Teste n.º 2 aos teus conhecimentos

Antes de tentares resolver os exercícios indicados abaixo, deverás ter estudado a matéria da 2.ª parte do Cap. 2 e ter resolvido uns quantos exercícios da correspondente folha disponibilizada na barra lateral, para os quais foram aí também disponibilizadas as soluções (e nalguns casos se apontou para onde se podem mesmo ver as resoluções).

Apesar deste teste se referir à matéria da parte 2 do Cap. 2, podes também usar a matéria dada anteriormente nas situações onde for aplicável e nada seja dito sobre o método a usar.

Durante o processo de resolução, e de modo a habituares-te a fazer isso nos testes, tenta dar respostas com argumentações completas, inteligíveis e que venham ao encontro do objetivo das questões. Em particular, se estás a usar uma definição, invoca essa definição; se estás a aplicar uma propriedade, invoca essa propriedade. O esforço que farás para procurar a informação correta a usar e para te tentares fazer entender constitui um passo importante para compreenderes a matéria e ajudar-te-á também a reter essa informação.

  1. Determina a solução geral de
    $-4y''+4y'+8y=7e^{-t}$
    usando o método dos coeficientes indeterminados.
  2. Determina a solução geral de
    $-4y''+4y'+8y=7e^{-t}$
    usando o método da variação das constantes.

Não serão fornecidas soluções, mas poderás facilmente obtê-las através da WolframAlpha.

Desafios

  1. Considera o seguinte modelo simplificado para o salto de um paraquedista com $m$ kg de peso (equipamento incluído) e sujeito à aceleração $g$ (constante positiva, em metros por segundo ao quadrado) da gravidade antes de abrir o paraquedas:
    $my''=-mg-13y',$
    onde $y=y(t)$ se refere à sua posição (em metros) no instante $t$ (em segundos) num eixo vertical com sentido positivo a apontar para cima (nota que a EDO acima obtém-se a partir da 2.ª lei de Newton assumindo que $-mg$ é a força devida à ação da gravidade e $-13y'$ é a força devida à ação da resistência do ar).
    Enquanto não abrir o paraquedas, a velocidade com que o paraquedista está a cair tende a estabilizar-se à volta de um valor (designado por velocidade terminal) bem definido, embora dependente dos valores de $m$ e de $g$.
    1. Obtém a expressão da velocidade terminal em função de $m$ e de $g$.
    2. Determina a velocidade terminal no caso de $m=80$ e $g=9,8$.
  2. Resolve o seguinte sistema, onde tanto $x$ como $y$ são funções da variável independente $t$:
(1)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x'=-x+e^{2t}y \\ y'=-y \end{array} \right.. \end{align}

Nota: Embora o tratamento geral dos sistemas de EDOs não faça parte da matéria a lecionar formalmente nas aulas, este exercício exige apenas a mobilização de vários conhecimentos que devem ter sido obtidos durante as aulas, e portanto considera-se que é um exercício de aplicação da matéria e que qualquer aluno que domine a mesma deverá ser capaz de resolver.


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