2.2 Integrais de Riemann - parte 4

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Integral indefinido

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ uma função integrável e defina-se $F : [a,b] \to \mathbb R$ por $F(x):=\int_a^x f(t)\, dt$. Chama-se a $F$ o integral indefinido de $f$.

Observa que para qualquer sucessão $(x_n)_{n\in \mathbb N} \subset [a,b]$ a convergir para um dado $x \in [a,b]$ se verifica, pela Aditividade do integral revisitada, pela Desigualdade triangular para integrais e pela Limitação do integral (neste caso aplicada à função $|f|$) referidas na parte 2, que

(1)

\begin{eqnarray} 0 \leq |F(x_n)-F(x)| & = & \Big| \int_a^{x_n} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt \Big| \\ & = & \Big| \int_x^{x_n} f(t) \, dt \Big| \leq \Big| \int_x^{x_n} |f(t)| \, dt \Big| \leq M |x_n-x|, \end{eqnarray}

de modo que, devido a este enquadramento de sucessões, $\lim_{n \to \infty} F(x_n) = F(x)$. Isto é, $F$ é uma função contínua.

Assim, acabámos de provar que

O integral indefinido de uma função integrável num intervalo é uma função contínua nesse intervalo.

Mas podemos provar mais do que isso:

Teorema fundamental do cálculo integral

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a<b$, uma função contínua (logo integrável) e $F$ o seu integral indefinido. Então $F$ é diferenciável e $F'=f$. Por outras palavras, $F$ é uma primitiva de $f$.

Naturalmente, a diferenciabilidade está aqui a ser entendida como significando haver derivada no sentido da extensão feita na parte 4 da secção 2.1 (em particular, em cada extremo do intervalo considera-se somente a derivada lateral que faz aí sentido). Reduzindo tudo a limites de sucessões, o teorema acima fica provado se se provar que, qualquer que seja o $x$ em $[a,b]$ e qualquer que seja a sucessão $(x_n)_{n\in \mathbb N} \subset [a,b]$ convergente para $x$ e tal que $x_n \not= x$, $\forall n \in \mathbb N$,

(2)

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{F(x_n)-F(x)}{x_n-x} = f(x). \end{align}

Mas isto é uma consequência mais ou menos imediata do Teorema da média para integrais, que garante, no presente caso, que

(3)

\begin{align} F(x_n)-F(x) = \int_x^{x_n} f(t) \, dt = f(y_n)(x_n-x) \end{align}

¹, onde $y_n$ está enquadrado entre $x$ e $x_n$ e, por isso, também $y_n {\mathop {\longrightarrow}_{n \rightarrow \infty}\,} x$. De facto, usando toda esta informação e a hipótese de continuidade de $f$, obtém-se(4)

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{F(x_n)-F(x)}{x_n-x} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(y_n)(x_n-x)}{x_n-x} = \lim_{n \to \infty} f(y_n) = f(x), \end{align}

tal como se pretendia.

Notas:

• É possível provar algo mais forte do que o enunciado acima, nomeadamente que, dada uma qualquer função integrável $f$ em $[a,b]$, com $a < b$, para concluir que $F'(x_0)=f(x_0)$ num ponto específico $x_0 \in [a,b]$ basta supor a continuidade de $f$ nesse mesmo ponto.
• Uma maneira equivalente de escrever a conclusão do Teorema fundamental do cálculo integral é $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$ para todo o $x \in [a,b]$ (a derivada considerando-se como lateral nos extremos). Usando a Aditividade do integral revisitada é fácil a partir daqui concluir também que, no caso de $f$ ser contínua em $[c,a]$, com $c < a$, $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$ para todo o $x \in [c,a]$. Confere!

Fórmula de Barrow revisitada

Como consequência do Teorema fundamental do cálculo integral e do facto de toda a função contínua num intervalo limitado e fechado ser integrável aí (como enunciado na parte 1) temos o seguinte importante resultado:

Qualquer função contínua $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a < b$, é simultaneamente primitivável e integrável e, consequentemente, a Fórmula de Barrow é válida para tal $f$.

Exercícios

1. Sejam $f', g'$ contínuas em $[a,b]$, com $a<b$. Aplica a $(f(x)g(x))'$, por um lado, a fórmula da derivada do produto e, por outro lado, a Fórmula de Barrow e obtém a chamada fórmula de integração por partes:
   $\qquad \displaystyle \int_a^b f(x)g'(x)\, dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\, dx.$
2. Sejam $f$ e $\varphi$ duas funções tais que $f : \varphi([a,b]) \to \mathbb R$ é contínua e $\varphi : [a,b] \to \mathbb R$ tem derivada contínua, onde $a < b$.
   1. Seja $F$ uma primitiva de $f$ (no intervalo limitado e fechado $\varphi([a,b])$, suposto não degenerado) e verifica que então $F(\varphi(t))$ é uma primitiva de $f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)$ (em $[a,b]$).
   2. Aplica a fórmula de Barrow, por um lado, a $f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)$ em $[a,b]$ e, por outro lado, a $f(x)$ no intervalo de extremos $\varphi(a)$ e $\varphi(b)$ e obtém a chamada fórmula de integração por substituição ou por mudança de variável:
      $\qquad \displaystyle \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\, dx = \int_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\, dt.$
   3. Verifica que a fórmula anterior é também verdadeira no caso em que $\varphi([a,b])$ é um intervalo degenerado.
   4. Observa que, em contraste com o correspondente método de primitivação por mudança de variável, aqui não foi necessário exigir que $\varphi'$ tivesse sinal constante.
3. Calcula:
   1. $\int_1^e x \ln x \, dx.$
   2. $\int_1^e \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx.$
   3. $\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx.$
   4. $\int_0^1 \frac{x}{x^2+3x+2} \, dx.$

Ver soluções ou indicações

1. -
2. -
3. 1. $\frac{1+e^2}{4}.$
   2. $4-2\sqrt{e}.$
   3. $\frac{8}{3}.$
   4. $\ln \frac{9}{8}.$

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Comentários:

Footnotes

1. Verifica que isto também é válido quando $x_n < x$, apesar de esta situação não estar contemplada no Teorema da média para integrais tal como foi enunciado!