1.3 Derivadas (complemento)

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Para a resolução de alguns dos exercícios que se seguem é conveniente que tenhas presente a regra da cadeia.

Exercícios

1. Verifica as seguintes fórmulas de derivação: $(\sinh x)' = \cosh x \,$ e $\,(\cosh x)' = \sinh x$.
2. Em cada caso escreve uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:¹
   1. $f(x)=\sqrt[3]{x}\,$ no ponto de abcissa $2\sqrt{2}$.
   2. $f(x) = 4 \sin^2x\,$ em $(\frac{\pi}{6},1)$.
   3. $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\,$ em $(0,-1)$.
   4. $f(x) = \sqrt{1+4 \sin x}\,$ em $(0,1)$.
3. Um tanque cilíndrico com $5$ m de raio da base está a encher-se de água à taxa de $3$ m³/min.. Qual a velocidade com que a altura da água no tanque está a aumentar?
4. A massa de um certo arame fino e longo desde uma das suas pontas (extremidades) até um ponto medido sobre ele a uma distância de $x$ metros é dada por $x (1+\sqrt{x})$ kg. Determina a sua densidade linear quando $x=4$ m.
5. Considera a fórmula $V=\pi r^2 \frac{h}{3}$ para o volume $V$ do cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$.
   1. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente à altura no caso de o raio se manter constante.
   2. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente ao raio no caso de a altura se manter constante.
6. Calcula o declive da reta tangente à circunferência de equação $x^2+y^2=1$ no ponto $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.
7. A Lei de Boyle diz-nos que quando uma amostra de gás é comprimida a temperatura constante, o produto da pressão pelo volume se mantém constante: $PV=C$. Determina a taxa de variação do volume relativamente à pressão.
8. Uma partícula desloca-se numa linha vertical de modo a que a sua ordenada no instante $t$ seja $y=t^3-12t+3$, $t \geq 0$.
   1. Determina as funções velocidade e aceleração.
   2. Quando é que o movimento da partícula é ascendente e quando é que é descendente?
   3. Determina a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 3 unidades.

Ver soluções ou indicações

1. -
2. 1. $y=\frac{1}{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
   2. $y=2\sqrt{3}x+1-\pi\frac{\sqrt{3}}{3}$.
   3. $y=-1$.
   4. $y=2x+1$.
3. $\frac{3}{25 \pi}$ m/min..
4. $4$ kg/m.
5. 1. $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi r^2}{3}$.
   2. $\frac{dV}{dr} = \frac{2}{3} \pi r h$.
6. $-\sqrt{3}$. A maneira mais simples de chegar a este resultado é provavelmente através da chamada derivação implícita: sabendo que o declive em causa existe e é dado por $y'(x)$, de $x^2+y^2=1$ sai, por derivação de ambos os membros, $2x+2y(x)y'(x)=0$; resolvendo em ordem a $y'(x)$ e substituindo $x$ e $y$ pelas coordenadas do ponto dado obtém-se o resultado.
7. $\frac{dV}{dP} = -\frac{C}{P^2}$. Ou, no caso de não se pretender dar relevo à constante, $\frac{dV}{dP} = -\frac{V}{P}$, o que se pode obter diretamente através de derivação implícita.
8. 1. $v(t) = 3t^2-12$; $a(t) = 6t$.
   2. Ascendente: $t>2$. Descendente: $0 \leq t <2$.
   3. 23.

Derivada da inversa de uma função

Sejam $f : [c,d] \to \mathbb R$ contínua e injetiva e $f^{-1} : J := f([c,d]) \to \mathbb R$ a sua inversa. Se $f$ é diferenciável em $a \in ]c,d[$ e $f'(a) \not= 0$, então $b := f(a)$ é um ponto interior de $J$, $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e

(1)

\begin{align} (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. \end{align}

Em vez de provarmos completamente este resultado, mostraremos apenas que, sabendo já que tanto $f$ como $f^{-1}$ são diferenciáveis nos interiores dos intervalos respetivos, a fórmula (1) é uma simples consequência da regra da cadeia. De facto, sendo $f$ e $f^{-1}$ inversa uma da outra, então $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo o $x \in ]c,d[$, de modo que a regra da cadeia permite escrever²

(2)

\begin{eqnarray} & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (f^{-1} \circ f)'(x) = x' = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}. \end{eqnarray}

Substituindo $x$ por $a$ obtém-se (1).

O facto de, nessa fórmula, num dos membros se calcular a derivada da função em $a$ e no outro se calcular a derivada da inversa em $b$ costuma causar muita confusão entre os iniciados, que invariavelmente falham na resolução de exercícios como os que se encontram em baixo. Talvez ajude escrever a expressão (1) na forma equivalente

(3)

\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, \end{align}

onde se usou a letra $x$, em vez de $b$, para designar a variável e se escreveu $a$ como função de $x$ ($a=f^{-1}(b) = f^{-1}(x)$). Ou, em notação diferencial, designando por $x$ e $y$ respetivamente as variáveis independentes de $f^{-1}$ e $f$,

(4)

\begin{align} \frac{df^{-1}}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{df}{dy}(f^{-1}(x))}. \end{align}

Uma mnemónica para esta regra consiste em omitir os pontos onde as derivadas são calculadas, pensar nas funções $f^{-1}$ e $f$ respetivamente como $y=f^{-1}(x)$ e $x=f(y)$ e substituir na fórmula acima as funções pelas respetivas variáveis dependentes:

(5)

\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \end{align}

É como se trabalhássemos com frações. Se ajudar, usa esta maneira de escrever, mas não encares as supostas frações como verdadeiras frações, que não são. E não te esqueças de calcular as derivadas nos pontos respetivos, de acordo com as fórmulas mais precisas (3) ou (4) indicadas atrás.

Exercícios

1. Verifica, com a ajuda do resultado acima, que, para $x \in \mathbb R^+$, a regra de derivação da função potência $x^n$, tabelada no final da secção Derivadas - parte 1 (revisão), vale também quando o expoente é da forma $1/m$, com $m \in \mathbb N$.
2. Combina agora o resultado anterior com a regra da cadeia e mostra que a referida regra da potência vale para qualquer expoente $n \in \mathbb Q$.³
3. Verifica que a regra de derivação da exponencial de base $a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ segue da regra geral de derivação da inversa, dada acima, uma vez sabendo a regra de derivação da função logaritmo de base $a$ (ou vice-versa).
4. Determina as derivadas das funções trigonométricas inversas
   1. $\arcsin$,
   2. $\arccos$,
   3. $\arctan$,
   4. ${\rm arccot}$.

Ver soluções ou indicações

1. Para evitarmos confusões, vamos designar $x^{\frac{1}{m}}$ por $f^{-1}(x)$, sendo então $f(x) = x^m$, e usar a fórmula (3) com $x \in \mathbb R^+$:
   $\displaystyle (x^{\frac{1}{m}})' = (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{m\, (f^{-1}(x))^{m-1}} = \frac{1}{m\, (x^{\frac{1}{m}})^{m-1}} = \frac{1}{m} x^{\frac{1-m}{m}} = \frac{1}{m} x^{\frac{1}{m}-1}.$
2. -
3. -
4. Detalhamos apenas no caso de $\arcsin$ (evitando agora o uso intermédio das notações $f$ e $f^{-1}$):
   1. para $x \in ]-1,1[$ tem-se, aplicando a regra de derivação da função inversa,
      $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{(\sin y)'|_{y=\arcsin x}} = \frac{1}{\cos (\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$
      onde na última igualdade usámos o resultado de um dos exercícios 4 da secção Universo das funções (complemento) e atendemos ao facto de o cosseno ser positivo em $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$.
   2. No caso de $\arccos$ podemos simplesmente reduzir-nos ao caso anterior através da relação $\arccos x + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$ referida em um dos exercícios 5 da secção Universo das funções (complemento). O resultado é $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,$ para $x \in ]-1,1[$.
   3. $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.⁴
   4. $({\rm arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2}$.⁵

Atualiza a tabela no final da secção Derivadas - parte 1 (revisão) com as regras de derivação indicadas na ligação acima (e também com as regras de derivação das funções hiperbólicas indicadas no 1.º exercício desta página)!

Exercício

1. Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta. Designando por $s(t)$ a distância total percorrida até ao instante $t$, por $v(t)$ a velocidade em $t$ e por $a(t)$ a aceleração em $t$, mostra que
   $\quad \quad \quad a(t) = v(t)\cdot \frac{dv}{ds},$
   onde $\frac{dv}{ds}$ designa, como a notação indica, a velocidade de variação da variável $v$ relativamente à variável $s$ (comparadas em cada instante).
   (Observação:em caso de dúvida, supõe que a partícula nunca para, de modo a que a função $t \mapsto s$ se possa inverter.)

Ver soluções ou indicações

1. $\frac{dv}{ds}=\frac{dv}{dt}\frac{dt}{ds}=a(t)\frac{1}{\frac{ds}{dt}}=\frac{a(t)}{v(t)}$; resolvendo em ordem a $a(t)$, obtém-se o resultado pretendido.

---

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Comentários:

Footnotes

1. recorda, da geometria analítica, que $y-y_0 = m (x-x_0)$ é uma equação da reta que passa pelo ponto $(x_0,y_0)$ e tem declive $m$

2. observa que da segunda linha abaixo sai que $f'(x) \not= 0$ necessariamente

3. Embora não seja possível provar isso neste momento, é também verdade que tal regra vale mesmo para qualquer $n \in \mathbb R$. Usaremos esta informação doravante caso seja necessário.

4. para chegares ao fim deste exercício vais precisar de recordar a relação $\cos^2(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$ referida em um dos exercícios 5 da secção Universo das funções (complemento)

5. aqui podes chegar ao resultado por redução ao caso anterior tirando partido da relação ${\rm arccot}\, x + \arctan x = \frac{\pi}{2}$ referida em um dos exercícios 5 da secção Universo das funções (complemento)