Cap. 2 - parte 1 - Resumo alargado

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A matéria do Texto de Apoio abaixo que corresponde à considerada nesta parte 1 do Capítulo 2 é a que consta desde a página 6, inicialmente exibida, até à página 31.

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Comentários:

Algumas observações ao texto acima

amcaetano 14 Feb 2014 20:26

Integrais gerais e soluções singulares

Existe alguma imprecisão de linguagem no texto acima no uso da expressão "integral geral": escreve-se algumas vezes "o integral geral", onde a utilização do artigo definido "o", em vez do artigo indefinido "um", pode levar a pensar-se que a EDO em causa tem obrigatoriamente apenas um integral geral. Ora isto não é necessariamente verdade. Por exemplo,

(1)

\begin{align} y=x+C \quad \mbox{ e } \quad y=-x+C \end{align}

são dois integrais gerais da EDO

(2)

\begin{equation} (y')^2=1 \end{equation}

e nenhuma solução particular de um é solução particular do outro.

Esta constatação remete-nos para a necessidade, quando se fala em "solução singular", de se dizer relativamente a que integral geral é que uma solução é singular. No exemplo acima, cada uma das soluções particulares contidas num dos integrais gerais é uma solução singular relativamente ao outro.

Um outro exemplo onde o fenómeno acima, e algo ainda mais curioso, ocorre é o da EDO

(3)

\begin{equation} xy'=4y. \end{equation}

Neste caso um processo de separação de variáveis leva-nos facilmente ao integral geral

(4)

\begin{equation} y=Cx^4. \end{equation}

É no entanto também fácil exibir uma infinidade de soluções singulares relativamente a este integral geral: para cada $C \not= 0$ obtém-se uma definindo-a por ramos por

(5)

\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} -Cx^4 & \mbox{ se }\, x<0 \\ Cx^4 & \mbox{ se }\, x\geq 0 \end{array} \right.. \end{align}

De um modo geral, e para evitarmos complicações técnicas, nos exercícios pediremos muitas vezes somente a determinação de um integral geral para cada EDO dada. Mesmo quando se pede para resolver uma EDO estaremos muitas vezes a pensar somente na determinação de um possível integral geral. Os exemplos acima pretendem, no entanto, chamar a atenção para a possibilidade de desse modo se estarem a excluir soluções, de modo que algum cuidado adicional deve ser tido quando realmente se pretendem todas as possíveis soluções de uma dada EDO. Mesmo a WolframAlpha não consegue detetar as soluções (5) para a EDO (3), como podes facilmente verificar.

Last edited on 04 Mar 2017 23:56 by amcaetano Show more