Cap. 4 - Resumo alargado

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A matéria do Texto de Apoio abaixo que corresponde à considerada neste Capítulo 4 é a que consta desde a página 62, inicialmente exibida, até à página 78.

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Comentários:

Algumas observações ao texto acima

amcaetano 19 Apr 2014 20:57

Sobre a função exponencial com argumento complexo

No comentário http://calculo.wikidot.com/cii:resumo2-p2/comments/show#post-1981461 deixou-se para agora uma justificação mais clara da definição

(1)

\begin{align} e^{(\alpha + i \beta)x} := e^{\alpha x} {\rm cis}(\beta x), \end{align}

onde tanto as constantes $\alpha, \beta$ como a variável $x$ pertencem a $\mathbb R$. Na verdade, querendo manter-se, na extensão ao campo complexo, a propriedade que diz que a exponencial da soma é o produto das exponenciais das parcelas, basta-nos justificar a razoabilidade de se definir

(2)

\begin{align} e^{i \beta x} :={\rm cis}(\beta x) = \cos(\beta x) + i \sin (\beta x). \end{align}

Usando o desenvolvimento em série de MacLaurin para a exponencial, dada na pág. 78 do texto acima, como a definição da própria exponencial, em especial para argumentos do tipo $i \beta x$, o uso de propriedades para séries de termos complexos análogas a propriedades dadas para séries de termos reais permite mostrar que a soma da série acima pode obter-se adicionando a soma da série de MacLaurin para $\cos(\beta x)$ ao produto de $i$ pela soma da série de MacLaurin para $\sin(\beta x)$. Por outras palavras, a identidade (2) é válida quando se usam os desenvolvimentos em série (de MacLaurin) para as funções em causa.

Last edited on 17 Apr 2017 20:01 by amcaetano Show more