1.3 Derivadas - parte 5

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No que se segue supõe-se, a menos que algo seja referido em contrário, que nenhum intervalo fechado degenera num conjunto singular.

Funções regulares

Por vários resultados e contraexemplos apresentados anteriormente, deve ter-se tornado claro que resultados que intuitivamente estaríamos prontos a aceitar como verdadeiros para funções contínuas podem ser falsos se o domínio não for um intervalo. Em alguns casos tivemos até mesmo que exigir que o intervalo fosse limitado e fechado.

Vimos também que a ausência de derivada (ou até mesmo só de diferenciabilidade) em pontos interiores pode complicar o estudo do comportamento de uma função.

Assim, é razoável, para efeitos de obtenção de resultados que a nossa intuição nos diz que deverão ser verdadeiros quando os gráficos evoluem contínua e suavemente em intervalos, considerarmos uma classe mais restrita de funções, que se designa por classe das funções regulares:

Uma função $f : [a,b] \to \mathbb R$ diz-se regular se e só se for contínua (em $[a,b]$) e diferenciável em $]a, b[$.

Teoremas de Rolle e de Lagrange

Teorema de Rolle

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ uma função regular tal que $f(a) = f(b)$ . Então existe $c \in ]a,b[$ tal que $f'(c) = 0$.

Atendendo aos resultados que já foram estabelecidos ou enunciados anteriormente, a prova deste resultado pode agora fazer-se facilmente:

Pelo Teorema de Weierstrass, existe $c \in ]a,b[$ tal que $f(c)$ é o máximo absoluto ou o mínimo absoluto de $f$1. Mas então o Teorema de Fermat garante que $f'(c)=0$, que é a conclusão que queríamos obter.

Onde é que a hipótese $f(a)=f(b)$ foi necessária na argumentação acima?

Exercícios

  1. Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ uma função regular.
    Porque é que entre dois zeros de $f$ existe pelo menos um zero de $f'$?
    E porque é que entre dois zeros consecutivos de $f'$ existe no máximo um zero de $f$?
  2. Considera a função dada por $f(x) = 3x-3+\sin(x-1)$.
    1. Calcula $f(1)$.
    2. Mostra que $f$ tem um único zero em $\mathbb{R}$.
  3. Utiliza o Teorema de Rolle para provares que:
    1. O polinómio $x^{102}+ax+b$, com $a,b \in \mathbb R$, tem no máximo duas raízes reais.
    2. O polinómio $x^{101}+ax+b$, com $a,b \in \mathbb R$, tem no máximo três raízes reais.

Teorema de Lagrange3

Seja $f$ uma função regular em $[a,b]$. Existe $c \in ]a,b[$ tal que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

A prova faz-se facilmente por redução ao Teorema de Rolle:

Considera $F(x) := f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$, $\, x \in [a,b]$. Tem-se que $F$ também é regular em $[a,b]$4 e que $F(a)=F(b)$, como facilmente se comprova. Aplica-se então o Teorema de Rolle a $F$ e obtém-se a conclusão pretendida.5

O Teorema de Lagrange permite provar facilmente o seguinte importante resultado, que será usado nas partes seguintes desta secção para se estudar o comportamento de várias funções:

Critério de monotonia

Seja $f$ regular em $[a,b]$. Então

  1. Se $f'$ é nula em $]a,b[$, $f$ é constante em $[a,b]$.
  2. Se $f'$ assume somente valores positivos em $]a,b[$ então $f$ é estritamente crescente em $[a,b]$.
  3. Se $f'$ assume somente valores maiores que ou iguais a $0$ em $]a,b[$ então $f$ é crescente em $[a,b]$.
  4. Se $f'$ assume somente valores negativos em $]a,b[$ então $f$ é estritamente decrescente em $[a,b]$.
  5. Se $f'$ assume somente valores menores que ou iguais a $0$ em $]a,b[$ então $f$ é decrescente em $[a,b]$.

A chave para a prova deste resultado está na observação de que, dados quaisquer $x,y\in [a,b]$ com $x<y$, o sinal de $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ é, pelo Teorema de Lagrange, igual ao sinal de $f'(c)$, para algum $c \in ]x,y[$6. Completa os detalhes da argumentação que permite chegar às conclusões acima!

O Teorema de Lagrange permite também facilitar o cálculo de algumas derivadas, quando o seguinte resultado, cuja prova omitimos, é aplicável:

Corolário do Teorema de Lagrange

Se uma função $f$ é contínua à direita (resp. à esquerda) num ponto $a$ do seu domínio, diferenciável em $]a,a+\varepsilon[$ (resp. em $]a-\varepsilon,a[$), para algum $\varepsilon >0$, e existe $\lim_{x \to a+} f'(x)$ (resp. $\lim_{x \to a-} f'(x)$), então existe também $f'_d(a)$ (resp. $f'_e(a)$) e verifica-se que
$\displaystyle \qquad \qquad \qquad f'_d(a) = \lim_{x \to a+} f'(x) \quad \mbox{(resp. }\; f'_e(a) = \lim_{x \to a-} f'(x)\, \mbox{)}.$

Exercícios

  1. Verifica que o Corolário do Teorema de Lagrange apresentado acima é aplicável e estuda através desse corolário a diferenciabilidade da seguinte função no ponto $3$: $f(x) = \left \{ \begin{array}{lll} x^2-2 &, & x > 3 \\ -x+10 & , & x\leq 3\\ \end{array} \right.$.
  2. Considera a função $f(x) = \left \{ \begin{array}{lll} \sin x &, & x < 0 \\ \ln(e^x+1) & , & x\geq 0\\ \end{array} \right.$. Verifica que é possível obter o valor de $f'_d(0)$ através do cálculo do limite à direita em $0$ da função derivada, de acordo com o Corolário do Teorema de Lagrange apresentado acima, mas que não é possível obter o valor de $f'_e(0)$ através do correspondente cálculo do limite à esquerda em $0$ da função derivada. Explica porquê.
  3. A exemplo do que se fez acima para provar o Teorema de Lagrange, aplica o Teorema de Rolle a $F(x) := f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$ e prova a seguinte generalização do Teorema de Lagrange:
Teorema de Cauchy:

Se $f, g$ são funções regulares em $[a,b]$ com $g'$ diferente de zero em $]a,b[$, então $g(b)-g(a) \not= 0$ e existe $c \in ]a,b[$ tal que $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Cálculo de limites revisitado

O Teorema de Cauchy, enunciado num dos exercícios acima, permite provar a seguinte regra prática para o cálculo de limites em situações de indeterminação $\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ou $\frac{\pm \infty}{\mp \infty}$:

Regra de Cauchy

Sejam $f, g$ diferenciáveis num intervalo $I$, onde, para algum $\varepsilon > 0$, $I = ]a-\varepsilon, a[ \,$ (resp. $I = ]a,a+\varepsilon[$) com $a \in \mathbb R$.
Se $g(x), g'(x) \not= 0$ para $x \in I$, se $\lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \big)$ configura uma situação de indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ou $\frac{\pm \infty}{\mp \infty}$, e se existe $\lim_{x \to a-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} \big)$, então também existe $\lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \big)$ e
$\qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a-} \frac{f'(x)}{g'(x)}\;\;$ $\big($resp. $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)}\big)$.

Nota: Esta regra também é válida quando em vez de $x \to a-$ (resp. $x \to a+$) se considera
$x \to \infty$ (resp. $x \to -\infty$), com as necessárias adaptações.

Exercícios

  1. Calcula os seguintes limites:
    1. $\lim_{x \to 0} \frac{x\ \sin x}{1 - \cos x}$.
    2. $\lim_{x\to 1} \frac{x^4 - 2x^3 + 2x - 1}{x^3 - 3x + 2}$.
    3. $\lim_{x\to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}$.
    4. $\lim_{x\to0^+}x^x$.
    5. $\lim_{x\to+ \infty} (x \mbox{ arccot } x)$.
  2. Diz o que está errado no seguinte cálculo, onde se aplica duas vezes a regra de Cauchy:
(1)
\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x }{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = 0. \end{align}

Como se observou nos comentários à resolução do primeiro exercício acima, a regra de Cauchy é por vezes também designada por regra de L'Hospital, pelo menos em textos de língua inglesa. No entanto, em Portugal existe a tradição de chamar regra de L'Hospital, ou regra de L'Hôpital, a uma regra um pouco diferente. Não trabalharemos com esta aqui, mas incluímos na ligação abaixo alguma informação adicional, para o caso de quereres saber mais.


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