Derivadas - parte 1 (revisão)

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Derivada de uma função num ponto

Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ e $a$ um ponto interior de $D$. A derivada de $f$ em $a$ define-se como o limite, caso exista,

(1)

\begin{align} f'(a) := \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \end{align}

No caso de um tal limite não existir, diz-se que $f$ não tem derivada em $a$.

Em vez de $f'(a)$ também se usa a notação $\frac{df}{dx}\!(a)$, dita notação diferencial (já que, neste símbolo, $df$ e $dx$ se designam por diferenciais) para a derivada.

Em termos geométricos, a razão (dita razão incremental) em (1) dá-nos, para cada $x := a+h$ fixo, o declive da reta que passa pelos pontos de coordenadas $(a,f(a))$ e $(x,f(x))$ num habitual sistema de eixos cartesianos. Trata-se de uma reta que é, em geral, secante ao gráfico de $f$ nesse sistema de eixos. O limite $f'(a)$ corresponderá então ao declive da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a,f(a))$.

Esta ideia geométrica é ilustrada na interface gráfica abaixo, onde se escolheu $f(x) := \sin x + 0,3 x$, mas onde podes, em alternativa, introduzir outra função à tua escolha e explorar o que acontece.

No caso de $f$ descrever o espaço percorrido por um objeto, cada razão incremental dá-nos a velocidade média do movimento entre os instantes $a$ e $x:=a+h$ e $f'(a)$ dar-nos-á a velocidade instantânea do movimento no instante $a$.

Exercícios

1. Recorda também o significado de derivada lateral (e a relação com a noção de derivada).
2. Calcula, usando as definições, as derivadas e as derivadas laterais das funções nos pontos indicados:
   1. $f(x) = \frac{1}{x}$, $\; a = 2$.
   2. $f(x) = x^2-3x$, $\; a=3$.
   3. $f(x) = |x|$, $\; a=0$.
3. Em cada caso dá um exemplo (pode ser gráfico, com base na interpretação geométrica de derivada) de uma função e de um ponto do seu domínio onde
   1. a derivada seja $\infty$;
   2. a derivada seja $-\infty$;
   3. a derivada à esquerda seja $\infty$ e a derivada à direita seja $-\infty$;
   4. a derivada à esquerda seja $-\infty$ e a derivada à direita seja $\infty$;
4. Sabendo que a derivada de $y = x^3$ em $0$ vale $0^+$ (como podes facilmente verificar usando a definição), tira partido da interpretação geométrica da derivada, do teu conhecimento do gráfico desta função e do processo geométrico para a obtenção do gráfico da inversa para dizeres quanto vale a derivada de $y = \sqrt[3]{x}$ em $0$.

Ver soluções ou indicações

1. Para a derivada à esquerda de $f$ em $a$ supõe-se que existe $\varepsilon > 0$ tal que $]a-\varepsilon,a] \subset D_f$ e define-se como o limite, caso exista, $f'_e(a) := \lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
   Fica ao teu cuidado fazeres as modificações necessárias para obteres a definição de derivada à direita de $f$ em $a$, que denotaremos por $f'_d(a)$.
   No caso de $a$ ser ponto interior de $D_f$, $f'(a)$ existe se e só se existirem e forem iguais $f'_e(a)$ e $f'_d(a)$. No caso afirmativo, $f'(a)$ será então igual ao valor comum das duas derivadas laterais.
2. 1. $f'(2) = f'_e(2) = f'_d(2) = -\frac{1}{4}$.
   2. $f'(3) = f'_e(3) = f'_d(3) = 3$.
   3. $f'_e(0) = -1 \not= 1 = f'_d(0)$. Não existe $f'(0)$.
3. 1. Por exemplo, $f(x) : \mathbb R \to \mathbb R$ definida por $\, f(x) = -1$ se $x<0$, $\, f(0)=0\,$ e $\, f(x)=1$ se $x>0$.
   2. Comparando com a resposta anterior, deverás ser capaz de responder acertadamente a esta alínea.
   3. Por exemplo, $f(x) : \mathbb R \to \mathbb R$ definida por $\, f(x) = 0$ se $x \not= 0\,$ e $\, f(0)=1$.
   4. Comparando com a resposta anterior, deverás ser capaz de responder acertadamente a esta alínea.
4. $\infty$.

Função diferenciável e (função) derivada

Uma função diz-se diferenciável num ponto (interior do seu domínio) se tiver derivada finita nesse ponto. Diz-se diferenciável se for diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Como, dado um ponto interior $a$ do domínio de uma função $f$ diferenciável em $a$, se tem

(2)

\begin{align} \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} (f(x) - f(a) + f(a)) = \lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} (x-a) + f(a) \right) = f'(a) \cdot 0 + f(a) = f(a), \end{align}

então acabámos de ver que

Se uma função $f$ é diferenciável em $a$, então $f$ é contínua em $a$.¹

Exercícios

1. Convence-te de que propriedades análogas à anterior valem também para as correspondentes noções laterais de derivada (suposta finita) e continuidade e escreve-as.
2. Exibe um exemplo de uma função e de um ponto interior do seu domínio onde seja contínua mas onde não seja diferenciável.

Ver soluções ou indicações

1. Uma delas é "Se $f'_e(a)$ é finita, então $f$ é contínua à esquerda em $a$". Enuncia a correspondente propriedade que falta.
2. Por exemplo, $f(x) := |x|$ no ponto $0$.

Sendo finitos os valores da derivada de uma função no conjunto de pontos onde é diferenciável, pode-se definir uma função real de variável real nesse conjunto com a lei de transformação $x \mapsto f'(x)$.
A tal função chama-se função derivada de $f$ ou, mais simplesmente, derivada de $f$, usando-se o símbolo $f'$ ou $\frac{df}{dx}$ (ou $\frac{d}{dx}\! f$) para a denotar.

Exemplos básicos

Como facilmente se verifica,

• a derivada de qualquer função constante é a função nula;
• a derivada da função identidade é a função constantemente igual a 1.

Álgebra das funções diferenciáveis

Recorda as seguintes regras dadas no ensino secundário e que, conjugadas com os exemplos básicos anteriores, facilitam o cálculo de algumas derivadas:

Sejam $f, g$ funções diferenciáveis em $a$. Então $f \pm g$, $f \cdot g$ e $f/g$ (neste caso supondo também que $g(a) \not= 0$) são também diferenciáveis em $a$ e

1. $(f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)$,
2. $(f \cdot g)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a).$
3. $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{(g(a))^2}.$

Exercícios

1. Verifica que se $f_1, \ldots, f_n$ são diferenciáveis em $a$ então o mesmo sucede ao produto $f_1 \cdot \, \cdots \, \cdot f_n$ e
   $(f_1 \cdot \cdots \cdot f_n)'(a) = f'_1(a) \cdot f_2(a) \cdot \, \cdots \, \cdot f_n(a)\, + \; f_1(a) \cdot f'_2(a) \cdot f_3(a) \cdot \, \cdots \, \cdot f_n(a) \: + \: \cdots$
   $\qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \: + \: f_1(a) \cdot \, \cdots \, \cdot f_{n-1}(a) \cdot f'_n(a)$.
2. Verifica que, quer $n$ seja um inteiro positivo, quer seja um inteiro negativo, a função potência de expoente $n$ é diferenciável em $\mathbb R \setminus \{ 0 \}$ e $(x^n)'= n x^{n-1}$.
3. Determina as funções derivadas das seguintes funções:
   1. $f(x) = \frac{x^3}{1-x^2}$;
   2. $f(x) = \frac{1-x}{x^3+2}+2x$.

Ver soluções ou indicações

1. -
2. -
3. Podes obter as soluções e detalhes das resoluções utilizando a interface computacional abaixo²:

Exemplos

As funções afins, quadráticas, potências de expoente inteiro, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas diretas que recordámos nas secções de revisão sobre o Universo das funções, assim como as funções racionais, são todas diferenciáveis (nos seus domínios).³ Apesar de nem todas justificadas nesta altura, para a resolução dos exercícios assumiremos como conhecidas as regras de derivação constantes da seguinte tabela (onde se subentende a sua validade dentro do domínio de cada função):

função	derivada
$m x + b$, $\; m,b \in \mathbb R$	$m$
$x^n$, $\; n \in \mathbb Z$	$n x^{n-1}$
$a^x$, $\; a > 0$	$a^x \ln a$
$\log_a x$, $\; a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
${\rm cotan}\, x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\tan x \, \sec x$
$\csc x$	$-\,{\rm cotan}\, x \, \csc x$

Exercícios

1. Verifica as quatro últimas entradas da tabela acima, aplicando a regra da derivação do quociente e a informação dada sobre as derivadas do seno e do cosseno.
2. Verifica que a regra de derivação apresentada para o logaritmo de base qualquer $a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ é uma consequência simples da conhecida fórmula $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ uma vez sabendo que $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

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Comentários:

Footnotes

1. Sabes dizer onde é que a hipótese de diferenciabilidade em $a$ foi importante no argumento acima?

2. Entretanto a possibilidade de obter resoluções deixou de funcionar na interface abaixo. Para obteres resoluções através da WA deverás executar os comandos na versão Pro.

3. Atenção que nem todas estas conclusões saem dos resultados acima. Usá-las-emos entretanto, mas voltaremos a elas à medida que formos reunindo condições que as permitam ir esclarecendo.