1.4 Extremos condicionados

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Problemas de extremos condicionados e método dos multiplicadores de Lagrange

Vimos, no exemplo da parte 3 da secção 1.2, que foi necessário determinar os extremos (ou candidatos a extremos) de $f$ quando restringida a uma curva de nível no seu domínio. Designando genericamente tal curva de nível por $g(x,y) = c$, o que fizemos foi parametrizá-la (i.e., descrevê-la vetorialmente), portanto como imagem de uma aplicação $\vec{r}(t):=(r_1(t),r_2(t))$, para $t$ num intervalo conveniente, e considerar a questão do cálculo dos extremos de $f \circ \vec{r}$. Esta maneira de proceder tem, no entanto, o inconveniente de se ter de encontrar uma parametrização explícita para a curva de nível, algo que poderá não ser simples de fazer em exercícios mais complicados.

Uma maneira alternativa de proceder seria a seguinte: recordar que, pelo que vimos no final da secção anterior, supondo $g$ diferenciável, o gradiente $\nabla g(x_0,y_0)$, suposto não nulo, é perpendicular aos vetores tangentes à curva em $(x_0,y_0) = \vec{r}(t_0)$; observar que, no caso de $f$ e $\vec{r}$ também serem diferenciáveis e de $t_0$ ser um extremante de $f \circ \vec{r}$ interior ao domínio desta função,

(1)
\begin{align} 0 = (f \circ \vec{r})'(t_0) = \nabla f (x_0,y_0) \cdot \vec{r}\!\phantom{i}'(t_0); \end{align}

assim, $\nabla f (x_0,y_0)$, suposto não nulo, também é perpendicular aos vetores tangentes à curva em $(x_0,y_0)$, logo $\nabla f (x_0,y_0)$ e $\nabla g (x_0,y_0)$ são linearmente dependentes e portanto $(x_0,y_0)$ terá de ser solução de

(2)
\begin{align} \nabla f (x,y) = \lambda \, \nabla g (x,y), \end{align}

para algum $\lambda \in \mathbb{R}$. Observe-se ainda que a relação anterior apanha também os casos em que $\nabla f (x,y)$ é nulo desde que se garanta que $\nabla g (x,y) \not= \vec{0}$.

Enfim, estamos aqui a supor que se pode parametrizar (através de um $\vec{r}$ diferenciável com derivadas não nulas) a curva de nível em causa, pelo menos localmente. Procedimento análogo se pode aplicar no caso de o problema envolver funções de três variáveis, situação em que teremos superfícies de nível em vez de curvas de nível e planos tangentes em vez de retas (ou vetores) tangentes, mas novamente há que garantir a existência de parametrizações diferenciáveis para curvas na superfície de nível em causa, e também curvas em número suficiente, para se poder concluir. Este tipo de garantias pode obter-se impondo hipóteses adicionais aos problemas a considerar, de modo a que se possa tirar partido do chamado Teorema das funções implícitas, o qual permite ainda que se lide com problemas de cálculo de extremos (ditos condicionados, pela restrição de pertencerem a certos conjuntos de nível) envolvendo funções de qualquer número natural $n$ de variáveis. Omitiremos aqui o enunciado de tal teorema e apresentaremos apenas um enunciado que nos permite lidar com problemas de extremos condicionados envolvendo apenas uma restrição:

Método dos multiplicadores de Lagrange (caso de uma restrição apenas)

Sejam $U$ um conjunto aberto de $\mathbb{R}^n$ e $f$ e $g$ funções continuamente diferenciáveis (i.e., com derivadas parciais contínuas) em $U$. Seja $S := \{ P \in U : g(P)=c \}$, para uma constante real $c$ dada. Se $f|_S$ tem um extremo local num ponto $P_0 \in S$ para o qual $\nabla g(P_0) \not= \vec{0}$ então existe $\lambda \in \mathbb{R}$, dito um multiplicador de Lagrange, tal que

${\displaystyle \qquad \nabla f(P_0) = \lambda \, \nabla g(P_0)}$.

Exemplo

Voltamos ao passo 3 do exemplo da parte 3 da secção 1.2. Para as funções continuamente diferenciáveis $f(x,y) := x^2+y^2-x-y+1$ e $g(x,y) := x^2+y^2$ aí consideradas,

(3)
\begin{eqnarray} \nabla f(x,y) = \lambda \, \nabla g(x,y) & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} 2x-1=\lambda 2 x \\ 2y-1=\lambda 2 y \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2(1-\lambda)} \\ y=\frac{1}{2(1-\lambda)} \end{array} \right.. \end{eqnarray}

Substituindo estes valores na condição $g(x,y)=1$ imposta, e resolvendo em ordem a $\lambda$, obtém-se $\lambda = 1 \pm 1/\sqrt{2}$. Substituindo, por sua vez, em (3), obtêm-se as soluções

(4)
\begin{align} \Big( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \Big) \quad \mbox{e} \quad \Big( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \Big), \end{align}

tal como anteriormente (o candidato $(1,0)$, que também se obteve nessa altura, não aparece agora porque, na verdade, ele não apareceria se se tivesse tido o cuidado de utilizar um intervalo mais adequado para a parametrização). Observe-se que a condição $\nabla g(x,y) = \vec{0}$ não dá origem a mais nenhum candidato, pois o único ponto nessas condições é, para a função $g$ aqui em causa, o $(0,0)$, o qual não pertence ao conjunto de nível considerado.

É claro que a proposição anterior só permite descobrir os chamados pontos críticos para o problema de extremos condicionados . No entanto, num exemplo como o de cima, em que $f|_S$ é contínua e $S$ é um conjunto limitado e fechado de $\mathbb{R}^n$, o Teorema de Weierstrass garante que existem o máximo e o mínimo absolutos, logo podemos encontrá-los por comparação entre os valores da função $f|_S$ nos pontos críticos encontrados.

No exemplo de cima isso levar-nos-ia facilmente à conclusão de que o máximo e o mínimo absolutos de $f|_S$, onde $S := \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 = 1 \}$, são, respetivamente, $2+\sqrt{2}$ e $2-\sqrt{2}$, atingidos, respetivamente, em $(-\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2)$ e $(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2)$ (cf. também com a figura feita no final do exemplo da parte 3 da secção 1.2).

O caso de mais do que uma restrição

No caso de precisares de resolver problemas de extremos condicionados por duas restrições do tipo "igualdade" (como acima), uma das possibilidades por vezes é escrever uma variável em função das outras, de modo a conseguir-se reduzir o problema a um com apenas uma restrição do tipo "igualdade". Em alternativa, ou no caso de mais do que duas restrições do tipo "igualdade", procura na literatura por um teorema análogo ao de cima que permita lidar diretamente com o número de restrições impostas.


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