2.1 Primitivas - parte 1

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Primitiva de uma função

Seja $f : D \to \mathbb R$, onde $D$ é formado apenas por pontos interiores1. Chama-se (função) primitiva de $f$ a qualquer função $F : D \to \mathbb R$ tal que $F'(x)=f(x)$, $\forall x \in D$, caso exista.

No caso de existência de uma primitiva de $f$, diz-se que $f$ é primitivável. Diremos também que $f$ é primitivável em $A$ (subconjunto aberto do seu domínio) com o significado de $f|_A$ ser primitivável e diremos que uma primitiva de $f|_A$ é uma primitiva de $f$ em $A$.

Segue facilmente da primeira afirmação do Critério de monotonia que se $F_1$ e $F_2$ forem duas primitivas de uma mesma função $f$ num intervalo $]a,b[$ então, como $(F_1-F_2)'(x) = F_1'(x)-F_2'(x) = 0$, $\forall x \in ]a,b[$, $\, F_1$ e $F_2$ diferem por uma constante em $]a,b[$. Como o recíproco também é, obviamente, verdadeiro então

Se $F$ é uma primitiva de $f$ em $]a,b[$, $\, \{ F+c : c \in \mathbb R \}$ é o conjunto de todas as primitivas de $f$ em $]a,b[$.

Em particular, a operação de primitivação não é uma operação unívoca. Assim, quando se encontra uma primitiva $F(x)$ de uma função $f(x)$ indica-se o resultado da primitivação de $f(x)$ com a expressão geral

(1)
\begin{equation} F(x)+c \end{equation}

das primitivas de $f$ em intervalos abertos, apesar de tal expressão poder induzir em erro quando se quiser considerar o conjunto de todas as primitivas de $f$ em todo o seu domínio, como ressalta do seguinte exercício:

Exercício

  1. Determina o conjunto das primitivas de $f : \; ]-\infty,-1[\, \cup \, ]-1,0[\, \cup \,]1,\infty[ \;\to \mathbb R$ dada por $f(x) \equiv 0$.

Usam-se os símbolos

(2)
\begin{align} Pf \qquad \mbox{ ou } \qquad \int f(x)\, dx \end{align}

para designar o conjunto de todas as primitivas ou a expressão geral das primitivas de $f$ em subintervalos abertos do seu domínio. Por vezes são também usados para designar somente uma primitiva da função em causa, mas aqui tentaremos evitar essa interpretação. A segunda notação, onde aparece o $dx$ usado também na notação diferencial para derivada, pode parecer estranha nesta altura, mas mais tarde verás a sua utilidade em certas manipulações que se fazem no cálculo de primitivas.

Exercícios

  1. Mostra a validade do método de primitivação por decomposição: Se $f$ e $g$ forem primitiváveis em $]a,b[$ então $f+g$ também é primitivável em $]a,b[$ e
    $\qquad P(f+g) = Pf + Pg \quad \mbox{em }\; ]a,b[.$
  2. Mostra que se $F$ é uma primitiva de $f$ em $]a,b[$, $\lambda$ é uma constante dada e $c$ é uma constante arbitrária então $\lambda F + c$ é a expressão geral das primitivas de $\lambda f$ em $]a,b[$.

Primitivas imediatas

Chamam-se primitivas imediatas às funções cujas derivadas são funções elementares básicas conhecidas (como as funções que foram recordadas na secção 1.1, na parte sobre a revisão do universo das funções, e as que foram introduzidas na secção 1.2) .

Exemplo

$\frac{x^4}{4}$ é uma primitiva imediata de $x^3$, pois $\big(\frac{x^4}{4}\big)' = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^3 = x^3$.

Como consequência, trocando as colunas numa tabela de derivadas obtém-se uma tabela de primitivas imediatas. A tabela que se segue foi obtida essencialmente dessa maneira, a partir dos vários resultados de derivação que fomos colecionando anteriormente (ver a secção 1.1, na parte 1 da revisão sobre derivadas, e a secção 1.3). Subentende-se a sua validade em subintervalos abertos do domínio de cada função.

função primitivação imediata
$m$, $\; m \in \mathbb R$ $m x + c$
$x^{n}$, $\; n \in \mathbb R \setminus \{-1\}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$
$\frac{1}{x}$ $\ln |x| + c$
$a^x$, $\; a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ $\frac{a^x}{\ln a} + c$
$\cos x$ $\sin x + c$
$-\sin x$ $\cos x +c$
$\sec^2 x$ $\tan x +c$
$-\csc^2 x$ ${\rm cotan}\, x + c$
$\tan x \, \sec x$ $\sec x + c$
$-\,{\rm cotan}\, x \, \csc x$ $\csc x + c$
$\cosh x$ $\sinh x + c$
$\sinh x$ $\cosh x + c$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin x + c$
$\frac{1}{1+x^2}$ $\arctan x + c$

Exercício

  1. Calcula
    1. $\int \left(5x^3+2\cos x \right ) \, dx$.
    2. $\int \left(8t^3-6\sqrt{t}+\frac{1}{t^3}\right )\, dt$.
    3. $\int \frac{(x^2-1)^2}{x^2} \, dx$.
    4. $\int \frac{1}{\cos x \,\cot x} \, dx$.
    5. $\int \left(\sqrt{3}\sin x+\frac{1}{2x}\right ) \, dx$.

Primitivas quase imediatas

Observa que se $F(u)$ for uma primitiva de $f(u)$ então $F(\varphi(x))$ é uma primitiva de $f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$, desde que a composição $f \circ \varphi$ faça sentido e $\varphi$ seja diferenciável. De facto, a regra da cadeia permite então escrever que $(F(\varphi(x)))' = F'(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) = f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$.

Exemplo de aplicação

(3)
\begin{align} \int (\sin x)^3 \cos x \, dx = \frac{(\sin x)^4}{4} + c. \end{align}

De facto, trata-se de uma aplicação da observação acima com $f(u) = u^3$ e $\varphi(x)=\sin x$.3 A notação $\int \ldots \, dx$ ajuda na aplicação desta regra, pois o resultado obtém-se como se $\varphi'(x) = \frac{d\varphi}{dx}\!(x) = \frac{d\varphi(x)}{dx}$ fosse um verdadeiro quociente, de onde sairia $d\varphi(x) = \varphi'(x) \, dx$. De facto, a aplicação formal desta ideia ao exemplo acima e a utilização ambígua de $u$ primeiro como variável dependente de $\varphi$ (na 2.ª igualdade abaixo), depois como variável independente de $f$ (na 3.ª igualdade abaixo) e, finalmente, voltando a ser variável dependente de $\varphi$ (na igualdade final) acaba por dar o resultado correto:

(4)
\begin{align} \int (\sin x)^3 \cos x \, dx = \int (\sin x)^3 \, d(\sin x) = \int u^3\, du = \frac{u^4}{4} + c = \frac{(\sin x)^4}{4} + c. \end{align}

Notas:

  • Na literatura inglesa da especialidade é comum ver esta regra designada por regra de substituição, atendendo a que se faz a substituição de $\varphi(x)$ por uma nova variável (e depois se primitiva relativamente a esta). No entanto, em textos originais portugueses costuma reservar-se a designação de regra de substituição ou de mudança de variável a uma aplicação um bocado mais sofisticada da regra da cadeia, que daremos mais à frente.
  • É também comum dizer-se, ao aplicar-se o estratagema acima, que se substituiu a parte $\varphi'(x)\, dx$, no integral que se quer calcular, pelo diferencial $d\varphi(x)$ da função $\varphi(x)$. Trata-se de designações abusivas, mas que se toleram atendendo a que permitem chegar a resultados corretos de um modo mais ou menos automático.

Exercícios

  1. Calcula
    1. $\int\frac{2x}{1+x^2} \, dx$.
    2. $\int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$.
    3. $\int \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx$.
    4. $\int 2xe^{x^2} \, dx$.
    5. $\int \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} \, dx$.
  2. A primitivação de $\cos^3x$ pode fazer-se de modo análogo a (4), após um ligeiro truque inicial:
    $\qquad \displaystyle \int \cos^3x \, dx = \int (1-\sin^2x)\cos x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2x \cos x \, dx = \ldots = \sin x - \frac{\sin^3x}{3} + c$.
    Como explicas então que a interface computacional abaixo nos dê neste caso o resultado
    $\qquad \displaystyle \frac{1}{12}(9 \sin x + \sin(3x)) + c \;$?


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