Cap. 2 - parte 2 - Resumo alargado

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A matéria do Texto de Apoio abaixo que corresponde à considerada nesta parte 2 do Capítulo 2 é a que consta desde a página 32, inicialmente exibida, até à página 47.

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Comentários:

Algumas observações ao texto acima

amcaetano 01 Mar 2014 21:21

2.º, 3.º e 4.º casos nas páginas 43 a 45

Para o caso de o texto não ser completamente claro, as funções que se destacam em cada um desses casos são a contribuição da raiz em causa para a construção do conjunto fundamental de soluções da EDO linear homogénea em causa. E no caso de uma raiz múltipla consideram-se apenas para uma das ocorrências da raiz (ou seja, o facto de uma raiz múltipla se contar várias vezes quando se refere que um polinómio de grau $n$ tem $n$ raízes não tem aqui nenhum efeito).

A propósito da nota de rodapé 22 na página 44

No caso de $\alpha + i \beta$, com $\alpha, \beta \in \mathbb R$, ser uma raiz complexa da equação característica de uma dada EDO linear homogénea de coeficientes constantes, verifica-se que a função

(1)

\begin{align} e^{\alpha x} (\cos(\beta x) + i \sin(\beta x)), \quad \mbox{também designada por }\, e^{\alpha x} {\rm cis}(\beta x), \end{align}

é uma solução complexa dessa EDO: de facto, definindo derivada de uma função com valores complexos como a soma da derivada da parte real com o produto de $i$ pela derivada da parte imaginária, um cálculo simples leva-nos à igualdade

(2)

\begin{align} \frac{d}{dx} \big( e^{\alpha x} {\rm cis}(\beta x) \big) = (\alpha + i \beta) \big( e^{\alpha x} {\rm cis}(\beta x) \big), \end{align}

e daqui sai a conclusão acima tal como no caso das funções exponenciais $e^{rx}$ quando $r$ é raiz real da equação característica.

Naturalmente, devido ao modo como a derivada de uma função complexa foi definida, também as partes real e imaginária da função em (1) acima são soluções (reais) da EDO em causa.

A alusão a exponenciais complexas feita na nota de rodapé pode entender-se por uma questão de analogia com exponenciais reais: uma propriedade de derivação como (2) é bem conhecida para exponenciais reais de base $e$, e desse ponto de vista é razoável definir-se $e^{(\alpha + i \beta)x}$ como $e^{\alpha x} {\rm cis}(\beta x)$, de onde sai em particular a mencionada fórmula de Euler. Mais à frente, quando tivermos alguma experiência com séries de potências, ver-se-á uma justificação mais clara para essa fórmula.

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Errata do resumo alargado do Cap. 2 - parte 2

amcaetano 01 Mar 2014 21:47

p. 36

• No que diz respeito ao que está entre parênteses imediatamente antes do Exemplo 2.30, o que se pretende dizer relativamente a funções do tipo de potência e exponencial é que pares de funções do tipo $x^k e^{\alpha x}$ são linearmente independentes desde que os correspondentes $k$ ou os correspondentes $\alpha$ sejam diferentes.

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