Folha de exercícios do Cap. 3

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Comentários:

Transformada de Laplace

Hugo Verde 11 Mar 2014 12:34

Boa tarde professor,
Qual é a transformada de Laplace de f(t)=e^(t+2) ?
Estive a discutir com vários colegas meus e temos opiniões diferentes.
Obrigado.
Hugo Verde

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Re: Transformada de Laplace

amcaetano 12 Mar 2014 01:07

Olá Hugo,

Não será difícil fazer pela definição, mas o mais simples é tirar partido da linearidade da transformada de Laplace e usar algo tabelado. Assim,

(1)

\begin{align} {\cal L}\{e^{t+2}\}(s) = {\cal L}\{e^2 e^{t}\}(s) = e^2 {\cal L}\{e^{t}\}(s) = \frac{e^2}{s-1} \end{align}

para $s>1$.

exercício 2

cgoncalvs 27 Mar 2014 17:45

eu consegui reduzir a funcão do exercício 2c) para 1/(s-1)(s+2) mas não consigo fazer a transformada inversa… podia esclarecer a sua resolução?

Cumprimentos.

Re: exercício 2

amcaetano 28 Mar 2014 00:08

Agora basta decompor em frações simples (como se fazia na primitivação de funções racionais) e usar a tabela…

AC

P.S.: Atenção à escrita matemática: em rigor, 1/(s-1)(s+2) significa (s+2)/(s-1) (divisões e multiplicações têm prioridade igual, de modo que faz-se primeiro a que aparecer primeiro, da esquerda para a direita), mas suponho que o querias dizer era $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$.

Re: exercício 2

lm2s 24 Jun 2015 12:08

Professor, este exercício (2.c) poderia ser resolvido recorrendo ao processo de "completar o quadrado" e multiplicando e dividindo? Usando depois a transformada do senh:

(1)

\begin{align} \frac{1}{s^2+s-2} = \frac{1}{s^2+s+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-2} = \frac{1}{(s+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}} = \frac{1}{(s+\frac{1}{2})^2-(\sqrt{\frac{5}{4}})^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}}\frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{(s+\frac{1}{2})^2-(\sqrt{\frac{5}{4}})^2} \end{align}

Dando resultado a:

(2)

\begin{align} \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}}senh(\sqrt{\frac{5}{4}}t)e^\frac{-1t}{2} \end{align}

Embora a resolução proposta na folha de soluções seja mais simples, esta será igualmente válida?

Obrigado

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Re: exercício 2

amcaetano 26 Jun 2015 00:10

À parte o facto de te teres enganado a somar $-\frac{1}{4}$ com $-2$, esse processo está correto também e daria, corretamente executado,

(1)

\begin{align} \frac{2}{3} \sinh (\frac{3}{2}t) e^{-\frac{t}{2}}, \end{align}

expressão que, usando a definição do seno hiperbólico, se pode ver que é equivalente à que está na folha de soluções.

AC

Re: exercício 2

lm2s 29 Jun 2015 13:12

Agradeço o esclarecimento professor.

ex. 6

Contrition 30 Mar 2014 17:21

Boa tarde professor,
no exercicio 6 como se resolve? visto que no denominador vai ficar S^3

Muito obrigado,
João Simões

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Re: ex. 6

amcaetano 30 Mar 2014 20:03

Olá,

Para calcular transformadas inversas de Laplace de frações, nunca faças as multiplicações em denominador. A ideia é precisamente ao contrário: fatoriza o mais que possas e depois utiliza o processo de decomposição em frações simples dado a propósito da primitivação de funções racionais. Dessa maneira, usando a linearidade, vais poder usar a tabela.

No caso presente existe a complicação adicional de o polinómio de 2.º grau em denominador já não se poder fatorizar mais. A ideia é então, tal como no caso da primitivação de funções racionais, na fração simples correspondente dar uma forma diferente a tal polinómio, de modo a que se possa usar a tabela.

Assim em abstrato não te consigo explicar mais, a não ser dizer que, para o polinómio de 2.º grau em causa a forma adequada em que deve ser transformado é (usando, por exemplo, o processo de completar o quadrado) $(s+1)^2+4$.

AC

ex. 1.(e) e 1.(g)

cgoncalvs 31 Mar 2014 23:42

Boa noite, tinha mais uma dúvida, desta vez em relação ao exercício 1.e)
não entendo de onde vem o "6s" nas soluções, consegui ver que: 3t*sen(t) corresponde à "função" t^n*f(t), mas na minha resolução isso daria apenas -3/s²+1… pode-me dizer porque não é?

Podia também explicar a resolução do exercício 1.g)?

Cumprimentos.

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Re: ex. 1.(e) e 1.(g)

amcaetano 01 Apr 2014 00:43

Olá,

1.(e):

Não é só o $6s$ (e o sinal): o $(s^2+1)$ também aparece elevado a 2. Na parte que percebeste (!) estás a usar a linha 12 da tabela, mas então a tabela manda-te derivar a transformada de $\sin t$. É aí que aparece o que te parece estar a mais.

1.(g):

Começa por usar a linha 10 da tabela (é a única envolvendo a função de Heaviside $H_a(t) := H(t-a)$). Depois tens à escolha: ou usas, como atrás, a linha 12 (e a linha 2) da tabela (desta vez tendo que derivar duas vezes uma transformada de Laplace) ou usas a linha 9 (e a linha 1), nesse caso não sendo necessário derivar.

AC

Transformada inversa

Flavio Videira 27 Jun 2014 11:22

Bom dia professor enquanto estudava encontrei um exercicio que pedia a seguinte transformada inversa:
L^(-1){(3/s^2)-(s+2)/(2s^2+2s+5)};

o resultado que obtive: 3t - L^(-1){s/(2s^2+2s+5)} - L^(-1){2/(2s^2+2s+5)} (não sei se a maneira mais correcta seria separar a segunda parte [(s+2)/(2s^2+2s+5)] ).

Qual a melhor maneira para resolver?

Cumprimetos, Flávio Videira

Re: Transformada inversa

amcaetano 27 Jun 2014 12:54

Boa tarde,

Vê o post http://calculo.wikidot.com/cii:folha1/comments/show?from=email#post-2001870 nestes comentários à folha 3, para um problema semelhante (referente ao ex. 6 dessa folha).

No caso presente, o processo indicado permite escrever o polinómio $2s^2+2s+5$ na forma $2[(s+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}]$. A partir daqui, vê a resolução da questão 3 do 1.º teste [de 2013/14], que te poderá dar ideias de como prosseguir.

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Ex 2 d)

Bernardo Matos 11 Mar 2015 18:27

Boa tarde professor,
Não consegui chegar à solução proposta para o exercício 2d), pelo que lhe solicito ajuda.
Cumprimentos, Bernardo Matos

Re: Ex 2 d)

amcaetano 11 Mar 2015 19:01

Boa tarde,

Terás que ser mais explícito, relativamente à dificuldade que sentes. Como indicação genérica posso remeter-te para a resposta ao post anterior nesta linha (http://calculo.wikidot.com/cii:folha1/comments/show?from=email#post-2059504), já que algumas das ideias aplicam-se aqui também.

AC

EX 1 f)

Julio Fontes 31 Mar 2015 19:39

Boa noite,
Professor poderia mandar a resolução da 1 f)? nao estou a conseguir fazer. Obrigado

Re: EX 1 f)

amcaetano 01 Apr 2015 01:41

Boa noite,

Estou a imaginar que a dificuldade está em lidar com o termo

(1)

\begin{align} H_\pi(t) \sin t. \end{align}

Há com certeza mais do que uma maneira de resolver esta dificuldade, mas vou usar a que me parece mais natural (embora possa não ser a mais direta):

Referindo-me à tabela do ano letivo 2013/14, a única linha que consigo usar aqui é a n.º 10, mas mesmo assim preciso de ter uma translação de $-\pi$ dentro do seno. Tal como em muitas outras situações, quando não existe cria-se, desde que se compense devidamente, de modo a não se alterar o valor da expressão. No presente caso fico com

(2)

\begin{align} H_{\pi}(t)\sin((t-\pi)+\pi). \end{align}

Aplicando a referida linha da tabela, a transformada de Laplace desta parte é então

(3)

\begin{align} e^{-\pi s}{\cal L}\{\sin(t+\pi)\}(s). \end{align}

Falta calcular a transformada de Laplace indicada. Para o efeito usa-se uma fórmula trigonométrica que seja adequada, de modo a reduzir $\sin(t+\pi)$ a uma das funções que aparece na tabela. Neste caso vamos ter $\sin(t+\pi)=-\sin t$. Penso que o resto é simples…

AC

Ex5-b)

Hugo Pintor 01 Apr 2015 14:39

Será que o professor me poderia explicar como resolver o Ex5-b)…
Estou completamente encalhado, ando aqui ás voltas e nada…

Re: Ex5-b)

amcaetano 01 Apr 2015 23:11

Tens que ser mais explícito, pois há mais do que um passo da resolução onde poderás sentir dificuldade. Se não sabes sequer como começar, lê o que escrevi no post http://calculo.wikidot.com/cii:folha1/comments/show?from=email#post-2001870 nestes comentários à folha 3, para um problema semelhante (referente ao ex. 6 dessa folha).

Last edited on 01 Apr 2017 15:43 by amcaetano Show more

Ex.4

Hugo Pintor 09 Mar 2016 20:57

Boa noite professor!
A minha dúvida é se a imagem que posto a seguir não seria uma forma alternativa de apresentar a resposta.

Agradeço desde já a atenção dispensada!
SA
HP

Re: Ex.4

amcaetano 11 Mar 2016 14:27

Boa tarde Hugo,

A forma apresentada não é aceitável, pois há contas por fazer: as duas convoluções indicadas devem ser calculadas. Depois disso feito poder-se-á averiguar se a resposta obtida estará correta (neste momento não faço ideia).

AC

Exercício 7 d)

Maria Joao 19 Jun 2017 15:04

Boa tarde professor,

Pode me ajudar com o ex 7 D) não consigo perceber nem onde nem quando é que devo fazer a mudança de variável.

Obrigada pela atenção disponibilizada,
Maria João

Re: Exercício 7 d)

amcaetano 20 Jun 2017 01:04

Olá,

É apenas uma sugestão. Podes optar por aplicar logo transformadas de Laplace e não fazer nenhuma mudança de variável, mas nesse caso terás que trabalhar durante grande parte da resolução com y(0) e y'(0) sem saberes os seus valores, pois estes não são dados.

Se optares pela mudança de variável, deves fazê-la logo no início, escrevendo a EDO e as condições iniciais em termos da relação entre a variável dependente $y$ e a nova variável independente $x$, em vez de ser em termos da variável dependente $y$ e da velha variável independente $t$. Se a primeira relação for $y=f(t)$, a segunda relação será $y=f(x+\pi)=:g(x)$. Assim, em vez de

(1)

\begin{align} f''(t)+f(t)=t^2+1, \quad f(\pi)=\pi^2, \quad f'(\pi)=2\pi, \end{align}

em termos de $g(x)$ o PVI ficará (tirando partido da regra da cadeia e do facto de $\frac{dt}{dx}$ ser igual a 1)

(2)

\begin{align} g''(x)+g(x)=(x+\pi)^2+1, \quad g(0)=\pi^2, \quad g'(0)=2\pi. \end{align}

Se achares isto muito confuso, é melhor resolveres como explicado no 1.º parágrafo acima.

Last edited on 20 Jun 2017 01:05 by amcaetano Show more