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2.º, 3.º e 4.º casos nas páginas 43 a 45
Para o caso de o texto não ser completamente claro, as funções que se destacam em cada um desses casos são a contribuição da raiz em causa para a construção do conjunto fundamental de soluções da EDO linear homogénea em causa. E no caso de uma raiz múltipla consideram-se apenas para uma das ocorrências da raiz (ou seja, o facto de uma raiz múltipla se contar várias vezes quando se refere que um polinómio de grau $n$ tem $n$ raízes não tem aqui nenhum efeito).
A propósito da nota de rodapé 22 na página 44
No caso de $\alpha + i \beta$, com $\alpha, \beta \in \mathbb R$, ser uma raiz complexa da equação característica de uma dada EDO linear homogénea de coeficientes constantes, verifica-se que a função
(1)é uma solução complexa dessa EDO: de facto, definindo derivada de uma função com valores complexos como a soma da derivada da parte real com o produto de $i$ pela derivada da parte imaginária, um cálculo simples leva-nos à igualdade
(2)e daqui sai a conclusão acima tal como no caso das funções exponenciais $e^{rx}$ quando $r$ é raiz real da equação característica.
Naturalmente, devido ao modo como a derivada de uma função complexa foi definida, também as partes real e imaginária da função em (1) acima são soluções (reais) da EDO em causa.
A alusão a exponenciais complexas feita na nota de rodapé pode entender-se por uma questão de analogia com exponenciais reais: uma propriedade de derivação como (2) é bem conhecida para exponenciais reais de base $e$, e desse ponto de vista é razoável definir-se $e^{(\alpha + i \beta)x}$ como $e^{\alpha x} {\rm cis}(\beta x)$, de onde sai em particular a mencionada fórmula de Euler. Mais à frente, quando tivermos alguma experiência com séries de potências, ver-se-á uma justificação mais clara para essa fórmula.
p. 36