2.2 Integrais de Riemann - parte 5

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A função logaritmo natural

A partir do momento em que temos à nossa disposição o Teorema fundamental do cálculo integral, introduzido na parte anterior, estamos finalmente em condições de dar uma definição rigorosa (e computacionalmente amigável) da função logaritmo natural1:

(1)
\begin{align} \ln : \mathbb R^+ \longrightarrow \mathbb R \hspace{8mm} \end{align}
(2)
\begin{align} \hspace{10mm} x \longmapsto \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \end{align}

Deste modo, e pelo que vimos na parte anterior, $\ln$ é uma função contínua no seu domínio ($\mathbb R^+$) — algo que ainda não tínhamos provado até agora. Além disso, a sua derivada é $\frac{1}{x}$ (observa que isto é válido mesmo quando $x \in ]0,1]$, por uma das Notas feitas na parte anterior) e $\ln 1 = \int_1^1 1/t \, dt = 0$, duas propriedades a que queríamos que a nossa função logaritmo natural obedecesse.

Como é que temos a certeza que a função definida acima é a função logaritmo natural do costume?… É que não há duas funções diferentes com as duas últimas propriedades: designando por $g$ uma função tal que

  1. $g'(x) = \frac{1}{x}$ em $\mathbb R^+$,
  2. $g(1)=0$,

por 1 terá obrigatoriamente que existir $c \in \mathbb R$ tal que $g(x) - \ln x = c$, $\forall x>0$, e conjugando com 2 ter-se-á $\, 0 = g(1) - \ln 1 = c$, logo $c=0$ e portanto $g = \ln$.

Exercícios

  1. Justifica as passagens nas seguintes provas, com base na definição acima, de duas propriedades de $\ln$ que nos habituámos a usar:
    1. Dados $x,y>0$,
      $\qquad \displaystyle \ln(xy) = \int_1^{xy} \frac{1}{t}\, dt = \int_1^{x} \frac{1}{t}\, dt + \int_x^{xy} \frac{1}{t}\, dt = \ln x + \int_1^y \frac{1}{z}\, dz = \ln x + \ln y.$
    2. Dado $x>0$, $\; \ln \frac{1}{x} = \int_1^{1/x} \frac{1}{t}\, dt = \int_x^1 \frac{1}{z}\, dz = - \ln x.$
  2. Justifica as passagens na seguinte prova de que $\lim_{n \to +\infty} \ln\,[(1+1/n)^n] =1$:
    $\qquad \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \ln\Big[\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big] = \lim_{n \to +\infty} n \ln\Big(1+\frac{1}{n}\Big) = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = 1.$

A função exponencial natural

A partir do momento em que $\ln x$ está definida em bases rigorosas, e verificando-se que se trata de uma função invertível (pois a sua derivada, sendo, por definição, $1/x$, é positiva no domínio $\mathbb R^+$ de $\ln x$), definimos a exponencial natural $\exp (x)$ como a inversa do logaritmo natural, com domínio no contradomínio $\mathbb R$ desta última3:

(3)
\begin{align} \exp : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R \hspace{8mm} \end{align}
(4)
\begin{align} \hspace{10mm} x \longmapsto \ln^{-1} (x). \end{align}

Em particular, a continuidade da $\exp$ sai da continuidade de $\ln$ a partir do Teorema da inversão de funções contínuas injetivas.

Define-se, naturalmente, o número $e$ como sendo $\exp(1)$ e a expressão $e^x$ como significando o mesmo que $\exp(x)$.

Exercícios

  1. Deduz que $\exp'(x) = \exp (x)$ com base na regra de derivação da função inversa.
  2. Usando o exercício 2 do grupo de exercícios acima, prova a conhecida relação
    $\qquad \qquad \displaystyle e = \lim_{n \to +\infty} \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n.$
  3. Aplica o resultado da alínea 1.1 do grupo de exercícios acima aos números positivos $e^x$ e $e^y$ e prova assim, por esta via, a conhecida propriedade $e^{x+y} = e^x e^y$, válida para quaisquer $x,y \in \mathbb R$.

As funções potências de expoentes reais quaisquer

Tendo neste momento uma definição rigorosa do que se deve entender por uma expressão como $e^x$, define-se a função potência de expoente $a$, com $a$ um qualquer número real, como a função definida em $\mathbb R^+$ pela expressão $x^a := e^{a \ln x}$.

Observa que, quando $a=n \in \mathbb N$, $x^a = e^{n \ln x} = e^{\ln x^n} = x^n$, ou seja, coincide com a definição classicamente adotada.

Não é muito difícil mostrar que a definição acabada de dar, via exponencial e logaritmo, coincide com a definição clássica para qualquer $a \in \mathbb R$. No entanto, abordar a definição tal como se está agora a fazer aqui tem as suas vantagens. Uma delas, por exemplo, é resolver a dúvida sobre a unicidade do resultado na definição que demos na parte 1 da revisão sobre o Universo das funções no caso de o expoente ser irracional. Uma outra é a conclusão — agora fácil — de que se trata de funções contínuas. Um terceiro exemplo é permitir provar agora que a regra de derivação da função potência vale de facto com qualquer expoente real:

(5)
\begin{align} (x^a)' = (e^{a \ln x})' = e^{a \ln x} a \frac{1}{x} = a\, e^{a \ln x} e^{\ln \frac{1}{x}} = a\, e^{a \ln x - \ln x} = a\, e^{(a-1) \ln x} = a\, x^{a-1} \qquad x > 0. \end{align}

As funções trigonométricas

As funções trigonométricas e as suas inversas podem definir-se de um modo rigoroso através do mesmo tipo de abordagem que se usou para o logaritmo e a exponencial naturais, embora aqui a situação seja mais complicada.

De qualquer modo, a ideia é começar por se definir $\arcsin x$ como $\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\, dt$, para $x \in \;]-1,1[$, invocando o Teorema fundamental do cálculo integral, e definir depois o $\sin$ como $\arcsin^{-1}$, pelo menos no contradomínio da função $\arcsin$ acima definida.

Neste contexto é, por exemplo, possível obter facilmente, com a ajuda da regra de derivação da função inversa, a esperada fórmula $(\sin x)' = \sqrt{1- (\sin x)^2}$.

Estas e outras funções

O Teorema fundamental do cálculo integral permite-nos agora também dizer que, por exemplo,

(6)
\begin{align} \int_0^x e^{t^2}\, dt \end{align}

é uma primitiva da função $e^{x^2}$, que é uma das funções da lista (exemplificativa) de funções cujas primitivas não são funções elementares que exibimos na parte 4 da secção 2.1. No entanto, (6) pode agora até ser usada para calcularmos (quanto mais não seja aproximadamente, usando técnicas de Análise Numérica, as quais se baseiam aqui na interpretação geométrica do integral) os valores dessa primitiva em qualquer ponto do seu domínio.

Integrais indefinidos como (6), tratando-se de funções, podem também ser usados nas várias operações do cálculo definidas para funções.

Exercícios

  1. Determina a derivada da função $F_j$ ($j=1, \ldots, 9$) dada por:
    1. $F_1(x)=\int_{1} ^x \ln t\,dt.$
    2. $F_2(x)=\int_{\ln x} ^{x^2} \sqrt{1+t^4}\,dt.$
    3. $F_3(x)=\int_{x} ^{x^2} e^{-t^2}\,dt.$
    4. $F_4(x)=\int_{\frac{1}{x}} ^{\sqrt{x}}\cos (t^2)\,dt.$
    5. $F_5(x)=\int_{x^2+1} ^{\sin x} t\cos t\,dt.$
    6. $F_6(x)=x^3\int_{1} ^{x} e^{-s^2}\,ds.$
    7. $F_7(x)=\int_{0} ^{x}(x-s)e^{-s^2}\,ds.$
    8. $F_8(x)=\int_{1} ^{x}\big(\sin(s^2)+ e^{-s^2}\big )\,ds.$
    9. $F_9(x)=\int_{\cos x} ^{x^3} \ln (s^2+1)\,ds.$
  2. Seja $F$ a função dada por $F(x)=\int^{x}_{0}\left(\int^{t}_{0}e^{-u^{2}}du\right)dt$. Calcula $F''(x)$.
  3. Seja $f$ uma função real de variável real contínua e positiva em $\mathbb{R}$. Mostra que a função $F$ dada por
    $\qquad F(x)=\int^{6x-x^{2}}_{0}f(t)\, dt$
    admite um só extremo, ocorrendo este no ponto de abcissa $x=3$. Classifica esse extremo.

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