2.2 Integrais de Riemann - parte 2

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Algumas propriedades básicas

Tal como referido na parte anterior acerca da prova do 1.º critério de integrabilidade, as duas seguintes propriedades, cujas provas se omitem, são úteis nessa prova (e poderão ser úteis nos exercícios — aliás, é provável que tenhas usado, sem te dares conta, a segunda delas no cálculo do integral no exercício 2 do 2.º grupo de exercícios da parte anterior).

Integração em subintervalos

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é integrável, então também é integrável em qualquer intervalo $[c,d] \subset [a,b]$.

Aditividade do integral

Sejam $f : [a,b] \to \mathbb R$ e $c \in \; ]a,b[$. Se $f$ é integrável em $[a,c]$ e $[c,b]$, então também é integrável em $[a,b]$ e
$\qquad \displaystyle \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.$

Convencionando que

(1)
\begin{align} \int_b^a f(x) \, dx = - \int_a^b f(x) \, dx \end{align}

para qualquer função integrável em $[a,b]$, é possível estender a propriedade da aditividade do integral da seguinte maneira:

Aditividade do integral revisitada

Se $f$ é integrável em dois dos intervalos formados pelos pontos $a,b,c$, então também é integrável no terceiro intervalo e tem-se, além disso, que
$\qquad \displaystyle \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx.$

Exercício

  1. Verifica a veracidade da última propriedade enunciada acima considerando todas as posições relativas entre os pontos $a,b,c$ e tirando partido das duas propriedades anteriores.

Por outro lado, a seguinte propriedade é uma consequência simples das definições de função integrável e de integral e de propriedades elementares de sucessões convergentes:1

Linearidade do integral

Sejam $f,g : [a,b] \to \mathbb R$ integráveis e $\, c \in \mathbb R$. Então

  1. $f+g$ é integrável e
    $\qquad \displaystyle \int_a^b f(x)+g(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx.$
  2. $c\, f$ é integrável e
    $\qquad \displaystyle \int_a^b c\, f(x) \, dx = c \int_a^b f(x)\, dx.$

Assumindo a conclusão sobre a integrabilidade do módulo da função na propriedade abaixo, a desigualdade exibida entre os integrais é também uma consequência simples das definições de função integrável e de integral, da desigualdade triangular para somas e, novamente, de uma propriedade elementar do cálculo com sucessões convergentes.2

Desigualdade triangular para integrais

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é integrável, então também $|f|$ é integrável em $[a,b]$ e
$\qquad \displaystyle \left|\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx.$

No caso de saberes já que uma função é integrável num intervalo (e na parte anterior enunciámos vários resultados nesse sentido que deverão ser suficientes na maioria dos problemas que encontrarás), podes tentar calcular o respetivo integral usando somente partições e sequências compatíveis de um tipo particular cujas somas de Riemann se aproximem do valor desse integral. Assim, tem-se, por exemplo, a seguinte

Fórmula para o cálculo do integral de uma função integrável

Seja $f$ integrável em $[a, b]$. Para cada $n \in \mathbb N$ considere-se a partição $\{ a, a+\frac{b-a}{n}, \ldots , a+(n-1)\frac{b-a}{n}, b \}$ de amplitude $\frac{b-a}{n}$ e uma qualquer correspondente sequência compatível $(\xi_1, \ldots, \xi_n)$. Então
$\qquad \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \Big( \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Big).$

Exemplo

Escolhendo, para cada $n \in \mathbb N$, a sequência compatível $(a+\frac{b-a}{n}, \ldots , a+(n-1)\frac{b-a}{n}, b )$ obtém-se

(2)
\begin{align} \int_0^1 x \, dx \; = \; \lim_{n \to \infty} \Big( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \big(i\frac{1}{n}\big) \Big) \; = \; \lim_{n \to \infty} \big( \frac{1}{n^2} \frac{1+n}{2} n \big) \; = \; \frac{1}{2}. \end{align}

Aviso: Não podes usar a fórmula acima para mostrares que o integral existe. Por exemplo, no caso da função $f$ do exercício 4 do 1.º grupo de exercícios da parte anterior, verifica-se, para as mesmas escolhas do exemplo acima, que

(3)
\begin{align} \lim_{n \to \infty} \Big( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\big(i\frac{1}{n}\big) \Big) = \lim_{n \to \infty} \Big( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n 0 \Big) = 0, \end{align}

mas daqui não se pode concluir que a função seja integrável em $[0,1]$ e que o seu integral nesse intervalo valha $0$: vimos precisamente no exercício referido que a função em causa não é integrável em nenhum intervalo $[a,b]$ com $a<b$.

Não vamos insistir no cálculo de integrais por esta via, porque iremos ver mais tarde um método mais prático para esse cálculo. No entanto, a fórmula acima tem interesse teórico, até pelo facto de permitir o cálculo do integral de uma função integrável à custa da definição usual de limite de uma sucessão (em contraste com a complicada definição de limite usada na definição de função integrável).

Exercícios

  1. (Monotonia do integral) Sejam $f,g: [a,b] \to \mathbb R$ duas funções integráveis tais que $f(x) \leq g(x), \; \forall x \in [a,b]$. Verifica que $\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx.$
  2. (Limitação do integral) Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ integrável e sejam $m$ e $M$ números reais tais que $\, m \leq f(x) \leq M,\: \forall x \in [a,b]$. Verifica que $\; m (b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M (b-a)$.
  3. Usa o resultado da alínea anterior, o Teorema dos valores intermédios e o Teorema de Weierstrass e prova o seguinte resultado:

Teorema da média para integrais

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ for contínua, então existe $c \in [a,b]$ tal que $\int_a^b f(x) \, dx = f(c) (b-a)$.


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