1.3 Derivadas, gradientes e diferenciais - parte 3

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Gradientes e direção e sentido de crescimento mais rápido

Vamos agora tirar partido da caracterização das derivadas direcionais através do gradiente (no caso das funções diferenciáveis) para obtermos alguma informação sobre o comportamento local de uma função real de várias variáveis, pelo menos nos casos de $n=2$ e de $n=3$:

De acordo com tal caracterização, dado um ponto $P_0 \in {\rm int} D$ onde uma função $f : D \subset \mathbb R^n \to \mathbb R$ seja diferenciável e dado um vetor unitário $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$,

(1)
\begin{align} f'_\vec{a}(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \vec{a} = \| \nabla f(P_0) \| \cos \theta, \end{align}

onde $\theta$ é o chamado ângulo entre $\nabla f(P_0)$ e $\vec{a}$ (mesmo no caso de $n$ superior a 3), logo $f'_\vec{a}(P_0)$ é, a menos de sinal, a norma da chamada projeção ortogonal do gradiente sobre $\vec{a}$. Independentemente destas designações, da fórmula (1) sai imediatamente que $f'_\vec{a}(P_0)$ tem o maior valor possível quando $\cos \theta =1$, isto é, quando $\vec{a}$ tem a mesma direcção e sentido do vetor gradiente. Por outras palavras, em cada ponto de diferenciabilidade da função, a taxa de variação é máxima na direção e sentido do vetor gradiente, sendo $\| \nabla f(P_0) \|$ o seu valor.

Campos de gradientes

Em certas aplicações físicas é útil representar os vetores gradientes (ou vetores proporcionalmente mais pequenos, de modo a não tornar a figura numa confusão) aplicados em vários pontos correspondentes do domínio da função, como na figura abaixo, onde se representa o campo dos gradientes da função $f(x,y):=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$. Observa que se trata de uma representação da função

(2)
\begin{align} (x,y) \mapsto \nabla f(x,y) \end{align}

"pendurando" a sua imagem (=contradomínio) no seu domínio: como tanto o domínio como a imagem vivem, neste caso, em $\mathbb R^2$, podemos usar o mesmo plano para as duas coisas. No entanto, enquanto os elementos do domínio são marcados (ou simplesmente imaginados) da maneira geométrica usual, usando as suas coordenadas cartesianas, cada elemento do contradomínio que decidamos representar é marcado como um vetor, de dimensões proporcionais às verdadeiras, aplicado no ponto do domínio relativamente ao qual é calculado. Por exemplo, na figura abaixo aparece destacado o ponto $(1,1)$ do domínio e um vetor com origem nesse ponto que, se fosse representado com as dimensões reais, teria ambas as componentes aproximadamente iguais a $0,\! 353553$, como também indicado na figura. Este valor é uma aproximação, correta nas casas decimais exibidas, de $\frac{1}{2\sqrt{2}}$, sendo que este é o valor exato de cada uma das derivadas parciais de $f$ calculadas no ponto $(1,1)$, como poderás facilmente verificar.

graph%281%29.png

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: gradient2.gcf

Por exemplo, se o campo de vetores aqui em causa se referisse a um campo de velocidades de um fluido num dado instante, ficar-se-ia com uma ideia acerca do modo como o fluido estava a evoluir naquele instante.

Gradientes e planos tangentes a superfícies de nível

Do ponto de vista da geometria de uma função $f$, poderá ser útil sobrepor a representação acima à representação dos seus conjuntos de nível

(3)
\begin{align} N(c) := \{ x \in D : f(x) = c \}, \end{align}

para $c$ constante real.

No caso da função cujo campo de gradientes representámos acima, isso resultaria no seguinte:

graph.png

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: gradientdensity2.gcf

Comparando os vetores (proporcionais aos) gradientes junto a cada curva de nível revela que, em cada ponto, o gradiente da função parece perpendicular à curva de nível que passa por tal ponto. Na verdade, se considerarmos uma curva em $\mathbb R^n$ de equação vetorial

(4)
\begin{align} P := (x_1, \ldots, x_n) = (g_1(t), \ldots, g_n(t)) =: \vec{g}(t), \quad t \in I, \end{align}

com $I$ um intervalo aberto de números reais e $g_1, \ldots, g_n$ funções diferenciáveis, então, no caso de esta curva estar contida num conjunto de nível $N(c)$ de $f$, vem

(5)
\begin{align} f(\vec{g}(t)) = c, \quad \forall t \in I, \end{align}

de onde sai, com a ajuda da regra da cadeia1, e supondo ainda que a curva é constituída apenas por pontos de diferenciabilidade de $f$, que

(6)
\begin{align} \nabla f(\vec{g}(t)) \cdot \frac{d\vec{g}}{dt}(t) = (f \circ \vec{g})'(t) = 0, \quad \forall t \in I, \end{align}

isto é, o gradiente de $f$ em cada ponto $P = \vec{g}(t)$ da curva é perpendicular ao vetor $\frac{d\vec{g}}{dt}(t)$, supostos os vetores não nulos.

No caso de $n=3$ teremos, para cada ponto da superfície de nível que seja ponto de diferenciabilidade de $f$, que o gradiente da função é perpendicular aos vetores tangentes (cf. Nota 2 na parte anterior, a seguir ao enunciado da regra da cadeia) a qualquer curva de equação vetorial obedecendo aos requisitos acima (para $n=3$) e que passe pelo ponto, observação que motiva a definição seguinte:

Plano tangente a superfície de nível

Seja $f : D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$. Seja $N(c) := \{ x \in D : f(x) = c \}$ uma superfície de nível de $f$, para um dado $c \in \mathbb{R}$. Seja $P_0 \in N(c)$ um ponto de diferenciabilidade de $f$. Se $\nabla f(P_0) \not= \vec{0}$, define-se o plano tangente a $N(c)$ em $P_0$ pela equação

${\displaystyle \qquad \nabla f(P_0) \cdot (P-P_0) = 0}$.

Naturalmente, nas condições acima $\nabla f(P_0)$ dir-se-á perpendicular ou ortogonal à superfície de nível em $P_0$.

Como já anteriormente definimos plano tangente a gráfico de função e um tal gráfico pode sempre ser visto como uma superfície de nível de uma outra função, deixamos aqui a informação de que é possível provar que a definição anteriormente dada de plano tangente a gráfico de função é um caso particular da definição acima.

No caso de $n=2$ a definição correspondente à dada acima é a de reta tangente a curva de nível, a qual se pode provar que engloba como caso particular a definição de reta tangente a gráfico de função (de uma variável).

Atenção:

Dada uma função $f : D \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R$ e um ponto $(x_0,y_0) \in {\rm int} D$ onde $f$ seja diferenciável e onde o gradiente de $f$ não seja nulo,

o gradiente $\nabla f (x_0,y_0) := (f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0))$ não é ortogonal ao gráfico de $f$ em $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$.

Basta pensar que tal vetor tem duas dimensões apenas e que o gráfico de $f$ vive num espaço com três dimensões. Vimos anteriormente, na parte 1, que nas condições acima se obtém que $(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0),-1)$ sim, é um tal vetor.

A que é que $\nabla f (x_0,y_0) := (f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0))$ é ortogonal?… É à curva de nível $f(x_0,y_0)$ de $f$.

Analogamente, dada uma função $f : D \subset \mathbb R^3 \to \mathbb R$ e um ponto $(x_0,y_0,z_0) \in {\rm int} D$ onde $f$ seja diferenciável e onde o gradiente de $f$ não seja nulo,

o gradiente $\nabla f (x_0,y_0,z_0) := (f'_x(x_0,y_0,z_0),f'_y(x_0,y_0,z_0),f'_z(x_0,y_0,z_0))$ não é ortogonal ao gráfico de $f$ em $(x_0,y_0,z_0,f(x_0,y_0,z_0))$ (um objeto a viver num espaço com quatro dimensões!), mas sim ortogonal à superfície de nível $f(x_0,y_0,z_0)$ de $f$.

Ver para crer

Na figura abaixo podes ver várias superfícies de nível da função $f(x,y,z):=x^2+2y^2-z^2$ a evoluir desde hiperboloides de duas folhas até hiperboloides de uma folha, passando momentaneamente por um cone. E, em simultâneo, representam-se uns quantos vetores do seu campo de gradientes, usando as convenções explicadas a propósito de campos de gradientes mais acima. Aqui são apenas escolhidos vetores (proporcionais aos) gradientes aplicados em cada instante sobre a superfície de nível visível e nos pontos do domínio relativamente aos quais são calculados. Não te parecem geometricamente perpendiculares às respetivas superfícies de nível nos pontos de aplicação? No entanto, se abrires o ficheiro indicado junto à figura poderás verificar que não foi dada nenhuma instrução direta ao programa pedindo-lhe para traçar vetores ortogonais às superfícies: tudo é feito através de instruções analíticas, usando o cálculo dos gradientes, sendo a ortogonalidade visível uma consequência das propriedades exploradas acima.

Ficheiro gcf para manipular no Graphing Calculator Viewer: gradientesuperficie2.gcf


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