1.3 Derivadas - parte 3

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Derivada da inversa de uma função

Sejam $f : [c,d] \to \mathbb R$ contínua e injetiva e $f^{-1} : J := f([c,d]) \to \mathbb R$ a sua inversa. Se $f$ é diferenciável em $a \in ]c,d[$ e $f'(a) \not= 0$, então $b := f(a)$ é um ponto interior de $J$, $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e

(1)
\begin{align} (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. \end{align}

Em vez de provarmos completamente este resultado, mostraremos apenas que, sabendo já que tanto $f$ como $f^{-1}$ são diferenciáveis nos interiores dos intervalos respetivos, a fórmula (1) é uma simples consequência da regra da cadeia, dada na parte anterior. De facto, sendo $f$ e $f^{-1}$ inversa uma da outra, então $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo o $x \in ]c,d[$, de modo que a regra da cadeia permite escrever1

(2)
\begin{eqnarray} & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (f^{-1} \circ f)'(x) = x' = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}. \end{eqnarray}

Substituindo $x$ por $a$ obtém-se (1).

O facto de, nessa fórmula, num dos membros se calcular a derivada da função em $a$ e no outro se calcular a derivada da inversa em $b$ costuma causar muita confusão entre os iniciados, que invariavelmente falham na resolução de exercícios como os que se encontram em baixo. Talvez ajude escrever a expressão (1) na forma equivalente

(3)
\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, \end{align}

onde se usou a letra $x$, em vez de $b$, para designar a variável e se escreveu $a$ como função de $x$ ($a=f^{-1}(b) = f^{-1}(x)$). Ou, em notação alternativa, designando por $x$ e $y$ respetivamente as variáveis independentes de $f^{-1}$ e $f$,

(4)
\begin{align} \frac{df^{-1}}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{df}{dy}(f^{-1}(x))}. \end{align}

Exercícios

  1. Verifica, com a ajuda do resultado acima, que, para $x \in \mathbb R^+$, a regra de derivação da função potência $x^n$, tabelada no final da parte 1, vale também quando o expoente é da forma $1/m$, com $m \in \mathbb N$.
  2. Combina agora o resultado anterior com a regra da cadeia e mostra que a referida regra da potência vale para qualquer expoente $n \in \mathbb Q$.2
  3. Verifica que a regra de derivação da exponencial de base $a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ segue da regra geral de derivação da inversa, dada acima, uma vez sabendo a regra de derivação da função logaritmo de base $a$ (ou vice-versa).
  4. Determina as derivadas das funções trigonométricas inversas
    1. $\arcsin$,
    2. $\arccos$,
    3. $\arctan$,
    4. ${\rm arccot}$.

Atualiza a tabela no final da parte 1 com as regras de derivação indicadas na ligação acima! Estas regras fazem também parte do conjunto que terás que decorar.

Mais exercícios

  1. Em cada caso escreve uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:5
    1. $f(x)=\sqrt[3]{x}\,$ no ponto de abcissa $2\sqrt{2}$.
    2. $f(x) = 4 \sin^2x\,$ em $(\frac{\pi}{6},1)$.
    3. $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\,$ em $(0,-1)$.
    4. $f(x) = \sqrt{1+4 \sin x}\,$ em $(0,1)$.
  2. Um tanque cilíndrico com $5$ m de raio da base está a encher-se de água à taxa de $3$ m3/min.. Qual a velocidade com que a altura da água no tanque está a aumentar?
  3. A massa de um certo arame fino e longo desde uma das suas pontas (extremidades) até um ponto medido sobre ele a uma distância de $x$ metros é dada por $x (1+\sqrt{x})$ kg. Determina a sua densidade linear quando $x=4$ m.
  4. Considera a fórmula $V=\pi r^2 \frac{h}{3}$ para o volume $V$ do cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$.
    1. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente à altura no caso de o raio se manter constante.
    2. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente ao raio no caso de a altura se manter constante.
  5. Calcula o declive da reta tangente à circunferência de equação $x^2+y^2=1$ no ponto $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.
  6. A Lei de Boyle diz-nos que quando uma amostra de gás é comprimida a temperatura constante, o produto da pressão pelo volume se mantém constante: $PV=C$. Determina a taxa de variação do volume relativamente à pressão.
  7. Uma partícula desloca-se numa linha vertical de modo a que a sua coordenada no instante $t$ seja $y=t^3-12t+3$, $t \geq 0$.
    1. Determina as funções velocidade e aceleração.
    2. Quando é que o movimento da partícula é ascendente e quando é que é descendente?
    3. Determina a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 3 unidades.
  8. Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta. Designando por $s(t)$ a distância total percorrida até ao instante $t$, por $v(t)$ a velocidade em $t$ e por $a(t)$ a aceleração em $t$, mostra que
    $\quad \quad \quad a(t) = v(t)\cdot \frac{dv}{ds},$
    onde $\frac{dv}{ds}$ designa, como a notação indica, a velocidade de variação da variável $v$ relativamente à variável $s$ (comparadas em cada instante).
    (Observação:em caso de dúvida, supõe que a partícula nunca para, de modo a que a função $t \mapsto s$ se possa inverter.)

Diferencial de uma função num ponto

Nos exercícios acima sobre a determinação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ num ponto $(x_0,y_0)$ (portanto com $y_0=f(x_0)$), sugeriu-se o uso da fórmula $y-y_0 = m (x-x_0)$, já que esta nos dá diretamente uma equação para a referida reta quando $m=f'(x_0)$. Observe-se, contudo, que a variável $y$ foi usada com duplo sentido na frase que acabou de se escrever: para além do seu uso na equação da reta tangente, foi usada como variável dependente da função $f$.

As duas coisas não são necessariamente iguais porque os pontos $(x,f(x))$ do gráfico de $f$ são em geral diferentes dos pontos $(x,y)$ da reta tangente àquele gráfico no ponto $(x_0,f(x_0))$. Isso pode ser apreciado visualmente na interface gráfica do início da parte 1 da presente secção. O que também pode ser aí apreciado — e é típico de situações de diferenciabilidade — é que "perto" do ponto de tangência o gráfico da função confunde-se com a reta tangente. Isto é, se mantivermos $y$ com o significado de ordenada do ponto da reta tangente correspondente à abcissa $x$ — e, para evitarmos confusões, não atribuirmos nenhum nome especial a $f(x)$ — então "junto" a $(x_0,f(x_0))$ os pontos $(x,f(x))$ e $(x,y)$ confundem-se.

Esta observação foi no passado (antes do advento dos computadores e calculadoras eletrónicas) muito importante do ponto de vista prático, pois permitia, com cálculos mais simples, obter $y$ como valor aproximado para $f(x)$ com um erro "muito pequeno" quando a diferença entre $x$ e $x_0$ era "pequena". Também se dizia (e diz) em tais casos que $y$ é uma aproximação linear de $f(x)$ ou a sua linearização, atendendo a que geometricamente corresponde a substituir, "junto" a $(x_0,f(x_0))$, o gráfico de $f$ por uma linha reta, que é, por sua vez, o gráfico de uma função linear (ou afim).

Apesar de ter perdido a importância prática acima referida, a possibilidade de linearização de certos gráficos junto a pontos continua a ter a importância concetual que sempre teve, por muitas vezes permitir com argumentos simplificados sugerir a existência de relações que são difíceis de provar de um modo rigoroso.

De acordo com o que se descreveu acima, para uma diferença "pequena" $\Delta x := x-x_0$ na variável independente de $f$, a diferença $y-f(x)$ é, no caso de uma função diferenciável em $x_0$, "muito mais pequena". Ora, designando por $\Delta f(x)$ a correspondente diferença $f(x)-f(x_0)$ na variável dependente de $f$, como

(5)
\begin{align} y-f(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) - f(x) = f'(x_0) \Delta x -\Delta f(x) \end{align}

então $\Delta f(x)$ e $f'(x_0) \Delta x$ estão "muito próximos" quando o valor de $\Delta x$ é "pequeno". De tal modo próximos que por vezes se usa a seguinte

Regra heurística

Substitui $\Delta f(x)$ por $f'(x_0) \Delta x$ em argumentações em que $\Delta x$ tende para zero para obteres relações potencialmente verdadeiras.

Exemplo

Embora continue a ser uma argumentação com deficiências, tal como no início da parte anterior desta secção, a seguinte sequência, onde se usa a regra heurística acima, deixa adivinhar o resultado conhecido por regra da cadeia e que, como vimos, sob as hipóteses consideradas no início da parte 2, é possível provar rigorosamente :

(6)
\begin{align} (g \circ f)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \stackrel{?}{=} \lim_{x \to a} \frac{g'(f(a)) (f(x)-f(a))}{x-a} = g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{align}

É a $f'(x_0) \Delta x$ que se chama diferencial de $f$ (em $x_0$ e em $\Delta x$), o qual se denota por $df(x_0)(\Delta x)$ (ou $dy(x_0)(\Delta x)$, já que a função $y(x)$ tem o mesmo diferencial em $x_0$).


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