Teste n.º 4 aos teus conhecimentos

Antes de tentares resolver os exercícios indicados abaixo, deverás ter estudado a matéria do Cap. 3 e ter resolvido uns quantos exercícios da correspondente folha disponibilizada na barra lateral, para os quais foram aí também disponibilizadas as soluções.

Durante o processo de resolução, e de modo a habituares-te a fazer isso nos testes, tenta dar respostas com argumentações completas, inteligíveis e que venham ao encontro do objetivo das questões. Em particular, se estás a usar uma definição, invoca essa definição; se estás a aplicar uma propriedade, invoca essa propriedade. O esforço que farás para procurar a informação correta a usar e para te tentares fazer entender constitui um passo importante para compreenderes a matéria e ajudar-te-á também a reter essa informação.

  1. Estuda a natureza (divergência, convergência simples ou convergência absoluta) das seguintes séries numéricas:
    1. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{3/2}+n^2}{\sqrt{n^5+n}}$.
    2. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \Big(\frac{-n}{n+1}\Big)^{n}$.
    3. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n!)}{n!}$.
  2. Escreve em forma de fração os números representados pelas seguintes dízimas:
    1. $5,\!(479)$;
    2. $3,\!8(9)$.
    1. Enuncia o Critério do Integral para a determinação da natureza de séries numéricas.
    2. Mostra que as séries de Dirichlet
      $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$
      convergem se e só se $\alpha > 1$.

Não serão fornecidas soluções.

Desafio

Considera a série

(1)
\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \Big( \frac{(-1)^n-1}{n} + \frac{(-1)^n+1}{2^n} \Big). \end{align}
  1. Verifica que é uma série alternada divergente cujo termo geral tende para zero quando $n$ tende para infinito.
  2. Porque é que as conclusões da alínea anterior não contradizem o Critério de Leibniz?

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