1.3 Derivadas (complemento)

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Para a resolução de alguns dos exercícios que se seguem é conveniente que tenhas presente a regra da cadeia.

Exercícios I

1. Verifica as seguintes fórmulas de derivação: $(\sinh x)' = \cosh x \,$ e $\,(\cosh x)' = \sinh x$.
2. Em cada caso escreve uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:¹
   1. $f(x)=\sqrt[3]{x}\,$ no ponto de abcissa $2\sqrt{2}$.
   2. $f(x) = 4 \sin^2x\,$ em $(\frac{\pi}{6},1)$.
   3. $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\,$ em $(0,-1)$.
   4. $f(x) = \sqrt{1+4 \sin x}\,$ em $(0,1)$.
3. Um tanque cilíndrico com $5$ m de raio da base está a encher-se de água à taxa de $3$ m³/min.. Qual a velocidade com que a altura da água no tanque está a aumentar?
4. A massa de um certo arame fino e longo desde uma das suas pontas (extremidades) até um ponto medido sobre ele a uma distância de $x$ metros é dada por $x (1+\sqrt{x})$ kg. Determina a sua densidade linear quando $x=4$ m.
5. Considera a fórmula $V=\pi r^2 \frac{h}{3}$ para o volume $V$ do cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$.
   1. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente à altura no caso de o raio se manter constante.
   2. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente ao raio no caso de a altura se manter constante.
6. Calcula o declive da reta tangente à circunferência de equação $x^2+y^2=1$ no ponto $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.
7. A Lei de Boyle diz-nos que quando uma amostra de gás é comprimida a temperatura constante, o produto da pressão pelo volume se mantém constante: $PV=C$. Determina a taxa de variação do volume relativamente à pressão.
8. Uma partícula desloca-se numa linha vertical de modo a que a sua ordenada no instante $t$ seja $y=t^3-12t+3$, $t \geq 0$.
   1. Determina as funções velocidade e aceleração.
   2. Quando é que o movimento da partícula é ascendente e quando é que é descendente?
   3. Determina a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 3 unidades.

Ver soluções ou indicações

1. -
2. 1. $y=\frac{1}{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
   2. $y=2\sqrt{3}x+1-\pi\frac{\sqrt{3}}{3}$.
   3. $y=-1$.
   4. $y=2x+1$.
3. $\frac{3}{25 \pi}$ m/min..
4. $4$ kg/m.
5. 1. $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi r^2}{3}$.
   2. $\frac{dV}{dr} = \frac{2}{3} \pi r h$.
6. $-\sqrt{3}$. A maneira mais simples de chegar a este resultado é provavelmente através da chamada derivação implícita: sabendo que o declive em causa existe e é dado por $y'(x)$, de $x^2+y^2=1$ sai, por derivação de ambos os membros, $2x+2y(x)y'(x)=0$; resolvendo em ordem a $y'(x)$ e substituindo $x$ e $y$ pelas coordenadas do ponto dado obtém-se o resultado.
7. $\frac{dV}{dP} = -\frac{C}{P^2}$. Ou, no caso de não se pretender dar relevo à constante, $\frac{dV}{dP} = -\frac{V}{P}$, o que se pode obter diretamente através de derivação implícita.
8. 1. $v(t) = 3t^2-12$; $a(t) = 6t$.
   2. Ascendente: $t>2$. Descendente: $0 \leq t <2$.
   3. 23.

Derivada da inversa de uma função

Sejam $f : [c,d] \to \mathbb R$ contínua e injetiva e $f^{-1} : J := f([c,d]) \to \mathbb R$ a sua inversa. Se $f$ é diferenciável em $a \in ]c,d[$ e $f'(a) \not= 0$, então $b := f(a)$ é um ponto interior de $J$, $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e

(1)

\begin{align} (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. \end{align}

Em vez de provarmos completamente este resultado, mostraremos apenas que, sabendo já que tanto $f$ como $f^{-1}$ são diferenciáveis nos interiores dos intervalos respetivos, a fórmula (1) é uma simples consequência da regra da cadeia. De facto, sendo $f$ e $f^{-1}$ inversa uma da outra, então $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo o $x \in ]c,d[$, de modo que a regra da cadeia permite escrever²

(2)

\begin{eqnarray} & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (f^{-1} \circ f)'(x) = x' = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}. \end{eqnarray}

Substituindo $x$ por $a$ obtém-se (1).

O facto de, nessa fórmula, num dos membros se calcular a derivada da função em $a$ e no outro se calcular a derivada da inversa em $b$ costuma causar muita confusão entre os iniciados, que invariavelmente falham na resolução de exercícios como os que se encontram em baixo. Talvez ajude escrever a expressão (1) na forma equivalente

(3)

\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, \end{align}

onde se usou a letra $x$, em vez de $b$, para designar a variável e se escreveu $a$ como função de $x$ ($a=f^{-1}(b) = f^{-1}(x)$). Ou, em notação diferencial, designando por $x$ e $y$ respetivamente as variáveis independentes de $f^{-1}$ e $f$,

(4)

\begin{align} \frac{df^{-1}}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{df}{dy}(f^{-1}(x))}. \end{align}

Uma mnemónica para esta regra consiste em omitir os pontos onde as derivadas são calculadas, pensar nas funções $f^{-1}$ e $f$ respetivamente como $y=f^{-1}(x)$ e $x=f(y)$ e substituir na fórmula acima as funções pelas respetivas variáveis dependentes:

(5)

\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \end{align}

É como se trabalhássemos com frações. Se ajudar, usa esta maneira de escrever, mas não encares as supostas frações como verdadeiras frações, que não são. E não te esqueças de calcular as derivadas nos pontos respetivos, de acordo com as fórmulas mais precisas (3) ou (4) indicadas atrás.

Exercícios II

1. Verifica, com a ajuda do resultado acima, que, para $x \in \mathbb R^+$, a regra de derivação da função potência $x^n$, tabelada no final da secção Derivadas - parte 1 (revisão), vale também quando o expoente é da forma $1/m$, com $m \in \mathbb N$.
2. Combina agora o resultado anterior com a regra da cadeia e mostra que a referida regra da potência vale para qualquer expoente $n \in \mathbb Q$.³
3. Verifica que a regra de derivação da exponencial de base $a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ segue da regra geral de derivação da inversa, dada acima, uma vez sabendo a regra de derivação da função logaritmo de base $a$ (ou vice-versa).
4. Determina as derivadas das funções trigonométricas inversas
   1. $\arcsin$,
   2. $\arccos$,
   3. $\arctan$,
   4. ${\rm arccot}$.

Ver soluções ou indicações

1. Para evitarmos confusões, vamos designar $x^{\frac{1}{m}}$ por $f^{-1}(x)$, sendo então $f(x) = x^m$, e usar a fórmula (3) com $x \in \mathbb R^+$:
   $\displaystyle (x^{\frac{1}{m}})' = (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{m\, (f^{-1}(x))^{m-1}} = \frac{1}{m\, (x^{\frac{1}{m}})^{m-1}} = \frac{1}{m} x^{\frac{1-m}{m}} = \frac{1}{m} x^{\frac{1}{m}-1}.$
2. -
3. -
4. Detalhamos apenas no caso de $\arcsin$ (evitando agora o uso intermédio das notações $f$ e $f^{-1}$):
   1. para $x \in ]-1,1[$ tem-se, aplicando a regra de derivação da função inversa,
      $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'|_{y=\arcsin x}} = \frac{1}{\cos (\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$
      onde na última igualdade usámos o resultado do Exercício III.4 da secção 1.2 e atendemos ao facto de o cosseno ser positivo em $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$.
   2. No caso de $\arccos$ podemos simplesmente reduzir-nos ao caso anterior através da relação $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$ referida no Exercício III.5 da secção 1.2. O resultado é $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,$ para $x \in ]-1,1[$.
   3. $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.⁴
   4. $({\rm arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2}$.⁵

Atualiza a tabela no final da secção Derivadas - parte 1 (revisão) com as regras de derivação indicadas na ligação acima (e também com as regras de derivação das funções hiperbólicas indicadas no 1.º exercício desta página)!

Exercício III

1. Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta. Designando por $s(t)$ a distância total percorrida até ao instante $t$, por $v(t)$ a velocidade em $t$ e por $a(t)$ a aceleração em $t$, mostra que
   $\quad \quad \quad a(t) = v(t)\cdot \frac{dv}{ds},$
   onde $\frac{dv}{ds}$ designa, como a notação indica, a velocidade de variação da variável $v$ relativamente à variável $s$ (comparadas em cada instante).
   (Observação: em caso de dúvida, supõe que a partícula nunca para, de modo a que a função $t \mapsto s$ se possa inverter.)

Ver soluções ou indicações

1. $\frac{dv}{ds}=\frac{dv}{dt}\frac{dt}{ds}=a(t)\frac{1}{\frac{ds}{dt}}=\frac{a(t)}{v(t)}$; resolvendo em ordem a $a(t)$, obtém-se o resultado pretendido.

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Comentários:

Footnotes

1. recorda, da geometria analítica, que $y-y_0 = m (x-x_0)$ é uma equação da reta que passa pelo ponto $(x_0,y_0)$ e tem declive $m$

2. observa que da segunda linha abaixo sai que $f'(x) \not= 0$ necessariamente

3. Embora não seja possível provar isso neste momento, é também verdade que tal regra vale mesmo para qualquer $n \in \mathbb R$. Usaremos esta informação doravante caso seja necessário.

4. para chegares ao fim deste exercício vais precisar de recordar a relação $\cos^2(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$ referida no Exercício IV.5 da secção 1.2

5. aqui podes chegar ao resultado por redução ao caso anterior tirando partido da relação ${\rm arccot}\, x + \arctan x = \frac{\pi}{2}$ referida no Exercício V.5 da secção 1.2