Cap. 5 - parte 2 - Resumo alargado

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A matéria do Texto de Apoio abaixo que corresponde à considerada nesta parte 2 do Capítulo 5 é a que consta desde a página 94, inicialmente exibida, até à página 106.

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Comentários:

Algumas observações ao texto acima

amcaetano 22 May 2014 14:07

Período de uma função periódica

Para além da interpretação que está no texto, relativamente a uma função $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica também é comum designar-se por período qualquer valor $T>0$ tal que $f(x+T)=f(x), \forall x \in \mathbb R$. Aliás, é neste sentido que deve ser entendida a afirmação sobre $2\pi$-periodicidade na Observação 5.14. Chama-se, então, período fundamental ao menor período positivo, caso exista.

Frequência e frequência angular

A propósito da nota de rodapé 33, na página 94, onde se refere que relativamente a um sinal periódico de período $T$ se designa por frequência (angular) a quantidade $\omega = \frac{2\pi}{T}$, informa-se que a designação frequência (sem alusão a angular) se refere, mais propriamente, à quantidade $\frac{1}{T}$, que nos dá o números de ciclos por unidade de tempo.

Possíveis relações entre uma função e a sua série de Fourier

Tal como acontece com as séries de Taylor,

• a série de Fourier de uma função pode não convergir;
• e mesmo quando converge a sua soma pode não ser a função que lhe deu origem.

Contrariamente ao que acontece com as séries de potências com raio de convergência positivo (que são obrigatoriamente as séries de Taylor das suas somas), pode acontecer que uma função seja a soma de uma série trigonométrica diferente da sua série de Fourier. Isto é, pode acontecer que uma função $f$ seja a soma de uma série do tipo

(1)

\begin{align} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \end{align}

mas onde os coeficientes $a_n$ e $b_n$ sejam diferentes dos coeficientes de Fourier de $f$. Por exemplo, é possível provar que a série

(2)

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}} \end{align}

está nessas condições.

Forma complexa das séries de Fourier

No seguimento do que é dito no final da nota de rodapé 35 na página 97, informa-se que usando a igualdade $e^{ix} = \cos x + i \sin x\;$ — cf. fórmula (2) de http://calculo.wikidot.com/cii:resumo4/comments/show#post-2015394 — e as suas consequências imediatas

(3)

\begin{align} \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \qquad \mbox{e} \qquad \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \end{align}

a série de Fourier de uma função $f : \mathbb R \to \mathbb R$ que seja $2\pi$-periódica e integrável em $[-\pi,\pi]$ pode escrever-se na forma

(4)

\begin{align} \sum_{n=-\infty}^\infty \alpha_n e^{inx} \end{align}

— com a soma, caso exista, interpretada como

(5)

\begin{align} \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N \alpha_n e^{inx} \end{align}

— onde agora os coeficientes de Fourier $\alpha_n$ se podem calcular diretamente através da fórmula

(6)

\begin{align} \alpha_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\, e^{-inx}\, dx, \quad n \in \mathbb Z. \end{align}

Last edited on 29 Apr 2017 15:46 by amcaetano Show more

Séries de Fourier : a0 dúvida

Rafael Maio 21 Jun 2017 13:25

Boa noite professor.
Nas séries de fourier qual é mais correto usar a0/2 ou apenas a0?
Ou em que caso usamos um ou outro?
Obrigado e cumprimentos.

Re: Séries de Fourier : a0 dúvida

amcaetano 21 Jun 2017 14:03

Olá Rafael,

É difícil responder fora de contexto. A fórmula para $a_0$ depende da opção que se tomar. O mais importante é perceber que o termo número "zero" da série de Fourier de $f$ é sempre calculado pela expressão

(1)

\begin{align} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\, dx. \end{align}

Se chamares $a_0$ a isto, então é $a_0$ que deves usar como termo número "zero" da série de Fourier de $f$. Se chamares $a_0$ ao dobro daquela expressão (que é o que se faz habitualmente, apenas por uma questão de economia de recursos — a este propósito vê a Observação 5.12 na página 98 do Texto de apoio) então, naturalmente, teremos que cortar o $a_0$ ao meio para obter o referido termo número "zero".

AC