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Comentários:
Período de uma função periódica
Para além da interpretação que está no texto, relativamente a uma função $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica também é comum designar-se por período qualquer valor $T>0$ tal que $f(x+T)=f(x), \forall x \in \mathbb R$. Aliás, é neste sentido que deve ser entendida a afirmação sobre $2\pi$-periodicidade na Observação 5.14. Chama-se, então, período fundamental ao menor período positivo, caso exista.
Frequência e frequência angular
A propósito da nota de rodapé 33, na página 94, onde se refere que relativamente a um sinal periódico de período $T$ se designa por frequência (angular) a quantidade $\omega = \frac{2\pi}{T}$, informa-se que a designação frequência (sem alusão a angular) se refere, mais propriamente, à quantidade $\frac{1}{T}$, que nos dá o números de ciclos por unidade de tempo.
Possíveis relações entre uma função e a sua série de Fourier
Tal como acontece com as séries de Taylor,
Contrariamente ao que acontece com as séries de potências com raio de convergência positivo (que são obrigatoriamente as séries de Taylor das suas somas), pode acontecer que uma função seja a soma de uma série trigonométrica diferente da sua série de Fourier. Isto é, pode acontecer que uma função $f$ seja a soma de uma série do tipo
(1)mas onde os coeficientes $a_n$ e $b_n$ sejam diferentes dos coeficientes de Fourier de $f$. Por exemplo, é possível provar que a série
(2)está nessas condições.
Forma complexa das séries de Fourier
No seguimento do que é dito no final da nota de rodapé 35 na página 97, informa-se que usando a igualdade $e^{ix} = \cos x + i \sin x\;$ — cf. fórmula (2) de http://calculo.wikidot.com/cii:resumo4/comments/show#post-2015394 — e as suas consequências imediatas
(3)a série de Fourier de uma função $f : \mathbb R \to \mathbb R$ que seja $2\pi$-periódica e integrável em $[-\pi,\pi]$ pode escrever-se na forma
(4)— com a soma, caso exista, interpretada como
(5)— onde agora os coeficientes de Fourier $\alpha_n$ se podem calcular diretamente através da fórmula
(6)Boa noite professor.
Nas séries de fourier qual é mais correto usar a0/2 ou apenas a0?
Ou em que caso usamos um ou outro?
Obrigado e cumprimentos.
Olá Rafael,
É difícil responder fora de contexto. A fórmula para $a_0$ depende da opção que se tomar. O mais importante é perceber que o termo número "zero" da série de Fourier de $f$ é sempre calculado pela expressão
(1)Se chamares $a_0$ a isto, então é $a_0$ que deves usar como termo número "zero" da série de Fourier de $f$. Se chamares $a_0$ ao dobro daquela expressão (que é o que se faz habitualmente, apenas por uma questão de economia de recursos — a este propósito vê a Observação 5.12 na página 98 do Texto de apoio) então, naturalmente, teremos que cortar o $a_0$ ao meio para obter o referido termo número "zero".
AC