2.3 Integrais impróprios - parte 1

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Integrais impróprios de 1.ª espécie

  • Seja $f : [a,\infty[ \; \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a,\beta]$, com $\beta > a$. Diz-se que o integral impróprio
(1)
\begin{align} \int_a^\infty f(x) \, dx \end{align}

existe ou converge se existe e é finito o $\lim_{\beta \to \infty} \int_a^\beta f(x)\, dx$. Caso contrário diz-se que $\int_a^\infty f(x) \, dx$ não existe ou que diverge. No caso de convergência atribui-se a $\int_a^\infty f(x) \, dx$ o valor daquele limite.

Exemplo

(2)
\begin{align} \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\, dx = \lim_{\beta \to \infty} \int_1^\beta \frac{1}{x^2}\, dx = \lim_{\beta \to \infty} \Big[ -\frac{1}{x} \Big]_1^\beta = \lim_{\beta \to \infty} \Big( -\frac{1}{\beta} +1 \Big) = 1. \end{align}

Naturalmente, podemos interpretar o valor do integral impróprio no exemplo acima como a área da região infinita delimitada pelo gráfico de $\frac{1}{x^2}$, o eixo das abcissas e a reta $x=1$.

  • Analogamente ao que se fez em cima, no caso de $f :\; ]-\infty, b] \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[\alpha,b]$, com $\alpha < b$, diz-se que o integral impróprio
(3)
\begin{align} \int_{-\infty}^b f(x) \, dx \end{align}

existe ou converge se existe e é finito o $\lim_{\alpha \to -\infty} \int_{\alpha}^b f(x)\, dx$, etc..

  • No caso de $f : \mathbb R \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[\alpha,\beta]$, com $\alpha < \beta$, diz-se que o integral impróprio
(4)
\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx \end{align}

existe ou converge se existe $c \in \mathbb R$ tal que tanto $\int_{-\infty}^c f(x) \, dx$ como $\int_{c}^\infty f(x) \, dx$ são convergentes. Caso contrário diz-se que $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ não existe ou que diverge. No caso de convergência escreve-se também

(5)
\begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = \int_{-\infty}^c f(x) \, dx + \int_{c}^\infty f(x) \, dx. \end{align}

É fácil ver, usando a aditividade do integral de Riemann, que se existe um $c \in \mathbb R$ com a propriedade acima, então qualquer outro número real $c$ tem a mesma propriedade. E que, qualquer que seja o $c \in \mathbb R$ que se use, a soma no membro direito de (5) dá sempre o mesmo valor, de modo que o valor de $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ fica realmente bem definido por (5).

Como consequência desta observação tem-se também que

se para algum $c \in \mathbb R$ algum dos integrais impróprios $\int_{-\infty}^c f(x) \, dx$ ou $\int_{c}^\infty f(x) \, dx$ diverge, então $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ diverge também.

Exemplos

  1. $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2} \, dx = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} \, dx + \int_{0}^\infty \frac{1}{1+x^2} \, dx = \lim_{\alpha \to -\infty} \int_{\alpha}^0 \frac{1}{1+x^2} \, dx + \lim_{\beta \to \infty} \int_{0}^\beta \frac{1}{1+x^2} \, dx$

    $\qquad \qquad \qquad \quad \displaystyle = \lim_{\alpha \to -\infty} [\arctan x]_\alpha^0 + \lim_{\beta \to \infty} [\arctan x]_0^\beta = 0 - \Big(-\frac{\pi}{2}\Big) + \frac{\pi}{2} - 0 = \pi.$
  2. $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty x \, dx\,$ diverge, pois
    $\qquad \displaystyle \int_{0}^\infty x \, dx = \lim_{\beta \to \infty} \int_{0}^\beta x \, dx = \lim_{\beta \to \infty} \Big[ \frac{x^2}{2} \Big]_0^\beta = \infty.$

Atenção:
Observa que $\, \lim_{\beta \to \infty} \int_{-\beta}^\beta x\, dx = \lim_{\beta \to \infty} \big[ \frac{x^2}{2} \big]_{-\beta}^\beta = \frac{\beta^2}{2} - \frac{(-\beta)^2}{2} = 0$, de modo que, comparando com o segundo exemplo acima, vemos que este tipo de cálculo não permite decidir sobre a natureza (i.e., convergência ou divergência) de $\int_{-\infty}^\infty x \, dx$. Ao $\, \lim_{\beta \to \infty} \int_{-\beta}^\beta x\, dx\,$ chama-se, existindo e sendo finito, valor principal de Cauchy de $\int_{-\infty}^\infty x \, dx$. Vimos então que, embora o seu valor principal de Cauchy seja $0$, o integral impróprio $\int_{-\infty}^\infty x \, dx$ diverge.

Integrais impróprios de 2.ª espécie

  • Seja $f : [a,b[ \; \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a,\beta]$, com $a < \beta < b \in \mathbb R$, e tal que $f$ se torna ilimitada junto a $b$. Diz-se que o integral impróprio
(6)
\begin{align} \int_a^b f(x) \, dx \end{align}

existe ou converge se existe e é finito o $\lim_{\beta \to b-} \int_a^\beta f(x)\, dx$. Caso contrário diz-se que $\int_a^b f(x) \, dx$ não existe ou que diverge. No caso de convergência atribui-se a $\int_a^b f(x) \, dx$ o valor daquele limite.

Exemplo

(7)
\begin{align} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x}}\, dx = \lim_{\beta \to 1-} \int_0^\beta \frac{1}{\sqrt{1-x}}\, dx = \lim_{\beta \to 1-} \Big[ -2\, (1-x)^{1/2} \Big]_0^\beta = -2 \lim_{\beta \to 1-} \Big( \sqrt{1-\beta} -1 \Big) = 2. \end{align}

Naturalmente, podemos interpretar o valor do integral impróprio no exemplo acima como a área da região infinita delimitada pelo gráfico de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, o eixo das abcissas e as retas $x=0$ e $x=1$.

Nota: Como se vê, a notação usada em (6) coincide com a de integral de Riemann, embora aqui se trate de outro tipo de integral. Trata-se, na verdade, de uma extensão da noção de integral de Riemann, pois, devido à continuidade do integral indefinido, no caso de se ter $f : [a,b] \to \mathbb R$ integrável (à Riemann) também se tem que $\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{\beta \to b-} \int_a^\beta f(x)\, dx$.

  • Analogamente ao que se fez em cima, no caso de $f :\; ]a, b] \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[\alpha,b]$, com $b > \alpha > a \in \mathbb R$, e tal que $f$ se torna ilimitada junto a $a$, diz-se que o integral impróprio
(8)
\begin{align} \int_{a}^b f(x) \, dx \end{align}

existe ou converge se existe e é finito o $\lim_{\alpha \to a+} \int_{\alpha}^b f(x)\, dx$, etc.. Além disso vale também uma Nota correspondente à que se escreveu acima.

  • No caso de $f :\; ]a,b[ \; \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[\alpha,\beta]$, com $\mathbb R \ni a < \alpha < \beta < b \in \mathbb R$, e tal que $f$ se torna ilimitada junto a $a$ e junto a $b$, diz-se que o integral impróprio
(9)
\begin{align} \int_{a}^b f(x) \, dx \end{align}

existe ou converge se existe $c \in \; ]a,b[ \;$ tal que tanto $\int_{a}^c f(x) \, dx$ como $\int_{c}^b f(x) \, dx$ são convergentes. Caso contrário diz-se que $\int_{a}^b f(x) \, dx$ não existe ou que diverge. No caso de convergência escreve-se também

(10)
\begin{align} \int_{a}^b f(x) \, dx = \int_{a}^c f(x) \, dx + \int_{c}^b f(x) \, dx. \end{align}

Tal como para integrais de 1.ª espécie, é fácil ver, usando a aditividade do integral de Riemann, que se existe um $c \in \; ]a,b[ \;$ com a propriedade acima, então qualquer outro número $c \in \; ]a,b[ \;$ tem a mesma propriedade. E que, qualquer que seja o $c \in ]a,b[$ que se use, a soma no membro direito de (10) dá sempre o mesmo valor, de modo que o valor de $\int_{a}^b f(x) \, dx$ fica realmente bem definido por (10).

Como consequência desta observação tem-se também que

se para algum $c \in ]a,b[$ algum dos integrais impróprios $\int_{a}^c f(x) \, dx$ ou $\int_{c}^b f(x) \, dx$ diverge, então $\int_{a}^b f(x) \, dx$ diverge também.

Notas:

  1. Novamente, não há perigo de confusão entre a notação usada em (9) e a notação homóloga para integral de Riemann, pois no caso de se ter $f : [a,b] \to \mathbb R$ integrável o integral de Riemann de $f$ obedece também à fórmula (10).
  2. Analogamente ao que se fez para integrais de 1.ª espécie, também aqui se pode definir o valor principal de Cauchy de $\, \int_a^b f(x)\, dx \,$ por $\, \lim_{\varepsilon \to 0+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x)\, dx$, no caso de este limite existir e ser finito. Naturalmente, a mera existência do valor principal de Cauchy de um integral impróprio também aqui não garante a convergência desse integral.
  • No caso de $f :\; [a,b] \setminus \{c\} \; \to \mathbb R$ integrável em quaisquer intervalos $[a,\beta]$ e $[\alpha,b]$, com $a < \beta < c < \alpha < b$, e tal que $f$ se torna ilimitada junto a $c$, diz-se que o integral impróprio
(11)
\begin{align} \int_a^b f(x)\, dx \end{align}

existe ou converge se existirem (como integrais impróprios ou integrais de Riemann) $\int_a^c f(x) \, dx$ e $\int_c^b f(x) \, dx$. Caso contrário diz-se que $\int_a^b f(x) \, dx$ não existe ou que diverge. No caso de convergência escreve-se também

(12)
\begin{align} \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx. \end{align}

Nota: Uma vez mais, a notação usada em (11) estende a notação homóloga para integral de Riemann, pois no caso de $f : [a,b] \to \mathbb R$ integrável verifica-se igualmente a identidade (12).

Mas atenção:

  1. $\int_0^3 \frac{1}{x-1} \, dx\,$ diverge, pois $\lim_{\beta \to 1-} \int_0^\beta \frac{1}{x-1} = \lim_{\beta \to 1-} \ln |\beta-1| = -\infty$, e portanto o seguinte cálculo estaria errado: $\int_0^3 \frac{1}{x-1} \, dx = [\ln |x-1|]_0^3 = \ln 2$: de facto, sendo ilimitada em $[0,3]$, a função $\frac{1}{x-1}$ não pode ser integrável nesse intervalo, logo não estão reunidas as condições de aplicabilidade da Fórmula de Barrow1.
  2. Apesar de divergente, observa que possui valor principal de Cauchy, aqui definido através do cálculo de $\lim_{\varepsilon \to 0+} \big( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{1}{x-1}\, dx + \int_{1+\varepsilon}^3 \frac{1}{x-1}\, dx \big)$, pois este último limite existe e é finito, como facilmente se verifica.

Exercícios

  1. Determina a natureza de cada um dos seguintes integrais impróprios e calcula o valor dos que são convergentes:
    1. $\int_3^\infty \frac{1}{(x-2)^{3/2}}\, dx.$
    2. $\int_{-\infty}^0 \frac{1}{3-4x}\, dx.$
    3. $\int_2^\infty e^{-5x}\, dx.$
    4. $\int_0^\infty \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}\, dx.$
    5. $\int_{-\infty}^\infty x\, e^{-x^2}\, dx.$
    6. $\int_1^\infty \frac{\ln x}{x}\, dx.$
    7. $\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x+2}}\, dx.$
    8. $\int_0^3 \frac{1}{x^2-6x+5}\, dx.$
    9. $\int_{-1}^1 f(x)\, dx$, onde $f$ é a função primitivável mas não integrável considerada no final da parte 3 da secção 2.2.
  2. Mostra que o integral impróprio
    $\qquad \displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha}\, dx$
    é convergente se e só se $\, \alpha > 1\,$ e que no caso de convergência o seu valor é $\frac{1}{\alpha-1}$.
  3. Observa que o integral
    $\qquad \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}\, dx$
    é impróprio se e só se $\alpha > 0$. Mostra que esse integral impróprio converge se e só se $0 < \alpha < 1$ e que no caso de convergência o seu valor é $\frac{1}{1 -\alpha}$.

Outros integrais impróprios

Há integrais que podem ser impróprios por o seu intervalo de integração "conter" mais do que um ponto onde a função integranda se torne ilimitada ou por "conter" pelo menos um desses pontos e, em simultâneo, um ou ambos os limites de integração ser infinito. Tais integrais tratam-se subdividindo o intervalo de integração em tantos subintervalos quantos os necessários de modo a que o integral da função em cada um desses subintervalos seja impróprio de 1.ª espécie ou de 2.ª espécie de acordo com as definições dadas acima.

Se o integral impróprio num desses subintervalos for divergente, diz-se que o integral original é divergente, sendo esta conclusão independente da maneira como se fez a subdivisão do intervalo inicial. Se o integral impróprio em cada um desses subintervalos for convergente, diz-se que o integral original é convergente e que o seu valor é a soma dos valores dos integrais impróprios em cada um daqueles subintervalos. Naturalmente, o valor assim obtido é também independente da maneira como se fez a subdivisão do intervalo inicial.


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