Folha de exercícios do Cap. 5 - parte 2

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Podes também querer explorar relações entre funções e somas parciais das suas séries de Fourier de diferentes ordens em vários pontos na seguinte interface da WolframAlpha:

Poderá saltar-te à vista, no caso das duas primeiras funções na interface acima, que as aproximações da função pelas somas parciais da respetiva série de Fourier junto a pontos de descontinuidade são más mesmo para ordens relativamente elevadas. Pode-se acrescentar como informação que por mais que se aumente a ordem das somas parciais há sempre pontos na vizinhança das descontinuidades para os quais a situação não melhora. Trata-se de uma manifestação da ausência de convergência uniforme da série, que toma aqui a designação de fenómeno de Gibbs.

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Comentários:

ex. 3(d)

Joana Conde 11 Jun 2014 08:46

Bom Dia,

No exercício 3 na alinea (d) para justificar a igualdade apresentada, é necessário determinar a série de Fourier de (x³ - pi² x) / 3 ? E mostrar que a soma da série coincide com a sua própria função, neste caso, (x³ - pi² x) / 3 ?

Atentamente,
Joana Conde

Last edited on 11 Jun 2014 16:59 by amcaetano Show more

Re: ex. 3(d)

amcaetano 11 Jun 2014 17:19

Olá Joana,

No exercício 3 na alinea (d) para justificar a igualdade apresentada, é necessário determinar a série de Fourier de (x³ - pi² x) / 3 ?

Não é preciso:

Observa que $\frac{x^3-\pi^2x}{3}$ é uma primitiva de $x^2-\frac{\pi^2}{3}$, a qual se obtém de (c) passando o 1.º termo no 2.º membro para o 1.º membro. Ora, primitivas de funções contínuas (o que é o caso) podem calcular-se através de integrais. Como é a primitiva que se anula em zero, então

(1)

\begin{align} \frac{x^3-\pi^2x}{3} = \int_0^x t^2-\frac{\pi^2}{3}\, dt \end{align}

(aliás, como podes verificar diretamente fazendo os cálculos — apenas não o fiz logo para te explicar o raciocínio, que poderá ser usado em situações mais gerais).

Como as alíneas (a), (b) e (c) garantem que a convergência da série em (c) é uniforme, a integração da mesma pode fazer-se termo a termo. Assim, aplicando $\int_0^x$ à igualdade em (c) e fazendo as contas obtém-se a igualdade em (d).

AC

Last edited on 29 Apr 2017 15:53 by amcaetano Show more

Joana Conde 11 Jun 2014 19:02

Obrigado pelo esclarecimento.
Já entendi.

Atentamente,
Joana Conde

Ex 2

Andreia Figueiredo 21 Jun 2017 09:04

Boa dia,
Estou com dúvidas no exercício 2. Ao calcular as série de Fourie de senos deu-me zero, o que não me permite representa-la graficamente conforme mostra as soluções.

Re: Ex 2

amcaetano 21 Jun 2017 11:20

Olá Andreia,

Provavelmente o que fizeste foi calcular

(1)

\begin{align} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi 2 \sin(nx)\, dx, \end{align}

e isso de facto dá zero. No entanto o que se pede não é esse cálculo: como a função nos é dada apenas em $[0,\pi]$, que tem apenas amplitude $\pi$, e não $2\pi$, quando nos pedem a série de Fourier de senos numa tal situação o que nos estão a pedir é que comecemos por estender a função ao intervalo $[-\pi,\pi]$ de modo a que seja ímpar, e só depois é que devemos calcular os coeficientes da série de Fourier (desta nova função). Neste exercício em particular, os coeficientes do tipo $b_n$ da série de Fourier de senos da função dada serão então calculados pela expressão

(2)

\begin{align} \frac{1}{\pi}\Big( \int_{-\pi}^0 -2 \sin(nx)\, dx + \int_{0}^\pi 2 \sin(nx)\, dx\Big), \end{align}

ou, dado que $\sin(nx)$ também é ímpar, por

(3)

\begin{align} \frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi 2 \sin(nx)\, dx. \end{align}

O cálculo da série de Fourier de cossenos da função inicial, que também é pedido no enunciado, deve ter-te corrido bem porque sem teres consciência disso terás calculado a série de Fourier da extensão par da função dada.

AC