Derivadas - parte 2 (revisão)

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Derivada da composição de funções (regra da cadeia)

Sejam $f : A \subset \mathbb R \to B \subset \mathbb R$ diferenciável num ponto interior $a$ de $A$ e $g : B \to \mathbb R$ diferenciável em $f(a)$ (naturalmente, suposto ponto interior de $B$). Então $g \circ f$ é diferenciável em $a$ e

(1)

\begin{align} (g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{align}

Esta regra é habitualmente fonte de muita confusão entre os iniciados, propagando-se essa confusão no cálculo de primitivas e integrais, a estudar mais à frente. Por isso, vamos dar uma indicação (mesmo que sumária) sobre a razão de ser desta regra:

Indicações para a prova

(2)

\begin{eqnarray} (g \circ f)'(a) & = & \lim_{x \to a} \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \\ & = & \lim_{x \to a} \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{f(x)-f(a)} \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \\ & = & \lim_{x \to a} \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{f(x)-f(a)} \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \\ & = & \lim_{y \to f(a)} \frac{g(y) - g(f(a))}{y-f(a)} \cdot f'(a) \\ & = & g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{eqnarray}

O argumento acima contém pelo menos uma deficiência, que no entanto pode ser ultrapassada. Para quem tiver curiosidade em saber qual é essa deficiência e como corrigi-la, siga a ligação em baixo:¹

Ver correção ao argumento acima

Há uma deficiência logo na segunda igualdade: dividimos por $f(x)-f(a)$, mas isso só pode ser feito se $f(x) \not= f(a)$. O que acontece se $f(x)=f(a)$?

Para ultrapassarmos esta dificuldade, abordamos o problema diretamente através da definição de limite.

Dada uma qualquer sucessão $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ de elementos de $A$ todos diferentes de $a$ e tendendo para $a$, da continuidade de $f$ em $a$ (implicada pela sua diferenciabilidade no mesmo ponto) sai que também

(3)

\begin{align} f(u_n) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} f(a), \end{align}

embora não seja garantido que se tenha sempre $f(u_n) \not= f(a)$.

Uma de duas coisas tem que acontecer: ou a partir de certa ordem se tem sempre $f(u_n) \not= f(a)$, ou não.

No primeiro caso, podemos escrever, para $n$ a partir de tal ordem, que

(4)

\begin{align} \frac{g(f(u_n)) - g(f(a))}{u_n-a} = \frac{g(f(u_n)) - g(f(a))}{f(u_n)-f(a)} \cdot \frac{f(u_n) - f(a)}{u_n-a}, \end{align}

de modo que, usando conhecidas regras sobre limites de sucessões e as hipóteses de diferenciabilidade de $f$ em $a$ e de $g$ em $f(a)$, por passagem ao limite quando $n \to \infty$ na expressão anterior se obtém que

(5)

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{g(f(u_n)) - g(f(a))}{u_n-a} = g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{align}

No segundo caso, por maior que seja a ordem existe sempre um $n$ tal que $f(u_n) = f(a)$. Forme-se uma subsucessão de $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ com todos os termos onde isso se verifique, de modo que, para esses termos, $\frac{f(u_n) - f(a)}{u_n-a} = 0$. Restrita a essa subsucessão, as razões incrementais anteriores por um lado têm então que convergir para zero, mas, por outro lado, têm que convergir para $f'(a)$, devido à hipótese de diferenciabilidade de $f$ em $a$. Ou seja, estamos num caso em que $f'(a)=0$, e logo também $g'(f(a)) \cdot f'(a) = 0$ (já que, por hipótese, $g'(f(a))$ é finita). Como as razões incrementais $\frac{g(f(u_n)) - g(f(a))}{u_n-a}$ são também, obviamente, nulas quando restritas a essa subsucessão, então verifica-se uma igualdade do tipo (5), mas envolvendo apenas os termos da subsucessão considerada. No entanto, no caso de os termos não escolhidos também formarem uma subsucessão, vale para essa, e com justificações análogas às feitas para o primeiro caso acima, uma igualdade correspondente a (5), de modo que, juntando estas duas observações, obtém-se a igualdade (5) para a sucessão original.

Juntando os dois casos, obteve-se a validade de (5) qualquer que seja a sucessão $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ de elementos de $A$ todos diferentes de $a$ e tendendo para $a$, e portanto, pelas definições de limite e de derivada, existe $(g \circ f)'(a)$ e verifica-se a igualdade (1).

Notações alternativas

Usando a notação diferencial $\frac{df}{dx}(a)$ para $f'(a)$, referida na parte anterior, e a correspondente $\frac{dg}{dy}(b)$ para $g'(b)$ (designando, portanto, por $y$ a variável independente de $g$, enquanto $x$ designa a variável independente de $f$), podemos escrever (1) na forma

(6)

\begin{align} \frac{d(g \circ f)}{dx}(a) = \frac{dg}{dy}(f(a)) \cdot \frac{df}{dx}(a). \end{align}

Uma mnemónica para esta regra consiste em omitir os pontos onde as derivadas são calculadas, pensar nas funções $f$, $g$ e $g \circ f$ respetivamente como $y=f(x)$, $z=g(y)$ e $z = (g \circ f)(x)$ e substituir na fórmula acima as funções pelas respetivas variáveis dependentes:

(7)

\begin{align} \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}. \end{align}

É como se dividíssemos e multiplicássemos por $dy$, mantendo a mesma expressão. Se ajudar, usa esta maneira de escrever, mas não encares as supostas frações como verdadeiras frações, que não são. E não te esqueças de calcular as derivadas nos pontos respetivos, de acordo com as fórmulas mais precisas (1) ou (6) indicadas atrás.

Exercícios

1. Determina $f'$ em cada um dos casos seguintes:
   1. $f(x) = \tan (\pi x)$.
   2. $f(x) = (2x^3+5)^4$.
   3. $f(x) = e^{\cos x} + x \sin x$.
2. Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ uma função diferenciável com derivada $f'$. Explicita o mais possível a derivada de
   1. $f(-x)$.
   2. $f(e^x)$.
   3. $f(\ln(x^2+1))$.
   4. $f(f(x))$.
3. Verifica que a regra da cadeia permite facilmente obter a derivada de $\cos x$ a partir da derivada de $\sin x$ e da relação $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$.

Ver soluções ou indicações

1. Podes obter as soluções e detalhes das resoluções utilizando a interface computacional abaixo² (mas os detalhes aí indicados no caso da primeira alínea são desnecessários se se partir já do conhecimento da derivada de $\tan x$).
2. 1. $-f'(-x)$.
   2. $e^{x}f'(e^{x})$.
   3. $\frac{2x}{x^2+1}f'(\ln(x^2+1))$.
   4. $f'(x)f'(f(x))$.

Mais exercícios

1. Discute a continuidade e a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções:
   1. $f(x)=e^{-|x|}$.
   2. $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x \sin \frac{1}{x} & \mbox{se} & x \not= 0\\ 0 & \mbox{se} & x=0\\ \end{array}\right.$.

Ver soluções ou indicações

1. 1. $f$ é diferenciável (logo contínua) em $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ e $f'(x)=\left \{ \begin{array}{lll} -e^{-x}& \textrm{se} & x>0\\ e^{x}&\textrm{se}&x<0\\ \end{array} \right.$. Em $0$ é contínua mas não é diferenciável, verificando-se que $f'_e(0)=1$ e $f'_d(0)=-1$.
   2. $f$ é diferenciável (logo contínua) em $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ e $f'(x) = \sin\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cos\frac{1}{x}$. Em $0$ é contínua mas não é diferenciável (nem sequer existem as derivadas laterais).

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Comentários:

Footnotes

1. Não deste conta de nenhuma deficiência na argumentação acima? Então o teu caso é mesmo grave e tens mesmo que ler pelo menos o primeiro parágrafo da ligação que se segue!

2. Entretanto a possibilidade de obter resoluções deixou de funcionar na interface abaixo. Para obteres resoluções através da WA deverás executar os comandos na versão Pro.