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Critério de comparação
Sejam $f,g : [a,b[ \; \to \mathbb R$ integráveis em qualquer intervalo $[a,\beta]$, com $a < \beta < b \in \mathbb R \cup \{ \infty \}$. Sejam $\int_a^b f(x) \, dx$ e $\int_a^b g(x) \, dx$ integrais impróprios (de 1.ª espécie ou de 2.ª espécie, consoante $b$ seja infinito ou não). Suponhamos que $0 \leq f(x) \leq g(x)$, $\forall x \in [a,b[$. Então
$\hspace{1cm}$ se $\displaystyle \int_a^b g(x) \, dx$ é convergente, também $\displaystyle\int_a^b f(x) \, dx$ é convergente.
E, naturalmente,
$\hspace{1cm}$ se $\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$ é divergente, também $\displaystyle\int_a^b g(x) \, dx$ é divergente.
No caso de convergência verifica-se, além do mais, a desigualdade $\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$.
Um correspondente critério de comparação vale também para integrais impróprios em que as funções $f,g$ estão definidas em $]a,b]$ e são integráveis em qualquer intervalo $[\alpha,b]$, com $b > \alpha > a \in \mathbb R \cup \{ -\infty \}$.
Na ligação abaixo faz-se uma prova esquemática deste critério, mas é capaz de ser preferível convenceres-te da sua plausibilidade esboçando a situação e tirando partido da interpretação geométrica do integral.
Exemplo
Observa que, para $x \in [0,1[$,
(4)Então o critério acima conjugado com um dos exemplos da parte anterior garante que o integral impróprio $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx$ converge e que
(5)Exercício I
- Mostra que o integral impróprio $\int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ também é convergente e que, na verdade, $\int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{0}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
Os resultados do Exemplo e do Exercício acima permitem estender por continuidade a $1$ e a $-1$ a definição da função $\arcsin$ considerada na parte 5 da secção 2.2, isto é,
(6)Para estar de acordo com o que classicamente se espera que seja o $\arcsin$, podemos agora definir rigorosamente o número $\pi$ como
(7)o que permite, por exemplo, calcular valores aproximados de $\pi$ usando técnicas de Análise Numérica.
Exercícios II
- Determina a natureza dos seguintes integrais impróprios comparando-os com os integrais impróprios dos exercícios 2 e 3 da parte anterior:
- $\int_0^\infty \frac{x}{x^3+1}\, dx.$
- $\int_1^\infty \frac{2+e^{-x}}{x}\, dx.$
- $\int_0^1 \frac{\sec^2x}{x\sqrt{x}}\, dx.$
- $\int_0^\pi \frac{1+\sin^2x}{\sqrt{x}} \, dx.$
Integrais impróprios absolutamente convergentes
Contrariamente ao que se passa com a integração à Riemann, o facto de um integral impróprio convergir não garante que o integral impróprio do seu módulo convirja. Curiosamente, é precisamente o contrário que é verdadeiro:
Seja $f : [a,b[ \; \to \mathbb R$ integrável em qualquer intervalo $[a,\beta]$, com $a < \beta < b \in \mathbb R \cup \{ \infty \}$. Seja $\int_a^b f(x) \, dx$ integral impróprio (de 1.ª espécie ou de 2.ª espécie, consoante $b$ seja infinito ou não). Então
- $\int_a^b |f(x)| \, dx$ é também um integral impróprio;
- se $\int_a^b |f(x)| \, dx$ convergir, também $\int_a^b f(x) \, dx$ converge e verifica-se a desigualdade triangular
$\qquad \displaystyle \left| \int_a^b f(x)\, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx.$
Omitimos a prova.
Um correspondente resultado vale também para funções $f$ definidas em $]a,b]$ e integráveis em qualquer intervalo $[\alpha,b]$, com $b > \alpha > a \in \mathbb R \cup \{ -\infty \}$.
Um integral impróprio cujo integral do módulo convirja diz-se um integral impróprio absolutamente convergente. Nestes termos, os dois resultados anteriores dizem-nos, em particular, que um integral impróprio absolutamente convergente é convergente.
Exemplo de aplicação
Como $0 \leq \frac{|\sin x|}{x^2} \leq \frac{1}{x^2}$, $\forall x \in [1,\infty[$, com a ajuda do Critério de comparação acima e dos exercícios 2 e 3 da parte anterior podemos afirmar que $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2}\, dx$ converge.
Integrais e CAS
Podes calcular integrais de Riemann ou integrais impróprios convergentes usando um CAS como a WolframAlpha. Por exemplo, no caso dos exercícios acima obterás, no caso de divergência a indicação de que o integral não converge e no caso de convergência o valor exato ou aproximado do integral em cada caso.
O tipo de instrução a usar pode ser — e usando como exemplo a alínea 1.4 acima —
integral of (1+sin^2(x))/(sqrt(x)) from 0 to pi
obtendo-se neste caso a resposta
$\qquad \displaystyle -\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \, (C(2)-6) \approx 4.88466$
e a informação de que $C(x)$ é o integral $C$ de Fresnel. Seguindo a ligação para a definição deste descobrimos que
(8)um integral indefinido. Nada mais explícito aparece porque estamos perante um daqueles casos em que a primitiva não é uma função elementar. Apesar de tudo, como se vê pela resposta acima, é-nos dado também um valor aproximado para o integral em causa. Em alternativa à possibilidade de obter tais valores através de técnicas de Análise Numérica baseadas na interpretação geométrica do integral, em Cálculo II veremos como fazê-lo através de integração termo a termo de séries de potências que representem as funções integrandas.
Experimenta integrar as funções listadas no final da parte 4 da secção 2.1 (as quais, tal como aí referido, são exemplos de funções cujas primitivas não são funções elementares) e verás aparecer nas respostas mais funções estranhas.
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Comentários:
Boa tarde,
No exercicio 4 porque se podem fazer aquelas duas mudanças?
nao consigo clickar no ponto de exclamação.
Obrigado
Olá,
As notas informativas (que deveriam mostrar a informação simplesmente ao colocares o ponteiro sobre elas) neste caso não te ajudam muito, pois pedem precisamente para o leitor justificar essas passagens.
Como se trata de algo que se poderá aplicar em várias situações análogas, aqui vai uma explicação, onde pressuponho que sabes a definição de integral impróprio a aplicar neste caso (cf. parte anterior):
Justificação da 1.ª afirmação sobre naturezas iguais:
(1)Assim, se o último limite existir finito o mesmo acontece ao primeiro. E vice-versa (argumentando de modo análogo, começando agora com $\int_0^1 \frac{1+\sin^2x}{\sqrt{x}} \, dx$).
Deixo por tua conta a justificação das passagens feitas acima.
Justificação da 2.ª afirmação sobre naturezas iguais:
(2)Assim, se o último limite existir finito o mesmo acontece ao primeiro. E vice-versa (argumentando de modo análogo, começando agora com $\int_0^1 \frac{1}{x^{1/2}} \, dx$).
Novamente, deixo por tua conta a justificação das passagens feitas acima.
Muito obrigado, ajudou bastante.
Boas Festas,
João Simões
Obrigado. Boas entradas no Novo Ano também!
AC