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Integral indefinido
Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ uma função integrável e defina-se $F : [a,b] \to \mathbb R$ por $F(x):=\int_a^x f(t)\, dt$. Chama-se a $F$ o integral indefinido de $f$.
Observa que para qualquer sucessão $(x_n)_{n\in \mathbb N} \subset [a,b]$ a convergir para um dado $x \in [a,b]$ se verifica, pela Aditividade do integral revisitada, pela Desigualdade triangular para integrais e pela Limitação do integral (neste caso aplicada à função $|f|$) referidas na parte 2, que
(1)de modo que, devido a este enquadramento de sucessões, $\lim_{n \to \infty} F(x_n) = F(x)$. Isto é, $F$ é uma função contínua.
Assim, acabámos de provar que
O integral indefinido de uma função integrável num intervalo é uma função contínua nesse intervalo.
Mas podemos provar mais do que isso:
Teorema fundamental do cálculo integral
Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a<b$, uma função contínua (logo integrável) e $F$ o seu integral indefinido. Então $F$ é diferenciável e $F'=f$. Por outras palavras, $F$ é uma primitiva de $f$.
Naturalmente, a diferenciabilidade está aqui a ser entendida como significando haver derivada no sentido da extensão feita na parte 4 da secção 2.1 (em particular, em cada extremo do intervalo considera-se somente a derivada lateral que faz aí sentido). Reduzindo tudo a limites de sucessões, o teorema acima fica provado se se provar que, qualquer que seja o $x$ em $[a,b]$ e qualquer que seja a sucessão $(x_n)_{n\in \mathbb N} \subset [a,b]$ convergente para $x$ e tal que $x_n \not= x$, $\forall n \in \mathbb N$,
(2)Mas isto é uma consequência mais ou menos imediata do Teorema da média para integrais, que garante, no presente caso, que
(3)tal como se pretendia.
Notas:
- É possível provar algo mais forte do que o enunciado acima, nomeadamente que, dada uma qualquer função integrável $f$ em $[a,b]$, com $a < b$, para concluir que $F'(x_0)=f(x_0)$ num ponto específico $x_0 \in [a,b]$ basta supor a continuidade de $f$ nesse mesmo ponto.
- Uma maneira equivalente de escrever a conclusão do Teorema fundamental do cálculo integral é $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$ para todo o $x \in [a,b]$ (a derivada considerando-se como lateral nos extremos). Usando a Aditividade do integral revisitada é fácil a partir daqui concluir também que, no caso de $f$ ser contínua em $[c,a]$, com $c < a$, $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$ para todo o $x \in [c,a]$. Confere!
Fórmula de Barrow revisitada
Como consequência do Teorema fundamental do cálculo integral e do facto de toda a função contínua num intervalo limitado e fechado ser integrável aí (como enunciado na parte 1) temos o seguinte importante resultado:
Qualquer função contínua $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a < b$, é simultaneamente primitivável e integrável e, consequentemente, a Fórmula de Barrow é válida para tal $f$.
Exercícios
- Sejam $f', g'$ contínuas em $[a,b]$, com $a<b$. Aplica a $(f(x)g(x))'$, por um lado, a fórmula da derivada do produto e, por outro lado, a Fórmula de Barrow e obtém a chamada fórmula de integração por partes:
$\qquad \displaystyle \int_a^b f(x)g'(x)\, dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\, dx.$ - Sejam $f$ e $\varphi$ duas funções tais que $f : \varphi([a,b]) \to \mathbb R$ é contínua e $\varphi : [a,b] \to \mathbb R$ tem derivada contínua, onde $a < b$.
- Seja $F$ uma primitiva de $f$ (no intervalo limitado e fechado $\varphi([a,b])$, suposto não degenerado) e verifica que então $F(\varphi(t))$ é uma primitiva de $f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)$ (em $[a,b]$).
- Aplica a fórmula de Barrow, por um lado, a $f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)$ em $[a,b]$ e, por outro lado, a $f(x)$ no intervalo de extremos $\varphi(a)$ e $\varphi(b)$ e obtém a chamada fórmula de integração por substituição ou por mudança de variável:
$\qquad \displaystyle \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\, dx = \int_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\, dt.$ - Verifica que a fórmula anterior é também verdadeira no caso em que $\varphi([a,b])$ é um intervalo degenerado.
- Observa que, em contraste com o correspondente método de primitivação por mudança de variável, aqui não foi necessário exigir que $\varphi'$ tivesse sinal constante.
- Calcula:
- $\int_1^e x \ln x \, dx.$
- $\int_1^e \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx.$
- $\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx.$
- $\int_0^1 \frac{x}{x^2+3x+2} \, dx.$
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