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Comentários:
Sobre a função exponencial com argumento complexo
No comentário http://calculo.wikidot.com/cii:resumo2-p2/comments/show#post-1981461 deixou-se para agora uma justificação mais clara da definição
(1)onde tanto as constantes $\alpha, \beta$ como a variável $x$ pertencem a $\mathbb R$. Na verdade, querendo manter-se, na extensão ao campo complexo, a propriedade que diz que a exponencial da soma é o produto das exponenciais das parcelas, basta-nos justificar a razoabilidade de se definir
(2)Usando o desenvolvimento em série de MacLaurin para a exponencial, dada na pág. 78 do texto acima, como a definição da própria exponencial, em especial para argumentos do tipo $i \beta x$, o uso de propriedades para séries de termos complexos análogas a propriedades dadas para séries de termos reais permite mostrar que a soma da série acima pode obter-se adicionando a soma da série de MacLaurin para $\cos(\beta x)$ ao produto de $i$ pela soma da série de MacLaurin para $\sin(\beta x)$. Por outras palavras, a identidade (2) é válida quando se usam os desenvolvimentos em série (de MacLaurin) para as funções em causa.