Limites e continuidade - parte 1 (revisão)

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Sucessões

Uma sucessão é um tipo especial de função real, em que o domínio em geral é $\mathbb N_0$ ou $\mathbb N$ (mas pode também, se for conveniente, ser somente constituído pelos números naturais a partir de um certo deles). Mas em vez de se escrever que a lei de transformação da sucessão $u$ é $u(n)$, é mais habitual escrever-se que o seu termo geral é $u_n$, e também que $u := (u_n)_{n \in \mathbb N}$ (no caso de o domínio ser $\mathbb N$).

Se nada for dito em contrário, assumiremos que as nossas sucessões têm $\mathbb N$ como domínio, mas também será verdade que todas as definições e resultados serão válidos com outro qualquer domínio admissível que se tenha fixado.

Sucessões convergentes

Uma sucessão $u$ é convergente para um número real $a$ se e só se a diferença entre $u_n$ e $a$ se pode tornar arbitrariamente pequena à medida que se aumenta o valor de $n$.

Dita deste modo, esta definição pode prestar-se a confusões (interpretações erradas), por isso vamos ser mais claros sobre o que deve acontecer para que uma sucessão se possa dizer convergente:

uma sucessão $u$ converge (ou tende) para $a$ se e só se o procedimento esquematizado ao lado não tem fim, ou seja, se e só se a resposta à questão aí colocada é sempre "Sim".

Devido ao facto de as escolhas possíveis para $\varepsilon$ serem em número infinito, vemos que não é possível garantir a convergência de uma sucessão usando diretamente esta definição num computador, sendo então conveniente a obtenção de propriedades alternativas que permitam tratamento computacional.

Ver aparte

Em contrapartida, pelo menos em casos simples a nossa inteligência natural não tem nenhum problema em lidar com o assunto. Por exemplo, a sucessão de termo geral $\frac{1}{n}$ converge para 0 porque a escolha de $n_0$ no procedimento esquematizado é sempre possível: terá em particular que verificar a desigualdade $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$; mas esta é equivalente a $n_0 > \frac{1}{\varepsilon}$, e é certamente¹ sempre possível escolher um natural $n_0$ superior ao real $\frac{1}{\varepsilon}$, logo qualquer outro natural $n$ superior a $n_0$ verifica também a desigualdade.

Do ponto de vista da notação concisa da matemática, a definição em causa resume-se a garantir que

$\forall \varepsilon > 0, \, \exists n_0 \in \mathbb N: \;\; n \geq n_0 \, \underset{n \in \mathbb N}{\Longrightarrow} \, |u_n-a| < \varepsilon \;$²,

caso em que se resume esta propriedade escrevendo-se simplesmente

(1)

\begin{align} u_n {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} a \end{align}

ou

(2)

\begin{align} \lim_{n \to \infty} u_n = a. \end{align}

Uma consequência imediata desta definição é a seguinte propriedade referida no ensino secundário:

Toda a sucessão convergente é limitada.

Exercício

1. Recorda também a noção de sucessão que tende para infinito ($+\infty$, simplesmente denotado por $\infty$ aqui, ou $-\infty$), em tal caso também se dizendo que diverge para infinito ($\infty$ ou $-\infty$ respetivamente).

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Comentários:

Footnotes

1. enfim, pelo menos é uma consequência da axiomática de $\mathbb R$, que temos optado por omitir

2. A expressão por baixo do sinal de implicação serve para indicar o universo de variação do $n$ onde se está a considerar que a implicação é verdadeira. Por vezes omite-se, se for claro pelo contexto.