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Comentários:
Boa noite, o professor poderia explicar-me qual a resolução do exercício 10?
Obrigada.
Olá,
Muito sumariamente (deixo os detalhes para completares), a fórmula de Taylor de ordem 1 da função $\ln(1+x)$ no ponto 0 é, na forma com o resto de Lagrange,
(1)para $\theta$ entre 0 e $x$, sendo válida para qualquer $x > -1$ (onde $\ln(1+x)$ tem derivadas contínuas de todas as ordens).
A conclusão segue agora imediatamente do facto de $\displaystyle \;- \frac{1}{2(1+\theta)^2}x^2\;$ ser menor que ou igual a 0.
AC
Boa tarde professor,
Resolvi o exercício 6 desenvolvendo o módulo do Resto de Lagrange (através do polinómio de Taylor de ordem 5 centrado em pi) e obtive
|-sin(teta) * ( (3-pi)^6 / 6! ) |
Nas soluções o majorante do erro é ( (3-pi)^6 / 6! ).
Podia-me explicar o porquê de o sin(teta) ser 1?
Olá,
Repara que se pede um majorante, e não o valor exato.
O valor exato é difícil de obter porque o que sabemos sobre $\theta$ neste caso é apenas que está entre 3 e $\pi$. Portanto não sabemos se $|\!-\sin \theta\,|$ está mais para o lado de $|\!-\sin \pi\,|$, que é 0, ou mais para o lado de $|\!-\sin 3\,|$, que será um pouco maior do que zero.
No entanto, como sabemos que os valores do seno não saem do intervalo $[-1,1]$, então podemos garantir que $|\!-\sin \theta\,| \leq 1$. Deste modo obtém-se o majorante que está na solução, tendo-se, em particular, eliminado a incerteza que advinha do $\theta$.
AC
Bom dia, professor!
Podia-me dizer como vejo os pontos onde a convergência é simples e absoluta? Eu já estive a ler essa parte da matéria, mas não consigo perceber muito bem… No exercício 1, na alínea a), por exemplo, eu cheguei ao intervalo de -1 a 1 e substitui depois os valores de x por 1 e por -1, para ver se nesses pontos o intervalo seria aberto ou fechado, tendo ficado com o domínio ] -1, 1 [.
Mas não consigo perceber a segunda parte do exercício, que é dizer os pontos onde a convergência é simples ou absoluta…
Aguardo resposta.
Boa noite Miguel,
A convergência absoluta é a convergência da série dos módulos, que acarreta a convergência da própria série. A convergência simples é quando a última ocorre mas a primeira não.
No caso das séries de potências (como nas várias alíneas da questão 1), o Teorema 4.2 (p. 64) do Texto de Apoio diz-nos o que se sabe em geral sobre esses tipos de convergência. Se o leres verás que no caso das séries de potências só será necessário esclarecer o que se passa a esse respeito nos extremos do intervalo de convergência.
AC