2.1 Primitivas - parte 1

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Primitiva de uma função

Seja $f : D \to \mathbb R$, onde $D$ é formado apenas por pontos interiores¹. Chama-se (função) primitiva de $f$ a qualquer função $F : D \to \mathbb R$ tal que $F'(x)=f(x)$, $\forall x \in D$, caso exista.

No caso de existência de uma primitiva de $f$, diz-se que $f$ é primitivável. Diremos também que $f$ é primitivável em $A$ (subconjunto aberto do seu domínio) com o significado de $f|_A$ ser primitivável e diremos que uma primitiva de $f|_A$ é uma primitiva de $f$ em $A$.

Segue facilmente da primeira afirmação do Critério de monotonia que se $F_1$ e $F_2$ forem duas primitivas de uma mesma função $f$ num intervalo $]a,b[$ então, como $(F_1-F_2)'(x) = F_1'(x)-F_2'(x) = 0$, $\forall x \in ]a,b[$, $\, F_1$ e $F_2$ diferem por uma constante em $]a,b[$. Como o recíproco também é, obviamente, verdadeiro então

Se $F$ é uma primitiva de $f$ em $]a,b[$, $\, \{ F+c : c \in \mathbb R \}$ é o conjunto de todas as primitivas de $f$ em $]a,b[$.

Em particular, a operação de primitivação não é uma operação unívoca. Assim, quando se encontra uma primitiva $F(x)$ de uma função $f(x)$ indica-se o resultado da primitivação de $f(x)$ com a expressão geral

(1)

\begin{equation} F(x)+c \end{equation}

das primitivas de $f$ em intervalos abertos, apesar de tal expressão poder induzir em erro quando se quiser considerar o conjunto de todas as primitivas de $f$ em todo o seu domínio, como ressalta do seguinte exercício:

Exercício

1. Determina o conjunto das primitivas de $f : \; ]-\infty,-1[\, \cup \, ]-1,0[\, \cup \,]1,\infty[ \;\to \mathbb R$ dada por $f(x) \equiv 0$.

Ver soluções ou indicações

1. Em cada um dos três subintervalos que naturalmente compõem o domínio, o conjunto das primitivas é, de acordo com o que se destacou acima, o conjunto das funções constantes. No entanto, quando se consideram aqueles três subintervalos do domínio em conjunto, não existe nenhuma obrigatoriedade de a constante que se usou para um intervalo se usar para outro. Assim, o conjunto das primitivas da função $f$ dada é o conjunto das funções $F$ definidas por
   $\qquad F(x) := \left\{ \begin{array}{ll} c_1, & \mbox{se }\, x \in \; ]-\infty,-1[ \\ c_2, & \mbox{se }\, x \in \; ]-1,0[ \\ c_3, & \mbox{se }\, x \in \; ]1,\infty[ \end{array} \right.$,
   onde $c_1, c_2, c_3$ são quaisquer três números reais.

Usam-se os símbolos

(2)

\begin{align} Pf \qquad \mbox{ ou } \qquad \int f(x)\, dx \end{align}

para designar o conjunto de todas as primitivas ou a expressão geral das primitivas de $f$ em subintervalos abertos do seu domínio. Por vezes são também usados para designar somente uma primitiva da função em causa, mas aqui tentaremos evitar essa interpretação. A segunda notação, onde aparece o $dx$ usado também na notação diferencial para derivada, pode parecer estranha nesta altura, mas mais tarde verás a sua utilidade em certas manipulações que se fazem no cálculo de primitivas.

Exercícios

1. Mostra a validade do método de primitivação por decomposição: Se $f$ e $g$ forem primitiváveis em $]a,b[$ então $f+g$ também é primitivável em $]a,b[$ e
   $\qquad P(f+g) = Pf + Pg \quad \mbox{em }\; ]a,b[.$
2. Mostra que se $F$ é uma primitiva de $f$ em $]a,b[$, $\lambda$ é uma constante dada e $c$ é uma constante arbitrária então $\lambda F + c$ é a expressão geral das primitivas de $\lambda f$ em $]a,b[$.

Ver soluções ou indicações

1. Comentamos somente sobre o significado da fórmula apresentada: diz que o conjunto das primitivas de $f+g$ em $]a,b[$ se obtém "adicionando" os conjuntos das primitivas de $f$ e de $g$ em $]a,b[$; ou, em termos de expressões gerais, designando por $F$ e $G$ respetivamente uma primitiva de $f$ e uma primitiva de $g$ em $]a,b[$, que a expressão geral das primitivas de $f+g$ em $]a,b[$ é $F+G+c$, onde $c$ designa uma constante arbitrária.
2. -

Primitivas imediatas

Chamam-se primitivas imediatas às funções cujas derivadas são funções elementares básicas conhecidas (como as funções que foram recordadas na secção 1.1, na parte sobre a revisão do universo das funções, e as que foram introduzidas na secção 1.2) .

Exemplo

$\frac{x^4}{4}$ é uma primitiva imediata de $x^3$, pois $\big(\frac{x^4}{4}\big)' = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^3 = x^3$.

Como consequência, trocando as colunas numa tabela de derivadas obtém-se uma tabela de primitivas imediatas. A tabela que se segue foi obtida essencialmente dessa maneira, a partir dos vários resultados de derivação que fomos colecionando anteriormente (ver a secção 1.1, na parte 1 da revisão sobre derivadas, e a secção 1.3). Subentende-se a sua validade em subintervalos abertos do domínio de cada função.

função	primitivação imediata
$m$, $\; m \in \mathbb R$	$m x + c$
$x^{n}$, $\; n \in \mathbb R \setminus \{-1\}$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + c$
$\frac{1}{x}$	$\ln |x| + c$
$a^x$, $\; a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$	$\frac{a^x}{\ln a} + c$
$\cos x$	$\sin x + c$
$-\sin x$	$\cos x +c$
$\sec^2 x$	$\tan x +c$
$-\csc^2 x$	${\rm cotan}\, x + c$
$\tan x \, \sec x$	$\sec x + c$
$-\,{\rm cotan}\, x \, \csc x$	$\csc x + c$
$\cosh x$	$\sinh x + c$
$\sinh x$	$\cosh x + c$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + c$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + c$

Se notaste algo estranho na 3.ª primitivação acima, lê mais sobre isso aqui

Não dá exatamente o resultado esperado, pois na correspondente entrada da tabela de derivadas não aparece o módulo dentro do logaritmo? É verdade que $\ln x$ é uma primitiva de $\frac{1}{x}$, mas apenas para $x > 0$, atendendo a que só se definiu o logaritmo para tais valores de $x$ (logo só se derivou com essa restrição). Contudo, $\frac{1}{x}$ faz também sentido para $x < 0$ e acontece que em tal caso $(\ln(-x))' = \frac{1}{x}$², daí a terceira linha na tabela acima, que vale tanto em $]-\infty,0[$ como em $]0,\infty[$.

Exercício

1. Calcula
   1. $\int \left(5x^3+2\cos x \right ) \, dx$.
   2. $\int \left(8t^3-6\sqrt{t}+\frac{1}{t^3}\right )\, dt$.
   3. $\int \frac{(x^2-1)^2}{x^2} \, dx$.
   4. $\int \frac{1}{\cos x \,\cot x} \, dx$.
   5. $\int \left(\sqrt{3}\sin x+\frac{1}{2x}\right ) \, dx$.

Ver soluções ou indicações

1. 1. $\frac{5}{4} x^4 + 2 \sin x + c$.
   2. $2 t^4 - 4 t^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} t^{-2} + c$.
   3. $\frac{1}{3} x^3 - 2x - \frac{1}{x} + c$.
   4. $\frac{1}{\cos x} + c$.
   5. $- \sqrt{3} \cos x + \frac{1}{2} \ln |x| + c$.

Primitivas quase imediatas

Observa que se $F(u)$ for uma primitiva de $f(u)$ então $F(\varphi(x))$ é uma primitiva de $f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$, desde que a composição $f \circ \varphi$ faça sentido e $\varphi$ seja diferenciável. De facto, a regra da cadeia permite então escrever que $(F(\varphi(x)))' = F'(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) = f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$.

Exemplo de aplicação

(3)

\begin{align} \int (\sin x)^3 \cos x \, dx = \frac{(\sin x)^4}{4} + c. \end{align}

De facto, trata-se de uma aplicação da observação acima com $f(u) = u^3$ e $\varphi(x)=\sin x$.³ A notação $\int \ldots \, dx$ ajuda na aplicação desta regra, pois o resultado obtém-se como se $\varphi'(x) = \frac{d\varphi}{dx}\!(x) = \frac{d\varphi(x)}{dx}$ fosse um verdadeiro quociente, de onde sairia $d\varphi(x) = \varphi'(x) \, dx$. De facto, a aplicação formal desta ideia ao exemplo acima e a utilização ambígua de $u$ primeiro como variável dependente de $\varphi$ (na 2.ª igualdade abaixo), depois como variável independente de $f$ (na 3.ª igualdade abaixo) e, finalmente, voltando a ser variável dependente de $\varphi$ (na igualdade final) acaba por dar o resultado correto:

(4)

\begin{align} \int (\sin x)^3 \cos x \, dx = \int (\sin x)^3 \, d(\sin x) = \int u^3\, du = \frac{u^4}{4} + c = \frac{(\sin x)^4}{4} + c. \end{align}

Notas:

• Na literatura inglesa da especialidade é comum ver esta regra designada por regra de substituição, atendendo a que se faz a substituição de $\varphi(x)$ por uma nova variável (e depois se primitiva relativamente a esta). No entanto, em textos originais portugueses costuma reservar-se a designação de regra de substituição ou de mudança de variável a uma aplicação um bocado mais sofisticada da regra da cadeia, que daremos mais à frente.
• É também comum dizer-se, ao aplicar-se o estratagema acima, que se substituiu a parte $\varphi'(x)\, dx$, no integral que se quer calcular, pelo diferencial $d\varphi(x)$ da função $\varphi(x)$. Trata-se de designações abusivas, mas que se toleram atendendo a que permitem chegar a resultados corretos de um modo mais ou menos automático.

Exercícios

1. Calcula
   1. $\int\frac{2x}{1+x^2} \, dx$.
   2. $\int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$.
   3. $\int \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx$.
   4. $\int 2xe^{x^2} \, dx$.
   5. $\int \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} \, dx$.
2. A primitivação de $\cos^3x$ pode fazer-se de modo análogo a (4), após um ligeiro truque inicial:
   $\qquad \displaystyle \int \cos^3x \, dx = \int (1-\sin^2x)\cos x \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin^2x \cos x \, dx = \ldots = \sin x - \frac{\sin^3x}{3} + c$.
   Como explicas então que a interface computacional abaixo nos dê neste caso o resultado
   $\qquad \displaystyle \frac{1}{12}(9 \sin x + \sin(3x)) + c \;$?

Ver soluções ou indicações

1. Explora a interface computacional acima, onde a expressão "integral" é usada com o sentido de "primitiva", para obteres as resoluções das várias alíneas⁴. Toma, no entanto, atenção que a WolframAlpha primitiva $\frac{1}{x}$ apenas para $x>0$, apresentando portanto sempre $\ln x$ em vez do resultado mais completo $\ln |x|$. Poderás apreciar esta deficiência na alínea 3. Na alínea 1 essa deficiência poderá passar despercebida porque o argumento do logaritmo que aparece nesse caso é positivo.
2. Recorda que duas primitivas de uma mesma função num intervalo podem diferir por uma constante, de modo que as duas primitivas específicas indicadas terão que estar nessa situação, mesmo que não pareça. Aliás, neste caso é até possível verificar que se trata somente de expressões diferentes para uma mesma função.

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Comentários:

Footnotes

1. diz-se em tal caso que $D$ é um conjunto aberto

2. Porquê?

3. Verifica!

4. Entretanto a possibilidade de obter resoluções deixou de funcionar na interface acima. Para obteres resoluções através da WA deverás executar os comandos na versão Pro.