Limites e continuidade - parte 3 (revisão)

« página anterior: Limites e continuidade - parte 2 (revisão)

Apesar do que foi referido na parte 2, sobre o valor de uma função num ponto ser irrelevante para o cálculo do limite dessa função nesse ponto, não é possível deixar de reparar que num dos últimos exercícios1 o limite coincide precisamente com esse valor.

Em que condições é que isso acontece?2

A resposta é que acontece quando e só quando a função é contínua no ponto em causa.

Continuidade pontual

Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ e $a \in D$. Diz-se que $f$ é contínua em $a$ se e só se $f(u_n) {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} f(a)$ sempre que $u_n {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} a$ com $u_n \in D \, (n \in \mathbb N)$.

Parece-se com a definição de limite de função, mas contém as seguintes diferenças importantes:

  • não se exige que $a$ seja ponto de acumulação de $D$, mas em contrapartida exige-se que $a$ pertença a $D$ (logo, no caso de não ser ponto de acumulação de $D$ terá que ser seu ponto isolado);
  • não se exige que os termos $u_n$ das sucessões consideradas a convergir para $a$ sejam escolhidos diferentes de $a$;
  • $b$ é aqui tomado inequivocamente como sendo $f(a)$.

Como consequências simples temos os dois seguintes resultados:

Se $a \in D$ é um ponto de acumulação de uma função $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$, então

$f$ é contínua em $a \;$ se e só se $\; \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Se $a \in D$ é um ponto isolado de uma função $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$, então $f$ é contínua em $a$.

Este último resultado poderá parecer um pouco surpreendente, tendo em vista a nossa ideia intuitiva do que deve ser a continuidade, mas, como referido, é uma consequência simples da definição dada (tu próprio, como ser pensante que és, podes verificar isso facilmente!).

Quanto ao primeiro resultado, é esse que permite o cálculo rápido de limites na presença de funções contínuas nos pontos em causa. É claro que esta observação só é útil se for fácil reconhecer estar-se em presença de tais funções. O seguinte resultado é também uma consequência simples da definição dada e vai nesse sentido:

Álgebra das funções contínuas

  1. As funções constantes e a função identidade são contínuas3.
  2. Se $f$ e $g$ forem contínuas num ponto $a$ comum aos seus domínios, então $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$ e $f/g$ (neste último caso supondo também que $g(a) \not= 0$) são também contínuas em $a$.
  3. Se $f : A \subset \mathbb{R} \to B \subset \mathbb{R}$ e $h : B \to \mathbb{R}$ forem contínuas respetivamente em $a \in A$ e em $f(a) \in B$, então a função composta $h \circ f$ é também contínua em $a$.

Exemplos

  1. A função $f(x) := \frac{3x^3+x^2+1}{2x^3-x-2}$ considerada num dos últimos exercícios da parte 2, e referida em cima, é, como qualquer função racional, contínua em qualquer ponto que não anule o denominador, logo o seu limite no ponto $0$, pedido nesse exercício, poderia ter sido calculado substituindo por $0$ todas as ocorrências da variável $x$ na expressão.
  2. As funções afins, quadráticas, potências, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas diretas que recordámos nas secções de revisão sobre o Universo das funções são todas contínuas (nos seus domínios)4.

Exercícios

  1. Recorda o significado de continuidade lateral num ponto e a relação com a continuidade no mesmo ponto.
  2. Determina $k$ por forma a que a função $f$ seja contínua no seu domínio:
    1. $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^5\sin \frac{1}{x^2}+1 & \mbox{se} & x \not= 0 \\ k & \mbox{se} & x=0 \end{array}\right.$;
    2. $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} kx^2+2x & \mbox{se} & x < 2\\ x^3-kx & \mbox{se} & x \geq 2 \end{array}\right.$.

Limite e continuidade segundo Cauchy

É possível provar (se tiveres curiosidade, podes ver uma prova aqui) que a definição que demos para um número real $b$ ser o limite de uma função $f$ num ponto de acumulação $a$ do seu domínio $D$ é equivalente à seguinte afirmação:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \;\; 0 < |x-a| < \delta \; \underset{x \in D}{\Longrightarrow} \; |f(x)-b| < \varepsilon$.

Analogamente, é também possível provar que a definição que demos para uma função $f$ ser contínua num ponto $a$ do seu domínio $D$ é equivalente à seguinte afirmação:

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \;\; |x-a| < \delta \; \underset{x \in D}{\Longrightarrow} \; |f(x)-f(a)| < \varepsilon$.

Se bem que tenha um aspeto mais complicado que a definição que originalmente demos de continuidade pontual, trata-se de uma caracterização que, para além de útil em certas argumentações teóricas, é crucial para a implementação do cálculo de valores de funções contínuas em calculadoras e computadores:

Por exemplo:

Para calcular o valor de uma função contínua $f$ em $\pi$, se não se souber de um modo abstrato quanto é que deve dar, qualquer dessas máquinas terá que ter instruções para usar uma dízima finita, digamos $x$, em vez de $\pi$. Por seu lado, o utilizador quererá que o resultado que a máquina lhe irá mostrar (ou seja, $f(x)$) não se distinga de $f(\pi)$ no conjunto de dígitos que forem exibidos. Para isso a máquina terá que garantir que $|f(x)-f(\pi)| < \varepsilon$, para um certo $\varepsilon > 0$ que dependerá da máquina em causa.

Sendo $f$ contínua em $\pi$, o resultado acima garante que é possível encontrar um $\delta > 0$ tal que para qualquer $x$ que se escolha para valor aproximado de $\pi$ com um erro inferior a $\delta$ se tem que $f(x)$ é um valor aproximado de $f(\pi)$ com erro inferior a $\varepsilon$ e, portanto, é possível mostrar ao utilizador aquilo que ele quer ver.5

Apesar de útil, o argumento acima não garante que o mesmo $\delta$ funcione caso se queira calcular $f$ num valor diferente de $\pi$. Do ponto de vista da programação da máquina há todo o interesse em garantir que se pode escolher um $\delta$ que funcione para todos os valores que se queiram calcular para a função $f$ em causa. Há funções e domínios para os quais isso é possível: essencialmente tais funções têm que ter a propriedade que se designa por continuidade uniforme. É possível provar que qualquer função contínua tem essa propriedade em qualquer intervalo limitado e fechado contido no seu domínio.

Exercício

  1. Verifica que se uma função $f$ é contínua em $a$ e se $f(a) > 0$ (resp. $f(a) < 0$), então $f(x) > 0$ (resp. $f(x) < 0$) em $D_f \cap ]a-\delta,a+\delta[$, para algum $\delta > 0$.

página seguinte: Limites e continuidade - parte 4 (revisão) »

Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License