1.3 Derivadas - parte 4

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Exercício

  1. Verifica que se $f : ]a,b[ \to \mathbb R$ for monótona crescente (resp. decrescente) então, no caso de existir, $f'(x) \geq 0$ ou $\infty$ (resp. $f'(x) \leq 0$ ou $-\infty$).

Extremos locais de uma função

Seja $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$. Seja $c \in D$. Diz-se que $f(c)$ é um máximo local (resp. mínimo local) de $f$ se e só se for o máximo absoluto (resp. mínimo absoluto) de $f|_{D\, \cap \, ]c-\varepsilon,c+\varepsilon[}$ para algum $\varepsilon > 0$. E em vez do adjetivo local também se pode usar aqui, com o mesmo significado, o adjetivo relativo. Mínimos e máximos locais (ou relativos) de $f$ são globalmente designados por extremos locais (ou relativos) de $f$.

Naturalmente, o máximo (resp. mínimo) absoluto de uma função é um dos seus máximos (resp. mínimos) locais, mas uma função pode ter muitos extremos locais, enquanto só pode ter no máximo dois extremos absolutos (um mínimo, o outro máximo).

Teorema de Fermat

Se $f(c)$ é um extremo local de uma função $f$ cuja derivada existe no ponto interior $c$ do domínio de $f$, então $f'(c)=0$.

A prova deste resultado é mais ou menos imediata. Por exemplo, no caso de $f(c)$ ser um máximo local teremos que $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0$ para $x \in ]c-\varepsilon,c[$, para o $\varepsilon > 0$ considerado acima, enquanto $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0$ para $x \in ]c,c+\varepsilon[$, de modo que da hipótese da existência de $f'(c)$ sai que $f'(c) = f'_e(c) \geq 0 \geq f'_d(c) = f'(c)$ e portanto só pode ser $f'(c)=0$.

Um ponto interior de $D_f$ onde $f'$ seja nula diz-se um ponto crítico (ou de estacionaridade) de $f$. Assim, o Teorema de Fermat diz-nos que os extremos locais em pontos onde existe a derivada de uma função só podem ocorrer em pontos críticos dessa função.

Exercícios

  1. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função que atinja um extremo local num ponto interior do seu domínio onde a função não tenha derivada.
  2. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função que atinja um extremo local num ponto do seu domínio que não seja interior.

Extremos absolutos de uma função

Do que se escreveu até aqui podemos concluir o seguinte:

No caso de $f : [a,b] \to \mathbb R$ contínua, os extremos absolutos (que existem, pelo Teorema de Weierstrass) ocorrem ou nos extremos do intervalo, ou nos pontos críticos de $f$ ou nos pontos de $]a,b[$ onde não haja derivada.

Logo podemos seguir o seguinte fluxo para determinarmos os extremos absolutos de uma tal função:

fermat-weierstrassBW.tif

Exercícios

  1. Determina os extremos absolutos das seguintes funções contínuas nos intervalos indicados. Depois indica também os respetivos contradomínios.
    1. $f(x) = x^3+2x+1$ em $[-2,1]$.
    2. $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ em $[-1,\frac{1}{2}]$.
    3. $f(x) = \ln(x^2+x+1)$ em $[-1,1]$.
    4. $f(x) = x - 2 \arctan x$ em $[0,4]$.
  2. Um objeto com peso $W$ é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força atuando através de uma corda esticada agarrada ao objeto. Se a corda faz um ângulo $\theta$ com o plano, então a magnitude da força é
    $\quad \quad \quad F = \frac{\mu W}{\mu \sin \theta \, + \, \cos \theta},$
    onde $\mu$ é uma constante positiva chamada o coeficiente de fricção e onde $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. Mostra que $F$ é minimizada quando $\tan \theta = \mu$.

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