Limites e continuidade - parte 2 (revisão)

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Ponto de acumulação

Um número $a \in \mathbb R$ diz-se um ponto de acumulação de um conjunto $A \subset \mathbb R$ se e só se existe pelo menos uma sucessão de elementos de $A$, todos diferentes de $a$, que converge para $a$.

Observa que o próprio $a$ não precisa de pertencer ao conjunto $A$.

Exemplo

$0$ é um ponto de acumulação do intervalo $]0,1[$: por exemplo, a sucessão de termo geral $\frac{1}{n}$, $n \in \mathbb N \setminus \{1\}$, obedece aos requisitos da definição acima.

Ponto isolado

Um número $a \in \mathbb R$ diz-se um ponto isolado de um conjunto $A \subset \mathbb R$ se e só se as duas condições seguintes se verificam em simultâneo:

1. $a$ não é ponto de acumulação de $A$;
2. $a \in A$.

Exemplo

$0$ é ponto isolado do conjunto $\{0\} \cup [1,2]$, mas não é ponto isolado do intervalo $[1,2]$: $0$ não é ponto de acumulação de nenhum destes conjuntos¹, mas só pertence ao primeiro.

Ponto interior

Um número $a \in \mathbb R$ diz-se um ponto interior de um conjunto $A \subset \mathbb R$ se e só se está contido nalgum intervalo aberto que está por sua vez contido no conjunto.

Exemplo

$\frac{1}{2}$ é ponto interior do intervalo $]0,\frac{3}{4}]$, mas não é ponto interior do intervalo $]0,\frac{1}{2}]$.

Exercícios

1. Convence-te de que qualquer ponto interior de um conjunto é também seu ponto de acumulação.
2. Convence-te de que qualquer extremo de um intervalo é um ponto de acumulação deste, quer esse extremo seja aberto, quer seja fechado.

Limite de função (segundo Heine)

Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ e $a$ um ponto de acumulação de $D$. Seja $b \in \mathbb R$. Diz-se que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$ é $b$, e escreve-se

(1)

\begin{align} \lim_{x \to a} f(x) = b, \end{align}

se e só se $f(u_n) {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} b$ sempre que $u_n {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} a$ com $u_n \in D \setminus \{a\} \, (n \in \mathbb N)$.

Esquematicamente, corresponde ao procedimento ilustrado ao lado não ter fim, ou à resposta à questão aí colocada ser sempre "Sim".

Exemplo

Considera a função pico $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{se } x \not= 0 \\ 1 & \mbox{se } x=0 \end{array} \right., \;\; x \in \mathbb R$.

Por um lado, podemos concluir que $\lim_{x \to 0} f(x) \not= 1$: escolhe $u_n = \frac{1}{n}$ no esquema ao lado e verás que o procedimento termina logo, pois $f(\frac{1}{n})=0\, {\mathop {\not\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} 1$.

Por outro lado, podemos mesmo concluir que $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$: repara que, independentemente da escolha de $u_n$ de acordo com o esquema ao lado, escolhe-se sempre de tal modo que $u_n \not= 0$, logo $f(u_n) = 0 \, {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} 0$, ou seja, a resposta à questão colocada no esquema é sempre "Sim".

Observa também que se tivéssemos começado pela segunda conclusão poderíamos de imediato concluir também a primeira, devido à seguinte propriedade (também dada no ensino secundário):

Unicidade do limite

O limite de uma função num ponto quando existe é único.

Observa também que o valor de $f$ em $0$ no exemplo acima não influenciou o valor do limite, que só depende do comportamento da função junto a zero (com exceção do próprio zero). Isto sai claramente da definição de limite, pois as sucessões que se escolhem têm sempre todos os termos diferentes de $a$. No entanto, como isto é um ponto que é habitualmente fonte de muita confusão entre os novatos, deixamos aqui o destaque:

O valor de uma função $f$ num ponto $a$ é completamente irrelevante para o cálculo de $\lim_{x \to a} f(x)$. Tal limite depende somente do comportamento de $f$ em conjuntos da forma $]a-\delta,a+\delta[\, \cap \,(D \setminus \{a\})$, para $\delta >0$, sendo que o $\delta$ positivo a considerar pode ser tão pequeno quanto se queira.

Aliás, esta observação permite, no cálculo de $\lim_{x \to a} f(x)$, substituir $f$ por qualquer outra função que coincida com $f$ somente num conjunto da forma $]a-\delta,a+\delta[\, \cap \,(D \setminus \{a\})$, para algum $\delta > 0$.

Exercícios

1. Recorda também o significado de
   1. limite lateral (e a relação com a noção de limite dada acima);
   2. limite infinito (positivo ou negativo);
   3. limite no infinito (positivo ou negativo).
2. Obtém a contrapartida de cada uma das duas observações anteriores no caso do cálculo dos limites indicados na questão anterior.

Um critério útil em abordagens geométricas

O seguinte resultado, que apresentamos sem demonstração, sugere uma abordagem geométrica na determinação de limites de funções nalguns casos:

Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ e $b \in \mathbb R \cup \{ -\infty, \infty \}$.

1. Seja $a \in \mathbb R \cup \{ \infty \}$ tal que existe pelo menos uma sucessão de elementos de $D$, todos menores do que $a$, que tende para $a$. As duas condições seguintes são equivalentes:
   1. $\lim_{x \to a-} f(x) = b$²;
   2. $f(u_n) {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} b$ sempre que $u_n {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} a$ com $u_n \in D$ e $(u_n)_n$ estritamente crescente.
2. Seja $a \in \mathbb R \cup \{ -\infty \}$ tal que existe pelo menos uma sucessão de elementos de $D$, todos maiores do que $a$, que tende para $a$. As duas condições seguintes são equivalentes:
   1. $\lim_{x \to a+} f(x) = b$³;
   2. $f(u_n) {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} b$ sempre que $u_n {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} a$ com $u_n \in D$ e $(u_n)_n$ estritamente decrescente.

Exercícios

1. Reconsidera a questão do cálculo do limite em $0$ da função pico introduzida no exemplo acima à luz do critério acabado de dar.
2. Sejam $H(x)$ a função degrau unitário, ou função de Heaviside (igual a $0$ se $x < 0$; igual a $1$ se $x \geq 0$), e $g(x)=x^2-3x+2$. Calcula, em cada uma das alíneas seguintes, o limite indicado ou, no caso de não existir, os respetivos limites laterais:
   1. $\displaystyle \lim_{x \to 1} H(g(x))$;
   2. $\displaystyle \lim_{x \to 2} H(g(x))$;
   3. $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(H(x))$.

Ver soluções ou indicações

1. -
2. 1. Não existe: $\lim_{x \to 1-} H(g(x)) = 1$; $\lim_{x \to 1+} H(g(x)) = 0$.
   2. Não existe: $\lim_{x \to 2-} H(g(x)) = 0$; $\lim_{x \to 2+} H(g(x)) = 1$.
   3. Não existe: $\lim_{x \to 0-} g(H(x)) = 2$; $\lim_{x \to 0+} g(H(x)) = 0$.

Algumas propriedades elementares

As seguintes propriedades saem imediatamente de propriedades análogas para sucessões (e, de qualquer modo, deverão ter sido referidas no ensino secundário):

Comparação; infinitésimo $\times$ limitada

Sejam $f,g,h : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a$ um ponto de acumulação de $D$.

1. Se $g(x) \leq f(x), \forall x \in D$, então $\lim_{x \to a} g(x) \leq \lim_{x \to a} f(x)$, desde que estes limites existam.
2. Se $g(x) \leq f(x) \leq h(x), \forall x \in D$, e se $\lim_{x \to a} g(x) = b = \lim_{x \to a} h(x)$, então também $\lim_{x \to a} f(x) = b$.
3. Se $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ e $g$ é limitada, então $\lim_{x \to a} (fg)(x) = 0$.

Notas:

1. Este resultado vale também quando $a$ é $\infty$ ou $-\infty$, desde que, respetivamente, $\infty$ ou $-\infty$ possam ser "aproximados" por sucessões em $D$. Será isso que pretenderemos dizer quando incluirmos a possibilidade de um ponto de acumulação $a$ de um conjunto $D \subset \mathbb R$ poder ser $\infty$ ou $-\infty$.
2. O resultado acima (e a sua extensão de acordo com o ponto anterior) vale também quando $b$ é $\infty$ ou $-\infty$.

Álgebra dos limites

Sejam $f,g :D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a$ (finito ou infinito) um ponto de acumulação de $D$. As seguintes igualdades são válidas desde que existam e sejam finitos os limites que constam nos respetivos segundos membros (e no caso do quociente supondo também que os denominadores não sejam nulos):

1. $\lim_{x \to a} (f(x)+g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$.
2. $\lim_{x \to a} (f(x)-g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$.
3. $\lim_{x \to a} (f(x)\cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$.
4. $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$.

Nota: Este resultado vale também quando nos segundos membros ocorrem valores infinitos, usando uma extensão natural das regras operatórias envolvidas, desde que não se fique com uma configuração de indeterminação nesses segundos membros. Assim,

(2)

\begin{eqnarray} \pm \infty + b \; \mbox{ e } \, b + (\pm \infty) & \mbox{ resultam em } & \pm \infty \; \mbox{ se } \, b \in \mathbb R \, \mbox{ ou } \, b=\pm \infty \\ \pm \infty - b \; \mbox{ e } \, -b - (\mp \infty) & \mbox{ resultam em } & \pm \infty \; \mbox{ se } \, b \in \mathbb R \, \mbox{ ou } \, b=\mp \infty \ \\ b \cdot (\pm \infty) \; \mbox{ e } \, (\pm \infty) \cdot b & \mbox{ resultam em } & \left\{ \begin{array}{ll} \pm \infty & \mbox{ se }\, b>0 \, \mbox{ ou } \, b=\infty \\ \mp \infty & \mbox{ se }\, b<0 \, \mbox{ ou } \, b=-\infty \end{array} \right. , \\ \frac{b}{\pm \infty} & \mbox{ resultam em } & 0 \; \mbox{ desde que } \, b\not=\infty \, \mbox{ e } \, b \not=-\infty, \\ \frac{\pm \infty}{b} & \mbox{ resultam em } & \left\{ \begin{array}{ll} \pm \infty & \mbox{ se }\, b>0 \, \mbox{ (com $b$ finito) } \\ \mp \infty & \mbox{ se }\, b<0 \, \mbox{ (com $b$ finito) } \end{array} \right. \end{eqnarray}

O último caso também é válido quando $b=0^+$ na primeira linha e quando $b=0^-$ na segunda linha⁴. Em contrapartida, no caso de ocorrência de

(3)

\begin{align} \pm \infty + (\mp \infty), \;\; \pm \infty - (\pm \infty), \;\; 0 \cdot (\pm \infty), \;\; (\pm \infty) \cdot 0, \;\; \frac{\pm \infty}{\pm \infty}, \;\; \frac{\mp \infty}{\pm \infty} \; \mbox{ ou } \; \frac{0}{0} \end{align}

diz-se que estamos perante uma indeterminação e nada se pode concluir sem um estudo adicional em cada situação particular.

Este conjunto de propriedades já nos permite calcular uns quantos limites de uma forma expedita.

Exercícios

1. Calcula, caso exista,
   1. $\lim_{x \to 0} \frac{3x^3+x^2+1}{2x^3-x-2}$;
   2. $\lim_{x \to \infty} \frac{x+5}{1+x^2} \sin \frac{\pi x}{2}$.

Ver soluções ou indicações

1. 1. $-\frac{1}{2}$. Podes obter alguns detalhes da resolução utilizando a interface computacional abaixo⁵.
   2. Neste caso a interface computacional abaixo não esclarece nenhum detalhe da resolução, de modo que damos alguns aqui:
      Se garantirmos que a fração tem limite $0$, uma das propriedades acima⁶ garante que o limite total é $0$ também. No cálculo do limite da fração não podemos usar a álgebra dos limites, pois obtém-se uma indeterminação⁷. Existem truques — como "fatorizar" — para lidar com algumas destas situações, mas o da factorização não funciona aqui⁸. Existem técnicas mais avançadas — que daremos mais à frente — para lidarmos facilmente com este tipo de indeterminações, mas, para não ficarmos sem resposta neste momento, aqui vai um truque que poderá ser útil noutras situações⁹:
      

(4)

\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{x+5}{1+x^2} & = & \lim_{x \to \infty} \frac{x+5}{x} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{1+x^2} \\ & = & \lim_{x \to \infty} \big( 1 + \frac{5}{x}\! \big) \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x^2}+1} \, = \; 0. \end{eqnarray}

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Comentários:

Footnotes

1. Porquê?

2. No caso de $a=\infty$, $a-$ deve entender-se como $\infty$.

3. No caso de $a=-\infty$, $a+$ deve entender-se como $-\infty$.

4. significando o $0^+$ que a "aproximação" ao limite se faz sempre por valores positivos, enquanto o $0^-$ significa que a "aproximação" ao limite se faz sempre por valores negativos; em qualquer uma dessas situações o último caso vale também quando em vez de $+\infty$ ou $-\infty$ no numerador se considera respetivamente um qualquer real positivo ou negativo

5. Entretanto a possibilidade de obter resoluções deixou de funcionar na interface abaixo. Para obteres resoluções através da WA deverás executar os comandos na versão Pro.

6. qual?

7. qual?

8. porquê?

9. convém tentares perceber porque é que funciona