Limites e continuidade - parte 4 (revisão)

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Valores intermédios de funções contínuas

É costume dizer-se que as funções contínuas são aquelas cujos gráficos se conseguem traçar sem tirar o lápis do papel. Ou aquelas que não passam de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios (por outras palavras, aquelas cujos contradomínios são intervalos). Embora isto dê uma ideia visual sobre o que deve ser a continuidade de uma função, não se trata de afirmações estritamente verdadeiras em face da definição oficial de função contínua, que demos na página anterior, como veremos já de seguida.

Exercícios

1. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função contínua¹ onde seja necessário levantar o lápis do papel para traçar o seu gráfico.
2. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função descontínua cujo contradomínio seja um intervalo.

Ver soluções ou indicações

1. Por exemplo, $\tan$ ou ${\rm cotan}$. Ou um exemplo mais básico, como $f : [0,1] \cup [2,3] \to \mathbb R$ definida por² $f(x) = 0$ se $x \in [0,1]$ e $f(x) = 1$ se $x \in [2,3]$.
2. Por exemplo, $f : [-1,2] \to \mathbb R$ definida por³ $f(x) = x+1$ se $x \in [-1,0[$ e $f(x) = x$ se $x \in [0,2]$. Trata-se de uma função descontínua em $0$ mas tal que $CD_f = [0,2]$, um intervalo.

Estes exercícios devem servir de alerta para a necessidade de se produzirem provas a partir das definições adotadas (ou de outros resultados já provados) antes que se possa garantidamente afirmar a veracidade de uma afirmação, por mais apelativa geometricamente que ela possa parecer. Felizmente os matemáticos já provaram várias delas, por isso só precisamos de as ler com atenção e de termos o cuidado de garantir que as suas hipóteses se verificam antes de usarmos as suas conclusões (também ditas teses).

Listamos aqui algumas, relativas a funções contínuas, entremeadas com alguns comentários e exercícios:

Teorema dos valores intermédios (ou de Bolzano-Cauchy)

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ contínua. Então $f$ não passa de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios.

Por outras palavras, a conclusão pode ser expressa dizendo-se que o contradomínio de $f$ é um intervalo. E a conclusão vale para qualquer intervalo que se considere no domínio da função (e não somente para intervalos limitados e fechados).

Assim, no caso de funções contínuas cujo domínio é um intervalo é, de facto, possível pelo menos esboçar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel.⁴

Uma consequência útil do teorema anterior é o seguinte resultado:

Seja $f:[a,b] \to \mathbb R$ uma função contínua tal que $f(a) < 0 < f(b)$. Então $f$ possui um zero em $]a,b[$.

Aliás, uma das maneiras de provar o Teorema dos valores intermédios é seguir a ordem contrária, provando primeiro o resultado que acabou de se enunciar e provando depois, com base nele, o Teorema dos valores intermédios. O primeiro exercício que se propõe a seguir pretende que reconstruas essencialmente esta última prova.

Exercícios

1. Assumindo somente o último resultado acima, mostra que se $f:[a,b] \to \mathbb R$ for uma função contínua tal que $f(a) < k < f(b)$, para algum $k \in \mathbb R$, então existe um $c \in ]a,b[$ para o qual $f(c) = k$.⁵
2. Aplica um dos resultados anteriores à função $f : [1,2] \to \mathbb R$ definida por $f(x)=x^2$ e conclui que existe um número real em $]1,2[$ cujo quadrado é 2.⁶
3. Garante que a equação $x^3+4x^2+2x+5=0$ tem pelo menos uma solução em $\mathbb{R}$.

Ver soluções ou indicações

1. Verifica que a função $g$ definida por $g(x) := f(x)-k$ satisfaz as hipóteses do resultado referido e aplica-o para concluíres.
2. Usa, por exemplo, o resultado do exercício anterior com $k=2$.
3. Resolução:
   Designe-se por $f(x)$ o polinómio do enunciado. Tem-se que $f$ é contínua (por ser uma função polinomial). Por outro lado, é fácil ver que, por exemplo, $f(-5) = -30 < 0$, enquanto $f(0) = 5 > 0$. Podemos então aplicar o Teorema dos valores intermédios a esta função $f$ e concluir que tem que existir $c \in ]-5,0[$ tal que $f(c)=0$.

Inversas de funções contínuas (injetivas)

Exercício

1. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função contínua injetiva cuja inversa não seja contínua.

Ver soluções ou indicações

1. Por exemplo, $f : [-1,0] \cup [1,2] \to \mathbb R$ definida por⁷ $f(x)=x+1$ se $x \in [-1,0[$ e $f(x) = x$ se $x \in [1,2]$.

Em contrapartida, é possível provar o seguinte resultado:

Teorema da inversão

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ contínua e injetiva. Então $f$ e $f^{-1}$ são ambas estritamente crescentes ou ambas estritamente decrescentes, a imagem $f([a,b]) =: J$ é um intervalo limitado e fechado e $f^{-1} : J \to \mathbb R$ é contínua.

Uma das maneiras de provar a continuidade das funções potências de expoente fraccionário da forma $\frac{1}{m}$, $m \in \mathbb N \setminus \{1\}$,⁸ para valores positivos da variável, é através de uma aplicação simples deste resultado⁹.

Uma outra aplicação simples permite mostrar que as conclusões sobre a monotonia e a continuidade da inversa continuam válidas mesmo se o intervalo do domínio de $f$ não for limitado e fechado.

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Comentários:

Footnotes

1. no seu domínio — aliás como sempre quando nos referimos a funções contínuas sem nada mais especificar

2. acompanha fazendo um esboço do gráfico

3. acompanha fazendo um esboço do gráfico

4. enfim, podemos é "demorar uma eternidade", mas isso já nos levaria para coisas esotéricas como fractais… podem ainda acontecer algumas coisas estranhas mesmo com funções contínuas em intervalos

5. Sugestão: constrói, a partir desta função $f$, uma outra a que possas aplicar o último resultado acima.

6. Esta é uma das maneiras de garantir a existência de $\sqrt{2}$, e um procedimento análogo permite também garantir a existência de $\sqrt[n]{x}$ para qualquer $x>0$ e qualquer $n \in \mathbb N \setminus \{1\}$.

7. acompanha fazendo um esboço do gráfico

8. e, a posteriori, a continuidade de qualquer função potência com expoente fraccionário, conjugando com a 3.ª regra da Álgebra das funções contínuas enunciada na página anterior

9. Consegues explicar como?