2.1 Primitivas - parte 4

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Exercícios

  1. Na Física diz-se que um ponto material cuja posição é dada por $r(t)$ no instante $t$ se desloca segundo um movimento retilíneo uniforme se se deslocar em linha reta e a sua velocidade instantânea $r'(t)$ se mantiver constante. Deduz matematicamente a expressão geral de $r(t)$.
  2. Na Física diz-se que um ponto material cuja posição é dada por $r(t)$ no instante $t$ se desloca segundo um movimento retilíneo uniformemente variado se se deslocar em linha reta e a sua aceleração $r''(t)$ se mantiver constante (diferente de zero). Deduz matematicamente a expressão geral de $r(t)$.
  3. Deixo cair uma pedra de um penhasco e observo que ela demora $5$ segundos a bater na água do mar lá em baixo. Se a aceleração da pedra fosse apenas devida à ação da gravidade e se se mantivesse constantemente igual a $9,\!8\, m/s^2$ durante toda a queda, de que altura relativamente ao nível do mar teria eu deixado cair a pedra?
  4. A corrente $i$ num circuito RCL é dada por
    $\qquad \qquad i=EC \left( \frac{\alpha ^2}{\omega}+\omega \right)e^{-\alpha t} \sin (\omega t).$
    São constantes a força electromotriz $E$, ligada no instante $t=0$, a capacidade $C$ (em farads), a resistência $R$ (em ohms), a indutância $L$ (em henrys),
    $\qquad \qquad \alpha =\frac{R}{2L}, \,\quad \omega = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{4L}{C-R^2}}.$
    A carga $Q$ (em coulombs) é dada por
    $\qquad \qquad \frac{dQ}{dt}=i,$
    com $Q(0)=0$. Determina a expressão de $Q(t)$.

Extensão dos conceitos de função primitiva e de função derivada

No que se segue supõe-se, a menos que algo seja referido em contrário, que nenhum intervalo fechado degenera num conjunto singular.

A definição de primitiva $F$ não foi dada pontualmente mas sim num conjunto, e um tal conjunto foi considerado aberto porque a definição dada exigiu a derivação de $F$ nos pontos do mesmo — cf. parte 1. Se admitirmos a consideração de derivadas laterais, podemos fazer a seguinte extensão do conceito:

Uma função $F : [a,b] \to \mathbb R$ diz-se uma primitiva de $f : [a,b] \to \mathbb R$ se e só se

  1. $F'(x)=f(x)$, $\forall x \in ]a,b[$,
  2. $F'_d(a)=f(a)$,
  3. $F'_e(b)=f(b)$.

Em tal caso diz-se também que $f$ é a (função) derivada de $F$.

Diz-se também que uma função $F$ é uma primitiva de $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ em $[a,b] \subset D$ se e só se $F$ é uma primitiva de $f|_{[a,b]}$ no sentido definido acima.

Fica também claro como é que o conceito de primitiva se deve estender ao caso em que o domínio das funções é um intervalo semiaberto.

Uma consequência simples desta definição, dos conceitos envolvidos e da relação com a continuidade é que uma primitiva é sempre uma função contínua. Como, no caso da definição acima, também é diferenciável em $]a,b[$, então nesse caso trata-se mesmo de uma função regular. Conjugado com o Teorema de Lagrange isto permite concluir, tal como no caso de intervalos abertos, que

Se $F$ é uma primitiva de $f$ em $[a,b]$, $\, \{ F+c : c \in \mathbb R \}$ é o conjunto de todas as primitivas de $f$ em $[a,b]$.

É também possível provar que é válido o seguinte critério simples para testarmos se uma primitiva de uma função num intervalo aberto se pode estender a uma primitiva no correspondente intervalo fechado:

Critério

Se $F : [a,b] \to \mathbb R$ é contínua e se $F'(x)=f(x)$, $\forall x \in ]a,b[$, onde $f$ é uma função contínua à direita em $a$ e contínua à esquerda em $b$, então $F$ é uma primitiva de $f$ em $[a,b]$.

Exemplo

Num dos exemplos da parte anterior obtivemos que a restrição de

(1)
\begin{align} F(x) := \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x}{2} \sqrt{9-x^2} \end{align}

a $]\!-3,3[$ é uma primitiva de $f(x) := \sqrt{9-x^2}$ nesse intervalo. Como tanto $F$ como $f$ são contínuas no domínio comum de definição $[-3,3]$ das duas expressões, o critério acima garante que $F$ também é uma primitiva de $f$ em $[-3,3]$.

Que funções conseguimos primitivar?

Na próxima secção iremos ver que qualquer função contínua num intervalo se pode primitivar nesse intervalo, o que não quer dizer que seja fácil encontrar uma sua primitiva. Na verdade, há funções elementares (como as funções que fomos introduzindo/recordando neste curso) cujas primitivas não são funções elementares. Por exemplo, sabe-se que as funções seguintes estão nessas condições:

$\qquad \qquad e^{x^2}, \quad \frac{e^x}{x}, \quad \sin(x^2), \quad \cos(e^x), \quad \frac{\sin x}{x}, \quad \frac{1}{\ln x}, \quad \sqrt{x^3+1}$.

Por outras palavras, por mais que nos esforcemos é impossível escrever as primitivas destas funções usando somente um número finito de adições, subtrações, multiplicações, divisões e/ou composições de funções racionais, potências, trigonométricas, exponenciais e/ou de inversas destas.

Na secção que se segue iremos ver que, apesar de tudo, é possível calcular valores para tais funções primitivas.


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