Cap. 3 - Resumo alargado
1 Complementos funções reais de variável real
2 Primitivas e integrais
3 Séries numéricas
A matéria que se segue já não pertence a Cálculo I
1 Extremos funções reais várias variáveis reais
2 Equações diferenciais ordinárias (EDOs)
3 Transformada de Laplace
4 Séries de potências e fórmula de Taylor
5 Sucessões e séries de funções
(desde 08/11/2015)
Comentários:
Sobre a subsecção 3.6.1
Não será considerada.
Sobre comutatividade e associatividade dos termos de uma série
É necessário algum cuidado quando se pretende trocar a ordem dos termos de uma série ou associá-los. Por exemplo, embora a série
(1)seja divergente, a série
(2)converge para zero, a série
(3)converge para 1, e se trocarmos, na série original, o 2.º e 3.º termos entre si, o 4.º e o 5.º termos entre si, o 6.º e o 7.º termos entre si, etc. e associarmos depois aos pares consecutivamente obtemos
(4)que converge para 2.
Não é muito difícil, no entanto, provar os dois seguintes resultados:
Em particular, no caso de uma série convergente o problema da associatividade fica resolvido. É, no entanto, possível provar que mesmo para séries convergentes nalguns casos a troca da ordem dos seus termos pode originar séries com somas totalmente diferentes.
Para séries de termos não negativos (e também para séries absolutamente convergentes) é possível provar que a troca da ordem dos seus termos não altera a natureza das séries assim obtidas, nem a soma no caso de convergência.