Folha de exercícios do Cap. 3
O que há de novo?
Matéria
Cálculo I - agr. 1
1 Complementos funções reais de variável real
2 Primitivas e integrais
3 Séries numéricas
A matéria que se segue já não pertence a Cálculo I
Cálculo II
(desde 08/11/2015)
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Comentários:
Boa tarde professor,
Qual é a transformada de Laplace de f(t)=e^(t+2) ?
Estive a discutir com vários colegas meus e temos opiniões diferentes.
Obrigado.
Hugo Verde
Olá Hugo,
Não será difícil fazer pela definição, mas o mais simples é tirar partido da linearidade da transformada de Laplace e usar algo tabelado. Assim,
(1)para $s>1$.
eu consegui reduzir a funcão do exercício 2c) para 1/(s-1)(s+2) mas não consigo fazer a transformada inversa… podia esclarecer a sua resolução?
Cumprimentos.
Agora basta decompor em frações simples (como se fazia na primitivação de funções racionais) e usar a tabela…
AC
P.S.: Atenção à escrita matemática: em rigor, 1/(s-1)(s+2) significa (s+2)/(s-1) (divisões e multiplicações têm prioridade igual, de modo que faz-se primeiro a que aparecer primeiro, da esquerda para a direita), mas suponho que o querias dizer era $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$.
Professor, este exercício (2.c) poderia ser resolvido recorrendo ao processo de "completar o quadrado" e multiplicando e dividindo? Usando depois a transformada do senh:
(1)Dando resultado a:
(2)Embora a resolução proposta na folha de soluções seja mais simples, esta será igualmente válida?
Obrigado
À parte o facto de te teres enganado a somar $-\frac{1}{4}$ com $-2$, esse processo está correto também e daria, corretamente executado,
(1)expressão que, usando a definição do seno hiperbólico, se pode ver que é equivalente à que está na folha de soluções.
AC
Agradeço o esclarecimento professor.
Boa tarde professor,
no exercicio 6 como se resolve? visto que no denominador vai ficar S^3
Muito obrigado,
João Simões
Olá,
Para calcular transformadas inversas de Laplace de frações, nunca faças as multiplicações em denominador. A ideia é precisamente ao contrário: fatoriza o mais que possas e depois utiliza o processo de decomposição em frações simples dado a propósito da primitivação de funções racionais. Dessa maneira, usando a linearidade, vais poder usar a tabela.
No caso presente existe a complicação adicional de o polinómio de 2.º grau em denominador já não se poder fatorizar mais. A ideia é então, tal como no caso da primitivação de funções racionais, na fração simples correspondente dar uma forma diferente a tal polinómio, de modo a que se possa usar a tabela.
Assim em abstrato não te consigo explicar mais, a não ser dizer que, para o polinómio de 2.º grau em causa a forma adequada em que deve ser transformado é (usando, por exemplo, o processo de completar o quadrado) $(s+1)^2+4$.
AC
Boa noite, tinha mais uma dúvida, desta vez em relação ao exercício 1.e)
não entendo de onde vem o "6s" nas soluções, consegui ver que: 3t*sen(t) corresponde à "função" t^n*f(t), mas na minha resolução isso daria apenas -3/s²+1… pode-me dizer porque não é?
Podia também explicar a resolução do exercício 1.g)?
Cumprimentos.
Olá,
1.(e):
Não é só o $6s$ (e o sinal): o $(s^2+1)$ também aparece elevado a 2. Na parte que percebeste (!) estás a usar a linha 12 da tabela, mas então a tabela manda-te derivar a transformada de $\sin t$. É aí que aparece o que te parece estar a mais.
1.(g):
Começa por usar a linha 10 da tabela (é a única envolvendo a função de Heaviside $H_a(t) := H(t-a)$). Depois tens à escolha: ou usas, como atrás, a linha 12 (e a linha 2) da tabela (desta vez tendo que derivar duas vezes uma transformada de Laplace) ou usas a linha 9 (e a linha 1), nesse caso não sendo necessário derivar.
AC
Bom dia professor enquanto estudava encontrei um exercicio que pedia a seguinte transformada inversa:
L^(-1){(3/s^2)-(s+2)/(2s^2+2s+5)};
o resultado que obtive: 3t - L^(-1){s/(2s^2+2s+5)} - L^(-1){2/(2s^2+2s+5)} (não sei se a maneira mais correcta seria separar a segunda parte [(s+2)/(2s^2+2s+5)] ).
Qual a melhor maneira para resolver?
Cumprimetos, Flávio Videira
Boa tarde,
Vê o post http://calculo.wikidot.com/cii:folha1/comments/show?from=email#post-2001870 nestes comentários à folha 3, para um problema semelhante (referente ao ex. 6 dessa folha).
No caso presente, o processo indicado permite escrever o polinómio $2s^2+2s+5$ na forma $2[(s+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}]$. A partir daqui, vê a resolução da questão 3 do 1.º teste [de 2013/14], que te poderá dar ideias de como prosseguir.
Boa tarde professor,
Não consegui chegar à solução proposta para o exercício 2d), pelo que lhe solicito ajuda.
Cumprimentos, Bernardo Matos
Boa tarde,
Terás que ser mais explícito, relativamente à dificuldade que sentes. Como indicação genérica posso remeter-te para a resposta ao post anterior nesta linha (http://calculo.wikidot.com/cii:folha1/comments/show?from=email#post-2059504), já que algumas das ideias aplicam-se aqui também.
AC
Boa noite,
Professor poderia mandar a resolução da 1 f)? nao estou a conseguir fazer. Obrigado
Boa noite,
Estou a imaginar que a dificuldade está em lidar com o termo
(1)Há com certeza mais do que uma maneira de resolver esta dificuldade, mas vou usar a que me parece mais natural (embora possa não ser a mais direta):
Referindo-me à tabela do ano letivo 2013/14, a única linha que consigo usar aqui é a n.º 10, mas mesmo assim preciso de ter uma translação de $-\pi$ dentro do seno. Tal como em muitas outras situações, quando não existe cria-se, desde que se compense devidamente, de modo a não se alterar o valor da expressão. No presente caso fico com
(2)Aplicando a referida linha da tabela, a transformada de Laplace desta parte é então
(3)Falta calcular a transformada de Laplace indicada. Para o efeito usa-se uma fórmula trigonométrica que seja adequada, de modo a reduzir $\sin(t+\pi)$ a uma das funções que aparece na tabela. Neste caso vamos ter $\sin(t+\pi)=-\sin t$. Penso que o resto é simples…
AC
Será que o professor me poderia explicar como resolver o Ex5-b)…
Estou completamente encalhado, ando aqui ás voltas e nada…
Tens que ser mais explícito, pois há mais do que um passo da resolução onde poderás sentir dificuldade. Se não sabes sequer como começar, lê o que escrevi no post http://calculo.wikidot.com/cii:folha1/comments/show?from=email#post-2001870 nestes comentários à folha 3, para um problema semelhante (referente ao ex. 6 dessa folha).
A minha dúvida é se a imagem que posto a seguir não seria uma forma alternativa de apresentar a resposta.
Agradeço desde já a atenção dispensada!
SA
HP
Boa tarde Hugo,
A forma apresentada não é aceitável, pois há contas por fazer: as duas convoluções indicadas devem ser calculadas. Depois disso feito poder-se-á averiguar se a resposta obtida estará correta (neste momento não faço ideia).
AC
Boa tarde professor,
Pode me ajudar com o ex 7 D) não consigo perceber nem onde nem quando é que devo fazer a mudança de variável.
Obrigada pela atenção disponibilizada,
Maria João
Olá,
É apenas uma sugestão. Podes optar por aplicar logo transformadas de Laplace e não fazer nenhuma mudança de variável, mas nesse caso terás que trabalhar durante grande parte da resolução com y(0) e y'(0) sem saberes os seus valores, pois estes não são dados.
Se optares pela mudança de variável, deves fazê-la logo no início, escrevendo a EDO e as condições iniciais em termos da relação entre a variável dependente $y$ e a nova variável independente $x$, em vez de ser em termos da variável dependente $y$ e da velha variável independente $t$. Se a primeira relação for $y=f(t)$, a segunda relação será $y=f(x+\pi)=:g(x)$. Assim, em vez de
(1)em termos de $g(x)$ o PVI ficará (tirando partido da regra da cadeia e do facto de $\frac{dt}{dx}$ ser igual a 1)
(2)Se achares isto muito confuso, é melhor resolveres como explicado no 1.º parágrafo acima.