Cap. 5 - parte 1 - Resumo alargado

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A matéria do Texto de Apoio abaixo que corresponde à considerada nesta parte 1 do Capítulo 5 é a que consta desde a página 79, inicialmente exibida, até à página 94.

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Comentários:

Algumas observações ao texto acima

amcaetano 20 May 2016 23:30

Sobre o Teorema de Abel e o Exemplo que se lhe segue (p. 89)

O Exemplo 5.8 conjuga o Teorema de Abel na forma em que é enunciado com o seguinte facto:

A união finita de conjuntos onde uma série é uniformemente convergente é também um conjunto onde o mesmo sucede.

Este resultado pode ser também útil noutras situações. O próprio Teorema de Abel poderia ter sido enunciado de uma maneira pronta a usar no Exemplo referido:

Teorema de Abel (versão alternativa)

Seja $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$ uma série de potências com raio de convergência $R \in \mathbb R^+$. Se a série converge no ponto $x = c + R$ (resp., no ponto $x = c − R$), então ela converge uniformemente em qualquer intervalo $[a, c + R] \subset\; ]c-R,c+R]$ (resp., $[c − R, b] \subset [c-R,c+R[$).

Sobre o Teorema 5.9 (p. 90)

Como algumas alíneas do enunciado se referem à função $f$ em pontos do domínio de convergência da série definidora de $f$ que poderão não pertencer ao intervalo de convergência, deveria ter-se definido $f$ como a soma dessa série no seu domínio de convergência.

Com esta modificação é também verdade que a função $F$ da alínea (iii) é primitiva de $f$ em todo o domínio de convergência daquela série, o que se pode ver com a ajuda da alínea (iv). A este propósito poderá ser útil recordar a extensão do conceito de primitiva que foi feito em http://calculo.wikidot.com/2-1-primitivas-parte-4#toc1.

Last edited on 29 Apr 2017 14:32 by amcaetano Show more