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Derivada da composição de funções (regra da cadeia)
Sejam $f : A \subset \mathbb R \to B \subset \mathbb R$ diferenciável num ponto interior $a$ de $A$ e $g : B \to \mathbb R$ diferenciável em $f(a)$ (naturalmente, suposto ponto interior de $B$). Então $g \circ f$ é diferenciável em $a$ e
(1)Esta regra é habitualmente fonte de muita confusão entre os iniciados, propagando-se essa confusão no cálculo de primitivas e integrais, a estudar mais à frente. Por isso, vamos dar uma indicação (mesmo que sumária) sobre a razão de ser desta regra:
Indicações para a prova
(2)O argumento acima contém pelo menos uma deficiência, que no entanto pode ser ultrapassada. Para quem tiver curiosidade em saber qual é essa deficiência e como corrigi-la, siga a ligação em baixo:1
Notações alternativas
Usando a notação diferencial $\frac{df}{dx}(a)$ para $f'(a)$, referida na parte anterior, e a correspondente $\frac{dg}{dy}(b)$ para $g'(b)$ (designando, portanto, por $y$ a variável independente de $g$, enquanto $x$ designa a variável independente de $f$), podemos escrever (1) na forma
(6)Uma mnemónica para esta regra consiste em omitir os pontos onde as derivadas são calculadas, pensar nas funções $f$, $g$ e $g \circ f$ respetivamente como $y=f(x)$, $z=g(y)$ e $z = (g \circ f)(x)$ e substituir na fórmula acima as funções pelas respetivas variáveis dependentes:
(7)É como se dividíssemos e multiplicássemos por $dy$, mantendo a mesma expressão. Se ajudar, usa esta maneira de escrever, mas não encares as supostas frações como verdadeiras frações, que não são. E não te esqueças de calcular as derivadas nos pontos respetivos, de acordo com as fórmulas mais precisas (1) ou (6) indicadas atrás.
Exercícios
- Determina $f'$ em cada um dos casos seguintes:
- $f(x) = \tan (\pi x)$.
- $f(x) = (2x^3+5)^4$.
- $f(x) = e^{\cos x} + x \sin x$.
- Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ uma função diferenciável com derivada $f'$. Explicita o mais possível a derivada de
- $f(-x)$.
- $f(e^x)$.
- $f(\ln(x^2+1))$.
- $f(f(x))$.
- Verifica que a regra da cadeia permite facilmente obter a derivada de $\cos x$ a partir da derivada de $\sin x$ e da relação $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$.
Mais exercícios
- Discute a continuidade e a diferenciabilidade de cada uma das seguintes funções:
- $f(x)=e^{-|x|}$.
- $f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x \sin \frac{1}{x} & \mbox{se} & x \not= 0\\ 0 & \mbox{se} & x=0\\ \end{array}\right.$.
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