1.4 Continuidade (complemento)

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Extremos absolutos de funções contínuas

Tal como sai do Teorema dos valores intermédios, qualquer função contínua transforma intervalos em intervalos. No caso de funções contínuas injetivas, o Teorema da inversão garante mesmo que transforma intervalos limitados e fechados em intervalos limitados e fechados. É possível provar que isto vale mesmo quando a função contínua não é injetiva:

Teorema de Weierstrass

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é contínua, então o contradomínio de $f$ é um intervalo limitado e fechado.

Para o caso de achares que isto é evidente, resolve os seguintes exercícios, onde se tenta evidenciar o que pode correr mal quando o domínio da função contínua não é um intervalo limitado e fechado:

Exercícios

  1. Em cada caso dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função contínua cujo contradomínio não seja um intervalo limitado e fechado e cujo domínio seja
    1. um intervalo limitado;
    2. um intervalo fechado.
  2. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função contínua cujo domínio seja um intervalo aberto e limitado e cujo contradomínio seja um intervalo semiaberto e limitado.

A relevância do Teorema de Weierstrass para as aplicações é a seguinte: designando por $[c,d]$ o contradomínio da função $f$ considerada nesse teorema, $c$ e $d$ são, respetivamente, o mínimo valor e o máximo valor que $f$ pode atingir, isto é, respetivamente, o mínimo absoluto (ou global) e o máximo absoluto (ou global) de $f$, também globalmente designados por extremos absolutos (ou globais) de $f$.

Conjugando com o Teorema de Fermat, verifica-se o seguinte resultado:

No caso de $f : [a,b] \to \mathbb R$ contínua, os extremos absolutos (que existem, pelo Teorema de Weierstrass) ocorrem ou nos extremos do intervalo, ou nos pontos críticos de $f$ ou nos pontos de $]a,b[$ onde não haja derivada.

Logo podemos seguir o seguinte fluxo para determinarmos os extremos absolutos de uma tal função, sem necessidade de construir um quadro de variação:

fermat_weierstrassBW.tif

Exercícios

  1. Determina os extremos absolutos das seguintes funções contínuas nos intervalos indicados. Depois indica também os respetivos contradomínios.
    1. $f(x) = x^3+2x+1$ em $[-2,1]$.
    2. $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ em $[-1,\frac{1}{2}]$.
    3. $f(x) = \ln(x^2+x+1)$ em $[-1,1]$.
    4. $f(x) = x - 2 \arctan x$ em $[0,4]$.
  2. Um objeto com peso $W$ é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força atuando através de uma corda esticada agarrada ao objeto. Se a corda faz um ângulo $\theta$ com o plano, então a magnitude da força é
    $\quad \quad \quad F = \frac{\mu W}{\mu \sin \theta \, + \, \cos \theta},$
    onde $\mu$ é uma constante positiva chamada o coeficiente de fricção e onde $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. Mostra que $F$ é minimizada quando $\tan \theta = \mu$.

Por outro lado, o Teorema de Weierstrass e o Teorema de Fermat ocupam lugares fundamentais na sequência lógica que permite obter vários teoremas do Cálculo a partir de princípios mais básicos. É, por exemplo, habitual precederem o Teorema de Rolle nessa sequência, podendo então este último provar-se segundo o seguinte esquema:

Pelo Teorema de Weierstrass, existe $c \in ]a,b[$ tal que $f(c)$ é o máximo absoluto ou o mínimo absoluto de $f$1. Mas então o Teorema de Fermat garante que $f'(c)=0$, que é a conclusão que queríamos obter.

Onde é que a hipótese $f(a)=f(b)$ foi necessária na argumentação acima?


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