Derivadas - parte 2 (revisão)

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Derivada da composição de funções (regra da cadeia)

Sejam $f : A \subset \mathbb R \to B \subset \mathbb R$ diferenciável num ponto interior $a$ de $A$ e $g : B \to \mathbb R$ diferenciável em $f(a)$ (naturalmente, suposto ponto interior de $B$). Então $g \circ f$ é diferenciável em $a$ e

(1)
\begin{align} (g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{align}

Esta regra é habitualmente fonte de muita confusão entre os iniciados, propagando-se essa confusão no cálculo de primitivas e integrais, a estudar mais à frente. Por isso, vamos dar uma indicação (mesmo que sumária) sobre a razão de ser desta regra:

Indicações para a prova

(2)
\begin{eqnarray} (g \circ f)'(a) & = & \lim_{x \to a} \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{x-a} \\ & = & \lim_{x \to a} \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{f(x)-f(a)} \cdot \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \\ & = & \lim_{x \to a} \frac{g(f(x)) - g(f(a))}{f(x)-f(a)} \cdot \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \\ & = & \lim_{y \to f(a)} \frac{g(y) - g(f(a))}{y-f(a)} \cdot f'(a) \\ & = & g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{eqnarray}

O argumento acima contém pelo menos uma deficiência, que no entanto pode ser ultrapassada. Para quem tiver curiosidade em saber qual é essa deficiência e como corrigi-la, siga a ligação em baixo:1

Notações alternativas

Usando a notação diferencial $\frac{df}{dx}(a)$ para $f'(a)$, referida na parte anterior, e a correspondente $\frac{dg}{dy}(b)$ para $g'(b)$ (designando, portanto, por $y$ a variável independente de $g$, enquanto $x$ designa a variável independente de $f$), podemos escrever (1) na forma

(6)
\begin{align} \frac{d(g \circ f)}{dx}(a) = \frac{dg}{dy}(f(a)) \cdot \frac{df}{dx}(a). \end{align}

Uma mnemónica para esta regra consiste em omitir os pontos onde as derivadas são calculadas, pensar nas funções $f$, $g$ e $g \circ f$ respetivamente como $y=f(x)$, $z=g(y)$ e $z = (g \circ f)(x)$ e substituir na fórmula acima as funções pelas respetivas variáveis dependentes:

(7)
\begin{align} \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}. \end{align}

É como se dividíssemos e multiplicássemos por $dy$, mantendo a mesma expressão. Se ajudar, usa esta maneira de escrever, mas não encares as supostas frações como verdadeiras frações, que não são. E não te esqueças de calcular as derivadas nos pontos respetivos, de acordo com as fórmulas mais precisas (1) ou (6) indicadas atrás.

Exercícios

  1. Determina $f'$ em cada um dos casos seguintes:
    1. $f(x) = \tan (\pi x)$.
    2. $f(x) = (2x^3+5)^4$.
    3. $f(x) = e^{\cos x} + x \sin x$.
  2. Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ uma função diferenciável com derivada $f'$. Explicita o mais possível a derivada de
    1. $f(-x)$.
    2. $f(e^x)$.
    3. $f(\ln(x^2+1))$.
    4. $f(f(x))$.
  3. Verifica que a regra da cadeia permite facilmente obter a derivada de $\cos x$ a partir da derivada de $\sin x$ e da relação $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$.

Mais exercícios

  1. Discute a continuidade e a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções:
    1. $f(x)=e^{-|x|}$.
    2. $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x \sin \frac{1}{x} & \mbox{se} & x \not= 0\\ 0 & \mbox{se} & x=0\\ \end{array}\right.$.

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