2.1 Primitivas - parte 2

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Primitivação do produto de duas funções

A regra de primitivação de um produto de duas funções não tem um aspeto tão acabado como a correspondente regra de derivação, aliás por culpa desta última, e exige alguma ponderação de escolhas na sua aplicação, como veremos.

Primitivação por partes

Sejam $f$ e $g$ diferenciáveis em $]a,b[$. Se $f' \cdot g$ é primitivável em $]a,b[$ então também $f \cdot g'$ é e
$\qquad \qquad \displaystyle P(f \cdot g') = f \cdot g - P(f' \cdot g) \quad \mbox{em } \; ]a,b[$.

A prova consiste basicamente em mostrar que $(f \cdot g - P(f' \cdot g))' = f \cdot g'$. Faz isso!

Em notação alternativa, a fórmula de primitivação por partes escreve-se, é claro, como

(1)
\begin{align} \int f(x) \, g'(x) \, dx = f(x) \, g(x) - \int f'(x) \, g(x) \, dx \end{align}

ou, tirando partido desta notação e das interpretações $\, d(g(x)) = g'(x)\, dx \,$ e $\, d(f(x)) = f'(x)\, dx$, a exemplo do que se fez na parte anterior, como

(2)
\begin{align} \int f(x) \, d(g(x)) = f(x) \, g(x) - \int g(x) \, d(f(x)), \end{align}

que talvez seja mais fácil de memorizar.

Exercícios

    1. $\int{x \sec^2{x}\, dx}$.
    2. $\int{e^x \sin{x} \, dx}$.
    3. $\int{\ln{x}\, dx}$.
    4. $\int {\arctan{x} \, dx}$.
    5. $\int{\sin{(5x)}\cos{(3x)}\, dx}$.
  1. Sabendo que $\ln|\sec x + \tan x|$ é uma primitiva de $\sec x$, e usando a fórmula trigonométrica $\tan^2x+1=\sec^2x$, mostra que
(3)
\begin{align} \int \sec^3x \, dx = \frac{1}{2}\big( \tan x \sec x + \ln|\sec x + \tan x| \big) + c. \end{align}

Decorar regras

Saber de cor umas quantas primitivas imediatas básicas acelera a capacidade de resolução de problemas mais complicados que as envolvam, pois mais memória de trabalho fica disponível para pensar no que é realmente novo em cada problema. O jogo

Primitivas - nível 1

poderá dar uma ajuda no sentido de decorares a tabela de primitivas imediatas e as regras gerais dadas até aqui (caso tenhas dificuldade em chegar aos 100%, estuda cada uma das faces de cada cartão antes de retomares o jogo).

Primitivação de funções racionais

Dada a extensão da explicação que se segue, acompanha-a até ao passo 2.3 com a 1.ª alínea do exercício abaixo, realizando as operações que se lhe aplicam em cada passo!

  1. No caso de o grau do numerador ser maior que ou igual ao grau do denominador, começamos por efetuar a divisão de polinómios e aplicar a regra de primitivação por decomposição, sendo que uma das parcelas, dada por um polinómio, tem primitivação imediata. Assim, reduzimos o problema ao da primitivação de uma função racional própria, i.e., de uma função dada por uma expressão $\frac{f(x)}{g(x)}$ onde o polinómio $f(x)$ tem grau inferior ao grau do polinómio $g(x)$, que tratamos a seguir:
  2. Caso de $\frac{f(x)}{g(x)}$ ser função racional própria:
    1. Decompomos o denominador em
      $\quad \displaystyle g(x) = d \cdot (x-r_1)^{\alpha_1} \cdot \cdots \cdot (x-r_p)^{\alpha_p} \cdot [(x-a_1)^2+b_1^2]^{\beta_1} \cdot \cdots \cdot [(x-a_q)^2+b_q^2]^{\beta_q},$
      onde $r_1, \ldots, r_p$ são as raízes reais de $g(x)$, respetivamente de multiplicidades $\alpha_1, \ldots, \alpha_p$, e $a_1 \pm ib_1, \ldots, a_q \pm ib_q$ são os pares de raízes complexas conjugadas de $g(x)$, respetivamente de multiplicidades $\beta_1, \ldots, \beta_q$.
    2. Por cada fator do tipo $(x-r)^\alpha$ consideramos uma expressão da forma
      $\qquad \qquad \displaystyle \frac{R_1}{(x-r)^\alpha} + \frac{R_2}{(x-r)^{\alpha-1}} + \cdots + \frac{R_\alpha}{(x-r)}$
      e por cada fator do tipo $[(x-a)^2+b^2]^{\beta}$ consideramos uma expressão da forma
      $\qquad \qquad \displaystyle \frac{A_1x+B_1}{[(x-a)^2+b^2]^{\beta}} + \frac{A_2x+B_2}{[(x-a)^2+b^2]^{\beta-1}} + \cdots + \frac{A_\beta x+B_\beta}{[(x-a)^2+b^2]},$
      onde $R_1, R_2, \ldots, R_\alpha, A_1, A_2, \ldots, A_\beta, B_1, B_2, \ldots, B_\beta$ são constantes a determinar.
    3. Determinamos as constantes anteriores (por exemplo através do método dos coeficientes indeterminados) de modo a que se verifique a igualdade
      $\qquad \qquad \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = S,$
      onde $S$ é a soma de todas as expressões que considerámos na alínea anterior (há um resultado de Álgebra que nos garante que isto é possível).
    4. Aplicamos a regra de primitivação por decomposição à expressão da alínea anterior.

Atendendo ao número de passos envolvidos, começamos por exercitar a redução de uma função racional a uma função racional própria e a decomposição desta em frações simples, que é o nome dado à decomposição a que se chega no passo 2.3 acima:

Exercício

  1. Em cada caso, reduz a função racional a uma soma de frações simples (mais um polinómio, se a função racional inicial não for própria):
    1. $\frac{x^4+2x+1}{x^3-x^2-2x}$.
    2. $\frac{x^2+1}{(x-1)^3}$.
    3. $\frac{x^2+x+1}{(2x+1)(x^2+1)}$.
    4. $\frac{x}{x^2+2x+15}$.
    5. $\frac{5x^3-3x^2+7x-3}{(x^2+1)^2}$.
    6. $\frac{x^4+4x^3+12x^2+14x+10}{(x^2+2x+3)^2(x+1)}$.

Do ponto de vista do cálculo à mão (necessário na maior parte das aulas e nos testes) há algum interesse em métodos alternativos que permitam nalgumas situações obter de um modo mais rápido (e com menos contas) os coeficientes necessários à redução de uma fração própria a uma soma de frações simples. Tais métodos existem (o mais estranho seria se não existissem, atendendo a que o cálculo automático com máquinas eletrónicas é um fenómeno relativamente recente) e podem ser consultados em um ou outro item da bibliografia. Um ou outro será também referido nas aulas.

Passamos agora ao passo 2.4 do método de primitivação de funções racionais:

Exercício

  1. Primitiva as funções consideradas no exercício anterior.

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