1.3 Derivadas - parte 7

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Concavidades

O gráfico de uma função tem um aspeto diferente consoante tenha a concavidade voltada para cima ou para baixo ou consoante esta vá mudando, no sentido da seguinte definição:

Seja $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ diferenciável num intervalo aberto $I \subset D$ . Diz-se que o gráfico de $f$ tem a concavidade voltada para cima em $I$ se e só se o gráfico de $f$ em $I$ está acima de todas as suas tangentes nesse intervalo1. Diz-se que tem a concavidade voltada para baixo em $I$ se e só se o gráfico de $f$ em $I$ está abaixo de todas as suas tangentes nesse intervalo2.

Também se diz, respetivamente, que $f$ é estritamente convexa ou que é estritamente côncava em $I$.

Nota: É possível definir convexidade e concavidade de uma função num intervalo onde não seja necessariamente diferenciável, mas neste curso limitar-nos-emos ao enquadramento acima.

O Teorema de Lagrange permite facilmente (uma vez mais) provar o seguinte importante resultado:

Critério de convexidade/concavidade

Seja $f : I \to \mathbb R$ diferenciável, onde $I$ é um intervalo aberto de números reais.

  1. Se $f'$ é estritamente crescente (em $I$) então $f$ é estritamente convexa (em $I$).
  2. Se $f'$ é estritamente decrescente (em $I$) então $f$ é estritamente côncava (em $I$).

De facto (e ilustrando a prova apenas para a primeira das duas conclusões acima3), dado um qualquer $a \in I$ e um qualquer $I \ni x > a \,$4, o Teorema de Lagrange e a hipótese de monotonia do $f'$ garantem a existência de $c \in ]a,x[$ tal que $f(x) = f(a)+f'(c)(x-a) > f(a)+f'(a)(x-a)$. Completa o argumento considerando agora o caso em que $I \ni x < a \,$!

Conjugando com o Critério de monotonia, obtém-se a seguinte regra prática, no caso de $f'$ ser ela própria diferenciável em $I$ (designando-se então a sua derivada por $f''$):

Se $f''$ assume somente valores positivos em $I$, então $f$ é aí estritamente convexa.
Se $f''$ assume somente valores negativos em $I$, então $f$ é aí estritamente côncava.

Exercício

  1. Determina os intervalos onde os gráficos das seguintes funções têm a concavidade voltada para cima e os intervalos onde têm a concavidade voltada para baixo5:
    1. $f(x)=\frac{4x-1}{2x+3}$.
    2. $f(x)=e^{\frac{1}{x}}+2$.
    3. $f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}$.6
    4. $f(x)= 8x^3-21x^2+18x+2$.

Pontos críticos revisitados

Vimos (Teorema de Fermat) que os extremos locais de uma função em pontos onde esta tem derivada só podem ser pontos críticos dessa função. Contudo, uma função não tem necessariamente de possuir um extremo em cada um dos seus pontos críticos. Por exemplo, $x^3$ não tem extremos, mas $0$ é um seu ponto crítico.

Quando $f'$ é ela própria diferenciável num ponto crítico $c$ de $f$ e $f''(c) \not= 0$, é possível garantir que $f(c)$ é um extremo local de $f$, sendo que o sinal de $f''(c)$ determina o tipo de extremo. A prova deriva essencialmente da noção de limite aplicada à definição de (segunda) derivada, mas aqui restringimo-nos a enunciar apenas o respetivo critério:

Seja $c$ um ponto crítico de uma função $f$.

  1. Se $f''(c) > 0$ então $f(c)$ é um mínimo local de $f$.
  2. Se $f''(c) < 0$ então $f(c)$ é um máximo local de $f$.

Exemplo

A função $f(x)=x^2$ tem $0$ como ponto crítico. Como $f''(0) = 2 > 0$ neste caso, de acordo com o critério acima a função tem um mínimo em $0$, resultado aliás bem conhecido para esta função.

Pontos de inflexão

Diz-se que $P \equiv (c,f(c))$ é um ponto de inflexão do gráfico de $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ se e só se $c$ for ponto interior de $D$, $f$ for contínua em $c$ e o sentido da concavidade do gráfico de $f$ mudar em $c$.

Exercício

  1. Determina os pontos de inflexão dos gráficos das funções consideradas no exercício acima.

E agora?

Com esta parte concluímos a introdução dos conceitos e ferramentas matemáticos que estão por detrás dos algoritmos usados por Sistemas de Álgebra Computacional7, como a WolframAlpha, no estudo de funções reais de variável real, incluindo o traçado dos respetivos esboços gráficos.

Observa que uma simples marcação de pontos a espaços regulares não garante uma imagem fidedigna para o gráfico de uma função, de modo que os CAS mais avançados tiram partido do estudo analítico de funções para uma maior fiabilidade na exibição de gráficos de funções. Por exemplo, a janela por onde mais interessa olhar para o gráfico de uma função depende da função e deve abranger as zonas dos gráficos onde os nossos olhos conseguem captar variabilidade ou tendências, como pontos que correspondem a extremos, alterações na monotonia, pontos de inflexão, alterações no sentido da concavidade, assíntotas. Se a escolha da janela de visualização mais adequada for deixada a um CAS, este terá necessariamente que estar programado para fazer o estudo analítico de funções.

Mesmo assim, por muita "boa intenção" que um CAS tenha, há situações em que é impossível mostrar tudo numa mesma janela de visualização: se ocorrências importantes, como pontos de inflexão, estiverem muito afastadas entre si e exigirem uma redução do tamanho da imagem para que fiquem simultaneamente no nosso campo de visão, pode acontecer que pequenas oscilações em zonas intermédias do gráfico nos passem despercebidas ou sejam mesmo impossíveis de representar pelo CAS sem uma correspondente ampliação localizada do gráfico.

Outra dificuldade inerente ao uso de uma janela de visualização é a impossibilidade de mostrar tendências no infinito, como as relacionadas com a existência de assíntotas.

Exercício (análise $\rightarrow \;$ esboço)

  1. Junta a informação que foste recolhendo, nesta parte e na anterior, relativamente às quatro funções consideradas nos exercícios acima e esboça os seus gráficos. Para mais fácil referência, voltamos a listar essas funções aqui:
    1. $f(x)=\frac{4x-1}{2x+3}$.
    2. $f(x)=e^{\frac{1}{x}}+2$.
    3. $f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}$.
    4. $f(x)= 8x^3-21x^2+18x+2$.

Observação: Como guia geral nesta e noutras situações, segue a seguinte lista de verificação, de modo a recolheres os elementos que te permitam esboçar o gráfico de uma função $f$ exibindo a sua variabilidade e tendências e que, no seu conjunto, designaremos por estudo completo de função:

  • domínio;
  • interseção com os eixos coordenados (i.e., $f(0)$ e os zeros de $f$, se possível e caso não seja muito complicado);
  • simetria
    • a função é par?8
    • a função é ímpar?9
    • a função é periódica?10
  • assíntotas;
  • intervalos de monotonia e extremos (e extremantes) locais;
  • concavidades e pontos de inflexão.

Exercício (análise $\leftrightarrow \;$ esboço)

  1. Integra o resultado que obtiveste no exercício anterior com o resultado da aplicação da interface gráfica abaixo às mesmas funções (isto é, por um lado, os valores que calculaste, se estiverem corretos, tornam os gráficos produzidos pela interface gráfica abaixo mais precisos; por outro lado, em caso de incoerências terás que esclarecer as suas causas, que tanto poderão ser erros nos teus cálculos como deficiências das representações produzidas pela interface gráfica):

Exercício (esboço $\rightarrow \;$ análise)

  1. Aqui começa por usar a interface gráfica acima para obteres um esboço do gráfico de cada uma das funções e depois faz o seu estudo completo, seguindo a lista de verificação indicada acima11:
    1. $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.
    2. $f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$.
    3. $f(x) = x - \arctan x$.
    4. $f(x) = \sqrt{x^2+4x}$.
    5. $f(x)= \sin(x + \sin(2x))$.

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