Teste n.º 5 aos teus conhecimentos

Antes de tentares resolver os exercícios indicados abaixo, deverás ter estudado a matéria do Cap. 4 e da 1.ª parte do Cap. 5 e ter resolvido uns quantos exercícios das correspondentes folhas disponibilizadas na barra lateral, para os quais foram aí também disponibilizadas as soluções.

Durante o processo de resolução, e de modo a habituares-te a fazer isso nos testes, tenta dar respostas com argumentações completas, inteligíveis e que venham ao encontro do objetivo das questões. Em particular, se estás a usar uma definição, invoca essa definição; se estás a aplicar uma propriedade, invoca essa propriedade. O esforço que farás para procurar a informação correta a usar e para te tentares fazer entender constitui um passo importante para compreenderes a matéria e ajudar-te-á também a reter essa informação.

  1. Considera as funções $f,g:\mathbb R \to \mathbb R$ definidas por $f(x)=\arctan(x)$ e $g(x)=\cos^2(x)$.
    1. Obtém representações em série de potências para $f$, $g$ e $f+g$ e indica onde cada uma dessas representações é válida.
    2. Calcula $f^{(1234)}(0)$.
    3. Indica um majorante para o erro cometido quando se aproxima $\cos^2(x)$ por $T^5_0\cos^2(x)$ em $[0,1]$.
  2. Considera a função $f$ real de variável real $x$ dada pela soma da série $\; \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(5x+4)^n}{n^2}$.
    1. Determina o domínio de $f$.
    2. Determina a série de Taylor de $f$ no ponto $-\frac{4}{5}$.
    3. Obtém uma representação para $f'$ em série de potências.
    4. Determina o polinómio de Taylor $\displaystyle (T^1_{-\frac{4}{5}} f)(x)$ de ordem 1 de $f$ no ponto $-\frac{4}{5}$.
    5. Calcula $(T^1_{-\frac{4}{5}} f) \big(-\frac{4}{5}+\frac{1}{10}\big)$.
    6. Sabendo que $|f''(x)|<32\,$ se $x \in \big[-\frac{4}{5},-\frac{4}{5}+\frac{1}{10}\big]$, usa a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para determinares um majorante para o erro cometido ao usar-se $(T^1_{-\frac{4}{5}} f) \big(-\frac{4}{5}+\frac{1}{10}\big)$ para valor aproximado de $f\big(-\frac{4}{5}+\frac{1}{10}\big)$.

Não serão fornecidas soluções.

Desafio

Faz os cálculos indicados em http://calculo.wikidot.com/cii:resumo4/comments/show#post-2015394, que levam, em particular, à relação

(1)
\begin{align} e^{i x} = \cos x + i \sin x, \end{align}

onde $x \in \mathbb R$ e $i$ é a unidade imaginária.


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