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Sucessões
Uma sucessão é um tipo especial de função real, em que o domínio em geral é $\mathbb N_0$ ou $\mathbb N$ (mas pode também, se for conveniente, ser somente constituído pelos números naturais a partir de um certo deles). Mas em vez de se escrever que a lei de transformação da sucessão $u$ é $u(n)$, é mais habitual escrever-se que o seu termo geral é $u_n$, e também que $u := (u_n)_{n \in \mathbb N}$ (no caso de o domínio ser $\mathbb N$).
Se nada for dito em contrário, assumiremos que as nossas sucessões têm $\mathbb N$ como domínio, mas também será verdade que todas as definições e resultados serão válidos com outro qualquer domínio admissível que se tenha fixado.
Sucessões convergentes
Uma sucessão $u$ é convergente para um número real $a$ se e só se a diferença entre $u_n$ e $a$ se pode tornar arbitrariamente pequena à medida que se aumenta o valor de $n$.
Dita deste modo, esta definição pode prestar-se a confusões (interpretações erradas), por isso vamos ser mais claros sobre o que deve acontecer para que uma sucessão se possa dizer convergente:
uma sucessão $u$ converge (ou tende) para $a$ se e só se o procedimento esquematizado ao lado não tem fim, ou seja, se e só se a resposta à questão aí colocada é sempre "Sim".
Devido ao facto de as escolhas possíveis para $\varepsilon$ serem em número infinito, vemos que não é possível garantir a convergência de uma sucessão usando diretamente esta definição num computador, sendo então conveniente a obtenção de propriedades alternativas que permitam tratamento computacional.
Do ponto de vista da notação concisa da matemática, a definição em causa resume-se a garantir que
$\forall \varepsilon > 0, \, \exists n_0 \in \mathbb N: \;\; n \geq n_0 \, \underset{n \in \mathbb N}{\Longrightarrow} \, |u_n-a| < \varepsilon \;$2,
caso em que se resume esta propriedade escrevendo-se simplesmente
(1)ou
(2)Uma consequência imediata desta definição é a seguinte propriedade referida no ensino secundário:
Toda a sucessão convergente é limitada.
Exercício
- Recorda também a noção de sucessão que tende para infinito ($+\infty$, simplesmente denotado por $\infty$ aqui, ou $-\infty$), em tal caso também se dizendo que diverge para infinito ($\infty$ ou $-\infty$ respetivamente).
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