2.1 Primitivas - parte 3

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Primitivação por mudança de variável

Também designada por primitivação por substituição em textos em língua portuguesa, tira partido da regra da cadeia, tal como no caso da Primitivação quase imediata. Recordamos que o que aí fizemos foi observar que se $F(u)$ for uma primitiva de $f(u)$ então $F(\varphi(x))$ é uma primitiva de $f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$, desde que a composição $f \circ \varphi$ faça sentido e $\varphi$ seja diferenciável.

Serviu esta observação para calcular as primitivas de $f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x)$ à custa do conhecimento de uma primitiva $F(u)$ de $f(u)$. Suponha-se agora a situação inversa, isto é, em que se conhece uma primitiva $G(t)$ de $f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)$ e se pretendem obter as primitivas de $f(x)$. Admitindo que o sinal de $\varphi'$ se mantém constante em $]a,b[$, é fácil ver que $G(\varphi^{-1}(x))$ é uma primitiva de $f(x)$ no intervalo aberto $\varphi(]a,b[)$:

(1)
\begin{align} \frac{d(G \circ \varphi^{-1})}{dx}(x) = \frac{dG}{dt}(\varphi^{-1}(x)) \cdot \frac{d\varphi^{-1}}{dx}(x) = \big( f(\varphi(\varphi^{-1}(x))) \cdot \varphi'(\varphi^{-1}(x)\big) \cdot \frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(x))} = f(x). \end{align}
1

Ou seja, acabou de se provar o seguinte resultado:

Primitivação por mudança de variável

Sejam $f$ e $\varphi$ duas funções tais que $f \circ \varphi :\, ]a,b[ \, \to \mathbb R$. Suponhamos que $\varphi :\, ]a,b[ \, \to \mathbb R$ é diferenciável, que $\varphi'$ tem sinal constante e que $(f \circ \varphi)\cdot \varphi'$ é primitivável. Então $f$ é primitivável no intervalo $\varphi(]a,b[)$ e
$\qquad \qquad \displaystyle \int f(x) \, dx = \left[\int f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, dt\right]_{t=\varphi^{-1}(x)} \quad \mbox{em }\; \varphi(]a,b[)$.

Explorando a notação, tal como no caso da primitivação quase imediata, nas condições do enunciado acima a seguinte sequência formal leva-nos de um modo mais ou menos automático até "meio" do resultado acima.

(2)
\begin{align} \int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \, d(\varphi(t)) = \int f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \, dt \end{align}

A metade que falta será ilustrada com um exemplo.

Exemplo

Escolhendo $\, \varphi(t) = t^2 \,$ com $\, t > 0$ (observe-se que então $\varphi'(t) = 2t$ tem sinal constante), a regra acima permite escrever

(3)
\begin{eqnarray} \int \frac{x}{1+\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{t^2}{1+\sqrt{t^2}} \, d(t^2) & = & \int \frac{t^2}{1+t} 2t \, dt \\ & = & \int 2t^2-2t+2-\frac{2}{1+t} \, dt \\ & = & \frac{2}{3}t^3-t^2+2t-2\ln(1+t) + c \\ & = & \frac{2}{3}x^{3/2}-x+2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x}) + c, \quad x>0. \end{eqnarray}

Como se viu, a mudança de variável foi escolhida de modo a que fosse possível depois aplicar uma das regras dadas anteriormente (a da primitivação de funções racionais neste caso). A escolha da mudança de variável que em cada caso vai permitir depois o cálculo da primitiva pode ser a parte mais difícil na aplicação da regra acima.

Exercício

  1. Em cada um dos seguintes casos calcula as primitivas começando por escolher uma mudança de variável adequada, de modo a que consigas depois aplicar uma das técnicas de primitivação dada anteriormente:
    1. $\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}} \, dx$.
    2. $\int \frac{e^{3x}}{e^{2x}+1} \, dx$.
    3. $\int \frac{\ln^4\! x}{x \, (\ln^2\! x\, +\, 1)} \, dx$.
    4. $\int \frac{\ln(2x)}{x \ln(4x)} \, dx$.
    5. $\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{x}} \, dx$.

Como saber que regra escolher para primitivar?

A prática levou ao longo dos anos ao estabelecimento de tabelas de sugestões de mudança de variável a aplicar em situações bem identificadas onde uma correspondente primitivação por essa via deverá resolver o problema. Conseguem-se desse modo, em particular, cobrir vários casos de expressões a primitivar que contêm radicais. Levou também ao estabelecimento de regras específicas a seguir (mesmo que não passem pela mudança de variável) para primitivar funções com uma certa configuração, como no caso de produtos de potências de funções trigonométricas diretas.

Exemplos de tais tabelas e regras específicas podem ser consultados na maior parte dos textos indicados na bibliografia. As tabelas mais extensas são naturalmente mais completas, mas mesmo assim podemos ser obrigados nalguns casos a adaptar uma regra tabelada para conseguirmos primitivar uma função cuja configuração não se encaixa em nenhuma delas.

Hoje em dia tais tabelas e regras (quer gerais, como as que demos nesta secção sobre primitivação, quer específicas) encontram-se incorporadas dentro de CAS, que conseguem muito rapidamente procurar a sugestão mais adequada para cada caso onde sejam aplicáveis e até efetuar completamente a operação de primitivação. Assim, em geral na prática o uso de tabelas e regras específicas apenas se justifica quando não é possível ter acesso aos meios automáticos de cálculo fornecidos por um CAS.2

Damos aqui dois exemplos de atuação com base em tabelas de mudança de variável ou em regras específicas:

Exemplos

  1. Para primitivarmos $\, \sin^5x \, \cos^2x \,$ devemos começar por destacar uma unidade à potência ímpar e usar a fórmula fundamental da trigonometria para escrever a potência par que sobrou em termos da cofunção:
    $\qquad \displaystyle \int \sin^5x \cos^2x \, dx = \int \sin x \, (1-\cos^2x)^2\cos^2x \, dx.$
    Percebe-se porquê: como $(\cos x)'=-\sin x$, ficamos perante uma situação de primitivação quase imediata:
    $\qquad \displaystyle -\int (1-\cos^2x)^2\cos^2x \; d(\cos x) = -\int (1-u^2)^2 u^2 \, du = \ldots$
    $\qquad \qquad \qquad \displaystyle \ldots = -\frac{u^3}{3}+\frac{2u^5}{5}-\frac{u^7}{7} + c = -\frac{\cos^3x}{3}+\frac{2\cos^5x}{5}-\frac{\cos^7x}{7} + c$.
  2. Para primitivarmos $\sqrt{9-x^2}$ devemos começar por fazer a mudança de variável $x=3\sin t \,$ com $t \in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ (de modo a que $\frac{dx}{dt}=3\cos t \,$ tenha sinal constante; além disso naquele intervalo a função $x=3\sin t \,$ é invertível e $t = \arcsin \frac{x}{3}$ para $x \in ]-3,3[$, maior intervalo aberto contido no domínio de definição da expressão a primitivar) e depois usar uma fórmula trigonométrica adequada3:
    $\qquad \displaystyle \int \sqrt{9-x^2} \, dx = \int \sqrt{9-9\sin^2 t} \, d(3\sin t) = \int 9 \cos^2 t \, dt = 9 \int \frac{1+\cos(2t)}{2} \, dt$.
    Percebe-se porquê: a expressão obtida tem primitivação imediata (ou quase):
    $\qquad \displaystyle \frac{9}{2} \Big( t+\frac{\sin(2t)}{2} \Big) + c =$4$\displaystyle \frac{9}{2} (t+\sin t \cos t) + c = \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + \frac{9}{2} \frac{x}{3} \cos\big(\arcsin\frac{x}{3}\big) + c$
    $\qquad \qquad \qquad =$5$\displaystyle \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + \frac{3}{2} x \sqrt{1-\frac{x^2}{9}} + c = \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x}{2} \sqrt{9-x^2} + c$,
    primitivação válida para $x \in ]-3,3[$.

Como vês, para além de recomendações específicas relativas à primitivação de certos tipos de funções, a aplicação com sucesso de uma tal recomendação pode depender do conhecimento de outras fórmulas matemáticas, como as fórmulas trigonométricas usadas nos exemplos acima. Mesmo que não as conheças todas ou não as tenhas decorado, mantém em mente que podem ser úteis no processo de primitivação, de modo que em caso de necessidade possas ir à procura da mais adequada à situação que pretendes resolver.

No 1.º exercício abaixo pretende-se que estudes as resoluções dadas pela WolframAlpha (WA) para cada alínea, de modo a alargares o teu conhecimento sobre ideias, regras e fórmulas que podem resultar quando se está a primitivar uma função. Leva também em linha de conta as seguintes características desse CAS que por vezes complicam o seu uso prático na primitivação e as correspondentes sugestões de atuação para minorar o problema em cada caso:

  • Pode acontecer que a WA dê apenas a solução, não disponibilizando a resolução, de modo que num tal caso não é possível uma verificação direta do processo de primitivação. Lembra-te, no entanto, que podes sempre derivar (ou pedir à WA que o faça) o resultado sugerido e conferir se obténs a função que querias primitivar.
  • Pode acontecer que o resultado apresentado pela WA esteja numa forma que não esperavas ou que não entendes. Em tais casos uma inspeção da resolução pode mostrar que, na verdade, a expressão para as primitivas a que o software chega inicialmente é outra, mais inteligível e mais próxima do que se estaria à espera, e que a forma preferida pela WA é apenas uma expressão equivalente obtida através de alguma fórmula que esse CAS conhece. Isto é, por exemplo, o que acontece com o 1.º exemplo acima. Verifica!

Exercícios

  1. Usa a interface computacional acima para estudares as primitivações das funções nas alíneas que se seguem6. Em cada caso a WA começa ou por identificar uma variável $u = \psi(x)$ e fazer uma primitivação como se fosse quase imediata ou identificar uma mudança de variável $x = \varphi(t)$ (a WA usa novamente a notação $u$ — em vez de $t$ — para a nova variável) e fazer uma primitivação por mudança de variável. Em ambos os casos a palavra usada para o que se está a fazer é a palavra inglesa correspondente a "substituição", mas leva em linha de conta que no segundo caso deverá restringir-se a variação de $t$ (ou $u$) a intervalos onde o sinal de $\varphi'$ se mantenha constante. Sugere-se que comeces, em cada caso, por fazer um esforço por imaginares que tipo de $\psi$ ou $\varphi$ usarias tu próprio e fazer as contas (ou pelo menos algumas delas), conferindo só depois com a resolução proposta pela WA.
    1. $x^2 \sqrt{1-x}$.
    2. $\frac{e^x}{\sqrt{4-e^{2x}}}$.
    3. $\frac{1}{x(3+\ln x)^3}$.
    4. $\frac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}}$.
    5. $\frac {1}{x^2\sqrt{5-x^2}}$.
    6. $\frac {1}{x\sqrt{x^2+2}}$.
    7. $\frac{1}{\sqrt{8+2x-x^2}}$.
    8. $\frac{2x+5}{\sqrt{9x^2+6x+2}}$.
  2. A WA não consegue primitivar a função
    $\qquad \qquad \qquad (1+\ln x) \sqrt{1+(x \ln x)^2}$,
    como podes facilmente verificar pela interface computacional acima. Dá-lhe uma ajuda: usa uma das regras que aprendeste e transforma este problema de primitivação num que a WA consiga resolver.

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