, o que fizemos anteriormente no caso de extremos locais no interior do domínio foi tirar partido de condições necessárias para a sua existência — cf. Teorema de Fermat.

Ora, sabemos que mesmo no caso de funções de uma só variável a correspondente condição necessária — a saber, a anulação da derivada num ponto — não garante a existência de extremo local: recorde-se o caso da função $y=x^3$, que é estritamente crescente apesar de a sua derivada se anular em $0$. No caso de mais do que uma variável, basta que numa direção a função se pareça com $y=x^3$ para não poder ter um extremo local no ponto correspondente à origem.

No caso de funções de uma variável, uma das maneiras de sair do impasse é fazer um quadro de variação, para detetar quando a monotonia muda de sentido e, assim, detetar um extremo local. Nesse contexto, a existência de derivada finita garante a continuidade da função, e a alteração do sinal da derivada é então garantia de se estar em presença de um extremo local. Um dos problemas de adaptar esta abordagem ao caso de funções de mais de uma variável, considerando apenas funções com derivadas parciais finitas, é que esta hipótese não é suficiente para garantir a continuidade, como se vê pelo exemplo simples seguinte:

Exemplo

(1)
\begin{align} f(x,y) := \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se } \, x=0 \vee y=0 \\ 0 & \mbox{ nos restantes pontos } \end{array} \right.. \end{align}
graph.png

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: eixos1resto0.gcf

Neste caso ambas as derivadas parciais são nulas na origem mas a função é claramente descontínua nesse ponto.

Surge então a ideia de tentar garantir a existência de derivadas finitas segundo todas as direções, o que quer que isto signifique, e averiguar o que se passa com a continuidade quando todas essas derivadas são nulas no mesmo ponto e um eventual plano tangente ao gráfico no ponto correspondente é horizontal.

Derivadas direcionais

Tendo como guia o contexto das funções de duas variáveis, o conceito pode definir-se imediatamente de um modo geral:

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $P_0 \in {\rm int}\, D$ e $\vec{a}$ um vetor unitário (i.e., tal que $\| \vec{a} \| = 1$) em $\mathbb{R}^n$. A derivada direcional de $f$ segundo $\vec{a}$ em $P_0$ define-se como

(2)
\begin{align} f'_\vec{a}(P_0) := \lim_{t \to 0} \frac{f(P_0+t\vec{a})-f(P_0)}{t} \end{align}

se este limite existir.

De um ponto de vista analítico, trata-se do limite de razões incrementais da função real $g$ de uma variável real $t$ definida como $g(t):=f(P_0+t\vec{a})$ para $t$ numa vizinhança de $0$ (definição garantida pela hipótese $P_0 \in {\rm int}\, D$), de modo que

(3)
\begin{align} f'_\vec{a}(P_0) = \lim_{t \to 0} \frac{g(t)-g(0)}{t} = g'(0). \end{align}

De um ponto de vista geométrico, no caso de $n=2$, $P_0=(x_0,y_0)$ e $\vec{a}=(a_1,a_2)$, dá-nos também o declive de uma reta tangente ao gráfico da função no ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, nomeadamente à porção do gráfico que é comum ao plano que passa por esse ponto e é paralelo aos vetores $(a_1,a_2,0)$ e $(0,0,1)$ (plano vertical, em particular).

(figura e ligação para a qual remete disponibilizadas por cortesia de Ana Breda)

É como se esse plano passasse a ser o habitual plano $x0y$ para traçar os gráficos de funções reais de uma variável real, atendendo também a que o sistema de unidades se mantém coerente devido ao facto de o vetor $\vec{a}$ se ter escolhido como unitário.

Observa que as derivadas parciais são um caso particular de derivadas direcionais: se, por exemplo, $f$ for uma função do par $(x,y)$ de variáveis e admitir derivadas parciais num ponto $(x_0,y_0)$ do interior do seu domínio, então

(4)
\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = f'_{(1,0)}(x_0,y_0) \quad \mbox{e} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = f'_{(0,1)}(x_0,y_0). \end{align}

Exercício

Admitindo que existem, escreve as $n$ derivadas parciais de uma função real de $n$ variáveis reais em pontos do interior do seu domínio em termos da notação de derivada direcional.

Infelizmente, algo muito estranho pode acontecer mesmo quando todas as derivadas direcionais são nulas:

Exercício

Considera a função $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definida por

(5)
\begin{align} f(x,y) := \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se } \, y=x^2 \wedge x \not= 0 \\ 0 & \mbox{ nos restantes pontos } \end{array} \right.. \end{align}

Convence-te de que se trata de uma função descontínua na origem, mas que, no entanto, todas as suas derivadas direcionais nesse ponto são nulas!

graph%281%29.png

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: parabola-e-resto.gcf

Planos tangentes e funções diferenciáveis

Por outro lado, sendo, para a função $f$ do exercício anterior, nulas todas as derivadas direcionais em $(0,0)$, a existir plano tangente ao gráfico da função em $(0,0,f(0,0))$ ($=(0,0,0)$) este deveria ser o plano $x0y$. Isto faz, no entanto, pouco sentido geometricamente no caso da figura acima: um plano tangente deveria divergir lentamente do gráfico da função à medida que nos afastamos do ponto de tangência, tão lentamente que a função não deveria somente ser contínua no correspondente ponto do domínio (algo que falha logo no caso acima) como deverá "curvar suavemente" no ponto (o seu gráfico não deverá exibir um "bico" aí).

Tendo falhado o que pareciam ser as soluções óbvias, coloca-se agora a questão de descobrir que tipo de exigência analítica se pode fazer de modo a garantir as propriedades geométricas que se esperam de um plano tangente.

Antes de prosseguirmos, determinemos uma equação para o candidato óbvio a plano tangente ao gráfico de uma função $f : D \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R$ num ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ tal que $(x_0,y_0) \in {\rm int}D$. Dispondo já nós de um ponto do plano, precisamos de dois vetores não colineares para definir tal plano. Há dois candidatos óbvios, no caso de $f'_x(x_0,y_0)$ e $f'_y(x_0,y_0)$ serem finitas: $(1,0,f'_x(x_0,y_0))$ e $(0,1,f'_y(x_0,y_0))$, já que são dois vetores (não colineares) paralelos a retas tangentes a curvas contidas no gráfico de $f$ e que passam por $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ — cf. interpretação geométrica das derivadas parciais.

Uma equação vetorial de tal plano é então

(6)
\begin{align} (x,y,z) = (x_0,y_0,f(x_0,y_0))+u(1,0,f'_x(x_0,y_0))+v(0,1,f'_y(x_0,y_0)), \quad (u,v)\in \mathbb R^2, \end{align}

que facilmente se vê ser equivalente (por eliminação dos parâmetros $u$ e $v$) a

(7)
\begin{equation} z = f(x_0,y_0)+(x-x_0)f'_x(x_0,y_0)+(y-y_0)f'_y(x_0,y_0), \end{equation}

no sentido de que $(x,y,z) \in \mathbb R^3$ satisfaz esta última equação se e só se existe um par $(u,v) \in \mathbb R^2$ tal que $(x,y,z)$ satisfaz a igualdade em (6).

Aparte

Colocando a expressão (7) na forma $Ax+By+Cz+D=0$ vê-se que

${\displaystyle \qquad (f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0),-1)}$

é um vetor ortogonal ao plano em causa.

Quanto a uma exigência analítica que obrigue um tal plano a comportar-se como se espera de um plano tangente, tentemos aprender com o que se passa na bem conhecida situação de uma reta tangente ao gráfico de uma função de uma variável num ponto. Designando por $g$ uma tal função e por $x_0$ um ponto de diferenciabiliddade do seu domínio, uma equação da reta tangente a $(x_0,g(x_0))$ é

(8)
\begin{equation} y = g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0), \end{equation}

e da definição

(9)
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} =: g'(x_0) \in \mathbb R \end{align}

sai que

(10)
\begin{align} \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)-g'(x_0)\,(x-x_0)}{x-x_0} = 0, \end{align}

sendo também fácil ver que não existe um número real diferente de $g'(x_0)$ que se possa colocar no lugar deste último na identidade anterior. Em particular, se $g'$ não for diferenciável em $x_0$ então a identidade (10) falha qualquer que seja o número real que se coloque no lugar de $g'(x_0)$.

Ou seja, a identidade (10) captura a essência da diferenciabilidade de $g$ em $x_0$, logo deve capturar a essência do que significa a reta (8) ser tangente ao gráfico de $g$ no ponto $(x_0,g(x_0))$. Por outro lado, (10) diz-nos também que a diferença entre o valor da função num $x$ que se aproxima de $x_0$ e o valor no mesmo $x$ da reta tangente ao gráfico de $g$ em $(x_0,g(x_0))$ decresce "muito mais" rapidamente para zero do que a diferença entre $x$ e $x_0$. E não é isto afinal que deve acontecer quando o gráfico "curva suavemente" no ponto de tangência?

Estas considerações justificam a seguinte definição:

Plano tangente e função diferenciável (caso de duas variáveis)

Sejam $f : D \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R$ e $(x_0,y_0) \in {\rm int}D$ tais que $f'_x(x_0,y_0)$ e $f'_y(x_0,y_0)$ existam e sejam finitas. Diz-se que o plano de equação (7) é tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ se

${\displaystyle \qquad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\| (x,y)-(x_0,y_0) \|} = 0}$.

Diz-se também, em tal caso, que $f$ é diferenciável em $(x_0,y_0)$.

Por analogia, pelo menos a noção de diferenciabilidade pode ser estendida ao caso de funções de mais do que duas variáveis. Convém, no entanto, antes de dar essa extensão, introduzir alguma notação para ajudar a simplificar a escrita:

A parte $-f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)$ na expressão acima pode escrever-se equivalentemente como o produto interno

(11)
\begin{align} -(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0))\cdot(x-x_0,y-y_0), \end{align}

ou, designando

(12)
\begin{align} \nabla f (x_0,y_0) := (f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0)), \end{align}

dito o gradiente de $f$ em $(x_0,y_0)$, como

(13)
\begin{align} \nabla f (x_0,y_0) \cdot ((x,y)-(x_0,y_0)). \end{align}

A extensão natural desta expressão para uma função $f : D \subset \mathbb R^n \to \mathbb R$, um ponto fixo $P_0$ em vez de $(x_0,y_0)$ e um ponto genérico $P := (x_1,\ldots,x_n)$ em vez de $(x,y)$ é

(14)
\begin{align} \nabla f (P_0) \cdot (P-P_0), \end{align}

onde, naturalmente também, o gradiente de $f$ em $P_0$ se define aqui como

(15)
\begin{align} \nabla f(P_0) := (f'_{x_1}(P_0),\ldots,f'_{x_n}(P_0)). \end{align}

A definição de função diferenciável estende-se então do seguinte modo:

Função diferenciável

Sejam $f : D \subset \mathbb R^n \to \mathbb R$ e $P_0 \in {\rm int}D$ tais que $f'_{x_1}(P_0),\ldots,f'_{x_n}(P_0)$ existam e sejam finitas. Diz-se que $f$ é diferenciável em $P_0$ se

${\displaystyle \qquad \lim_{P \to P_0} \frac{f(P)-f(P_0)-\nabla f(P_0)\cdot (P-P_0)}{\| P-P_0 \|} = 0}$.

Continuidade das funções diferenciáveis

A questão da continuidade fica resolvida nos pontos onde a função é diferenciável:

Teorema (continuidade de funções diferenciáveis)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $P_0 \in {\rm int} D$. Se $f$ é diferenciável em $P_0$ então é contínua em $P_0$.

Reduzindo tudo a limites de sucessões de números reais1, o teorema acima fica provado se se provar que as hipóteses garantem que, qualquer que seja a sucessão $(P_k)_{k\in \mathbb N} \subset D \setminus \{P_0\}$ convergente para $P_0$,

(16)
\begin{align} \lim_{k\to\infty}| f(P_k)-f(P_0) | = 0. \end{align}

Fazêmo-lo por enquadramento de sucessões:

Observe-se que, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz2 na última passagem abaixo,

(17)
\begin{eqnarray} 0 & \leq & |f(P_k)-f(P_0)| \\ & \leq & \left| \frac{f(P_k)-f(P_0)-\nabla f(P_0) \cdot (P_k-P_0)}{\| P_k-P_0 \|}\right|\, \| P_k-P_0 \| + |\nabla f(P_0) \cdot (P_k-P_0)| \\ & \leq & \left|\frac{f(P_k)-f(P_0)-\nabla f(P_0) \cdot (P_k-P_0)}{\| P_k-P_0 \|}\right|\, \| P_k-P_0 \| + \|\nabla f(P_0)\| \| P_k-P_0 \|, \end{eqnarray}

e portanto a conclusão sai pelo facto de a expressão no lado direito da última desigualdade acima tender para $0$ quando $k$ tende para infinito, atendendo à hipótese de diferenciabilidade de $f$ em $P_0$ e à hipótese $\lim_{k\to\infty}P_k=P_0$.

Derivadas direcionais revisitadas

Para as funções diferenciáveis existe uma maneira muito simples de calcular as derivadas direcionais:

Teorema

Seja $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável em $P_0 \in {\rm int}\, D$. Então existem e são finitas as derivadas direcionais de $f$ em $P_0$ segundo qualquer vetor (unitário) $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$, verificando-se que

${\displaystyle \qquad f'_\vec{a}(P_0) =\nabla f(P_0) \cdot \vec{a}}$.

A prova faz-se novamente reduzindo tudo a limites de sucessões e usando enquadramento:

Dada uma qualquer sucessão, convergente para $0$, $(t_k)_{k\in \mathbb N} \subset ]-r,r[ \setminus \{0\}$ (para um $r>0$ suficientemente pequeno de modo a que $P_0+t_k\vec{a} \in D \setminus \{P_0\}$),

(18)
\begin{eqnarray} 0 & \leq & \left| \frac{f(P_0+t_k\vec{a})-f(P_0)}{t_k} - \nabla f(P_0) \cdot \vec{a} \right| \\ & = & \frac{\| t_k\vec{a} \|}{|t_k|} \, \left| \frac{f(P_0+t_k\vec{a})-f(P_0) - t_k (\nabla f(P_0) \cdot \vec{a})}{\| t_k\vec{a} \|} \right| \\ & = & \|\vec{a}\| \, \left| \frac{f(P_0+t_k\vec{a})-f(P_0) - \nabla f(P_0) \cdot (P_0+t_k\vec{a}-P_0)}{\| P_0+t_k\vec{a}-P_0 \|} \right|, \end{eqnarray}

e o resultado pretendido sai pelo facto de a expressão no lado direito da última igualdade acima tender para $0$ quando $k$ tende para infinito, atendendo à hipótese de diferenciabilidade de $f$ em $P_0$.

Um critério para a diferenciabilidade

As duas provas acima mostram ser possível trabalhar com a definição algo complicada de função diferenciável para se obterem resultados importantes como a continuidade em pontos de diferenciabilidade e a fórmula simples para o cálculo de derivadas direcionais. No entanto, esta última fórmula de pouco vale se não houver uma maneira mais simples de garantir a diferenciabilidade sem ser através da sua definição. As boas notícias é que essa maneira existe, como é explicado no seguinte resultado, que enunciamos sem prova:

Teorema (condição suficiente de diferenciabilidade)

Sejam $f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e $P_0 \in {\rm int}\, D$. Se as derivadas parciais de $f$ existem e são finitas numa bola aberta centrada em $P_0$ e são contínuas em $P_0$ então $f$ é diferenciável em $P_0$.


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