Cap. 3 - Resumo alargado

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Comentários:

Algumas observações ao texto acima

amcaetano 29 Mar 2014 20:28

Sobre a subsecção 3.6.1

Não será considerada.

Sobre comutatividade e associatividade dos termos de uma série

É necessário algum cuidado quando se pretende trocar a ordem dos termos de uma série ou associá-los. Por exemplo, embora a série

(1)

\begin{align} 1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots \end{align}

seja divergente, a série

(2)

\begin{align} (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots \end{align}

converge para zero, a série

(3)

\begin{align} 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots \end{align}

converge para 1, e se trocarmos, na série original, o 2.º e 3.º termos entre si, o 4.º e o 5.º termos entre si, o 6.º e o 7.º termos entre si, etc. e associarmos depois aos pares consecutivamente obtemos

(4)

\begin{align} (1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots, \end{align}

que converge para 2.

Não é muito difícil, no entanto, provar os dois seguintes resultados:

Associatividade restrita de séries

Se $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge então de qualquer modo que associemos termos consecutivos em número finito obtemos sempre uma série convergente para a mesma soma.

Associatividade de séries de termos não negativos

Se $a_n \geq 0, \; \forall n \in \mathbb N$, e a partir de $\sum_{n=1}^\infty a_n$ conseguimos formar uma série convergente por associação de termos consecutivos (em número finito) de $\sum_{n=1}^\infty a_n$, então $\sum_{n=1}^\infty a_n$ é também convergente para a mesma soma.

Em particular, no caso de uma série convergente o problema da associatividade fica resolvido. É, no entanto, possível provar que mesmo para séries convergentes nalguns casos a troca da ordem dos seus termos pode originar séries com somas totalmente diferentes.

Para séries de termos não negativos (e também para séries absolutamente convergentes) é possível provar que a troca da ordem dos seus termos não altera a natureza das séries assim obtidas, nem a soma no caso de convergência.

Last edited on 20 Mar 2015 00:08 by amcaetano Show more