1.3 Derivadas - parte 3

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Derivada da inversa de uma função

Sejam $f : [c,d] \to \mathbb R$ contínua e injetiva e $f^{-1} : J := f([c,d]) \to \mathbb R$ a sua inversa. Se $f$ é diferenciável em $a \in ]c,d[$ e $f'(a) \not= 0$, então $b := f(a)$ é um ponto interior de $J$, $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e

(1)
\begin{align} (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. \end{align}

Em vez de provarmos completamente este resultado, mostraremos apenas que, sabendo já que tanto $f$ como $f^{-1}$ são diferenciáveis nos interiores dos intervalos respetivos, a fórmula (1) é uma simples consequência da regra da cadeia, dada na parte anterior. De facto, sendo $f$ e $f^{-1}$ inversa uma da outra, então $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo o $x \in ]c,d[$, de modo que a regra da cadeia permite escrever1

(2)
\begin{eqnarray} & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (f^{-1} \circ f)'(x) = x' = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}. \end{eqnarray}

Substituindo $x$ por $a$ obtém-se (1).

O facto de, nessa fórmula, num dos membros se calcular a derivada da função em $a$ e no outro se calcular a derivada da inversa em $b$ costuma causar muita confusão entre os iniciados, que invariavelmente falham na resolução de exercícios como os que se encontram em baixo. Talvez ajude escrever a expressão (1) na forma equivalente

(3)
\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, \end{align}

onde se usou a letra $x$, em vez de $b$, para designar a variável e se escreveu $a$ como função de $x$ ($a=f^{-1}(b) = f^{-1}(x)$). Ou, em notação alternativa, designando por $x$ e $y$ respetivamente as variáveis independentes de $f^{-1}$ e $f$,

(4)
\begin{align} \frac{df^{-1}}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{df}{dy}(f^{-1}(x))}. \end{align}

Exercícios

  1. Verifica, com a ajuda do resultado acima, que, para $x \in \mathbb R^+$, a regra de derivação da função potência $x^n$, tabelada no final da parte 1, vale também quando o expoente é da forma $1/m$, com $m \in \mathbb N$.
  2. Combina agora o resultado anterior com a regra da cadeia e mostra que a referida regra da potência vale para qualquer expoente $n \in \mathbb Q$.2
  3. Verifica que a regra de derivação da exponencial de base $a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ segue da regra geral de derivação da inversa, dada acima, uma vez sabendo a regra de derivação da função logaritmo de base $a$ (ou vice-versa).
  4. Determina as derivadas das funções trigonométricas inversas
    1. $\arcsin$,
    2. $\arccos$,
    3. $\arctan$,
    4. ${\rm arccot}$.

Atualiza a tabela no final da parte 1 com as regras de derivação indicadas na ligação acima! Estas regras fazem também parte do conjunto que terás que decorar. O jogo

Derivadas - nível 1

poderá dar uma ajuda nesse sentido (caso tenhas dificuldade em chegar aos 100%, estuda cada uma das faces de cada cartão antes de retomares o jogo).

Mais exercícios

  1. Em cada caso escreve uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:5
    1. $f(x)=\sqrt[3]{x}\,$ no ponto de abcissa $2\sqrt{2}$.
    2. $f(x) = 4 \sin^2x\,$ em $(\frac{\pi}{6},1)$.
    3. $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\,$ em $(0,-1)$.
    4. $f(x) = \sqrt{1+4 \sin x}\,$ em $(0,1)$.
  2. Um tanque cilíndrico com $5$ m de raio da base está a encher-se de água à taxa de $3$ m3/min.. Qual a velocidade com que a altura da água no tanque está a aumentar?
  3. A massa de um certo arame fino e longo desde uma das suas pontas (extremidades) até um ponto medido sobre ele a uma distância de $x$ metros é dada por $x (1+\sqrt{x})$ kg. Determina a sua densidade linear quando $x=4$ m.
  4. Considera a fórmula $V=\pi r^2 \frac{h}{3}$ para o volume $V$ do cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$.
    1. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente à altura no caso de o raio se manter constante.
    2. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente ao raio no caso de a altura se manter constante.
  5. Calcula o declive da reta tangente à circunferência de equação $x^2+y^2=1$ no ponto $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.
  6. A Lei de Boyle diz-nos que quando uma amostra de gás é comprimida a temperatura constante, o produto da pressão pelo volume se mantém constante: $PV=C$. Determina a taxa de variação do volume relativamente à pressão.
  7. Uma partícula desloca-se numa linha vertical de modo a que a sua coordenada no instante $t$ seja $y=t^3-12t+3$, $t \geq 0$.
    1. Determina as funções velocidade e aceleração.
    2. Quando é que o movimento da partícula é ascendente e quando é que é descendente?
    3. Determina a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 3 unidades.
  8. Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta. Designando por $s(t)$ a distância total percorrida até ao instante $t$, por $v(t)$ a velocidade em $t$ e por $a(t)$ a aceleração em $t$, mostra que
    $\quad \quad \quad a(t) = v(t)\cdot \frac{dv}{ds},$
    onde $\frac{dv}{ds}$ designa, como a notação indica, a velocidade de variação da variável $v$ relativamente à variável $s$ (comparadas em cada instante).
    (Observação:em caso de dúvida, supõe que a partícula nunca para, de modo a que a função $t \mapsto s$ se possa inverter.)

Diferencial de uma função num ponto

Nos exercícios acima sobre a determinação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ num ponto $(x_0,y_0)$ (portanto com $y_0=f(x_0)$), sugeriu-se o uso da fórmula $y-y_0 = m (x-x_0)$, já que esta nos dá diretamente uma equação para a referida reta quando $m=f'(x_0)$. Observe-se, contudo, que a variável $y$ foi usada com duplo sentido na frase que acabou de se escrever: para além do seu uso na equação da reta tangente, foi usada como variável dependente da função $f$.

As duas coisas não são necessariamente iguais porque os pontos $(x,f(x))$ do gráfico de $f$ são em geral diferentes dos pontos $(x,y)$ da reta tangente àquele gráfico no ponto $(x_0,f(x_0))$. Isso pode ser apreciado visualmente na interface gráfica do início da parte 1 da presente secção. O que também pode ser aí apreciado — e é típico de situações de diferenciabilidade — é que "perto" do ponto de tangência o gráfico da função confunde-se com a reta tangente. Isto é, se mantivermos $y$ com o significado de ordenada do ponto da reta tangente correspondente à abcissa $x$ — e, para evitarmos confusões, não atribuirmos nenhum nome especial a $f(x)$ — então "junto" a $(x_0,f(x_0))$ os pontos $(x,f(x))$ e $(x,y)$ confundem-se.

Esta observação foi no passado (antes do advento dos computadores e calculadoras eletrónicas) muito importante do ponto de vista prático, pois permitia, com cálculos mais simples, obter $y$ como valor aproximado para $f(x)$ com um erro "muito pequeno" quando a diferença entre $x$ e $x_0$ era "pequena". Também se dizia (e diz) em tais casos que $y$ é uma aproximação linear de $f(x)$ ou a sua linearização, atendendo a que geometricamente corresponde a substituir, "junto" a $(x_0,f(x_0))$, o gráfico de $f$ por uma linha reta, que é, por sua vez, o gráfico de uma função linear (ou afim).

Apesar de ter perdido a importância prática acima referida, a possibilidade de linearização de certos gráficos junto a pontos continua a ter a importância concetual que sempre teve, por muitas vezes permitir com argumentos simplificados sugerir a existência de relações que são difíceis de provar de um modo rigoroso.

De acordo com o que se descreveu acima, para uma diferença "pequena" $\Delta x := x-x_0$ na variável independente de $f$, a diferença $y-f(x)$ é, no caso de uma função diferenciável em $x_0$, "muito mais pequena". Ora, designando por $\Delta f(x)$ a correspondente diferença $f(x)-f(x_0)$ na variável dependente de $f$, como

(5)
\begin{align} y-f(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) - f(x) = f'(x_0) \Delta x -\Delta f(x) \end{align}

então $\Delta f(x)$ e $f'(x_0) \Delta x$ estão "muito próximos" quando o valor de $\Delta x$ é "pequeno". De tal modo próximos que por vezes se usa a seguinte

Regra heurística

Substitui $\Delta f(x)$ por $f'(x_0) \Delta x$ em argumentações em que $\Delta x$ tende para zero para obteres relações potencialmente verdadeiras.

Exemplo

Embora continue a ser uma argumentação com deficiências, tal como no início da parte anterior desta secção, a seguinte sequência, onde se usa a regra heurística acima, deixa adivinhar o resultado conhecido por regra da cadeia e que, como vimos, sob as hipóteses consideradas no início da parte 2, é possível provar rigorosamente :

(6)
\begin{align} (g \circ f)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} \stackrel{?}{=} \lim_{x \to a} \frac{g'(f(a)) (f(x)-f(a))}{x-a} = g'(f(a)) \cdot f'(a). \end{align}

É a $f'(x_0) \Delta x$ que se chama diferencial de $f$ (em $x_0$ e em $\Delta x$), o qual se denota por $df(x_0)(\Delta x)$ (ou $dy(x_0)(\Delta x)$, já que a função $y(x)$ tem o mesmo diferencial em $x_0$).


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