2.2 Integrais de Riemann - parte 3

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Fórmula de Barrow

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a<b$, simultaneamente primitivável e integrável. Seja $F : [a,b] \to \mathbb R$ uma sua primitiva. Seja $(P_n)_{n \in \mathbb N}$ uma qualquer sucessão de partições $P_n$ de $[a,b]$ verificando $\Delta(P_n) {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} 0$.

O Teorema de Lagrange aplicado a $F$ em cada intervalo $[x_{i-1},x_i]$, $\, i=1,\ldots,n$, garante a existência de $\xi_i \in ]x_{i-1},x_i[$ tal que $F(x_i)-F(x_{i-1}) = f(\xi_i) (x_i-x_{i-1})$, $\, i=1,\ldots,n$. Então

(1)
\begin{align} F(b)-F(a) = \sum_{i=1}^n F(x_i)-F(x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i-x_{i-1}) = S(f,P_n,C_n), \end{align}

onde, por construção, para cada $n \in \mathbb N$ a sequência $C_n := (\xi_1,\ldots,\xi_n)$ é compatível com $P_n$. Passando ao limite quando $n \to \infty$ e usando a hipótese de $f$ ser integrável (cf. a definição dada na parte 1), obtém-se

(2)
\begin{align} F(b)-F(a) = \int_a^b f(x)\, dx. \end{align}

Ou seja, acabou de se provar o seguinte resultado:

Fórmula de Barrow

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a<b$, for simultaneamente primitivável e integrável e $F : [a,b] \to \mathbb R$ for uma sua primitiva, então
$\qquad \displaystyle \int_a^b f(x)\, dx = [F(x)]_a^b := F(b)-F(a).$

Notas:

  1. A fórmula acima vale também se $a=b$ interpretando nesse caso o $F$ como uma qualquer função.
  2. A mesma fórmula vale também se o intervalo dos domínios de $f$ e $F$ for $[b,a]$, com $b<a$: de facto, devido à convenção feita em (1) da parte anterior,
(3)
\begin{align} \int_a^b f(x)\, dx = - \int_b^a f(x) \, dx = -(F(a)-F(b)) = F(b)-F(a). \end{align}

Exercícios

  1. Calcula:
    1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\big(\sin x+\cos x\big)^2 \,dx.$
    2. $\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^4}\,dx.$
    3. $\int_{0}^{1} x\sin(3x^2)\,dx.$
    4. $\int_{0}^{4} \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx.$
    5. $\int_{1}^{4}\frac{1+\sqrt{y}}{y^2} \,dy.$
    6. $\int_{-3}^{-2} \frac{1}{x^2-1}\,dx.$
    7. $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$
    8. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3 x\,dx.$
  2. Determina a área da região do plano delimitada pelos gráficos das funções $f(x)=\sin x$ e $g(x)=\cos x$ e pelas retas $x=-\pi$ e $x= \pi$.
  3. Determina a área da região de $\mathbb{R}^{2}$ delimitada pelos gráficos de $f(x)=\sqrt{4+x^{2}}$ e $g(x)=x$ e pelas retas de equações $x=-2$ e $x=2$.
  4. Determina a área da região limitada pelos gráficos das funções dadas por $f(x)= \frac{1+\cos^{2}x}{1+e^{2x}}\;$ e $\;g(x)=\frac{\cos^{2}x}{1+e^{2x}}$ em $[\ln 2, \ln 5]$.
  5. Determina a área da região do primeiro quadrante limitada pela parábola de equação $y=x^{2}-2x+2$ e pela reta que lhe é tangente no ponto $(2,2)$.
  6. Seja $\mathcal{A}=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: y\geq (x-3)^{2}\wedge y\geq x-1 \wedge y\leq 4 \right\}$
    1. Representa geometricamente a região $\mathcal{A}$.
    2. Calcula a área da região $\mathcal{A}$.

A aplicação da Fórmula de Barrow, tal como acima é enunciada, exige a verificação de que a função em causa é simultaneamente primitivável e integrável no intervalo em questão, de modo que isso deverá ter sido verificado nos exercícios acima onde ela foi aplicada.1

Pode colocar-se a questão de se saber se é mesmo necessário impor essas condições. A resposta é afirmativa, já que nenhuma delas implica a outra:

  • Por exemplo, a função $\, f(x) := \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{se }\, x \not= 0 \\ 1 & \mbox{se }\, x=0 \end{array} \right. \,$ é integrável em $[0,1]$ mas não é primitivável nesse intervalo:
    • a integrabilidade sai imediatamente do exercício 3 do 1.º grupo de exercícios da parte 1, sendo $0$ o valor do respetivo integral;
    • por outro lado, se existisse primitiva $F$ de $f$ em $[0,1]$, $F$ também seria primitiva de $f$ em $]0,1[$; como aqui $f$ é constantemente zero, ter-se-ia que $F$ seria constante nesse intervalo; mas sendo uma primitiva também em $[0,1]$, sabemos que teria que ser contínua aí, logo também constante em todo este intervalo fechado e portanto a sua derivada $f$ teria que ser constantemente zero em $[0,1]$, o que é uma contradição; assim, $f$ não pode ser primitivável em $[0,1]$.
  • Por seu lado, a função $\, f(x) := \left\{ \begin{array}{ll} 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2} & \mbox{se }\, x \not= 0 \\ 0 & \mbox{se }\, x = 0 \end{array} \right. \,$ é primitivável em $[-1,1]$ mas não é integrável nesse intervalo:
    • que não é integrável nesse intervalo sai imediatamente do facto de ser ilimitada junto a zero, como se constata facilmente;
    • que é primitivável vem do facto de $\, F(x) := \left\{ \begin{array}{ll} x^2 \sin \frac{1}{x^2} & \mbox{se }\, x \not= 0 \\ 0 & \mbox{se }\, x = 0 \end{array} \right.\,$ ser uma sua primitiva2.

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