1.3 Derivadas (complemento)

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Para a resolução de alguns dos exercícios que se seguem é conveniente que tenhas presente a regra da cadeia.

Exercícios

  1. Verifica as seguintes fórmulas de derivação: $(\sinh x)' = \cosh x \,$ e $\,(\cosh x)' = \sinh x$.
  2. Em cada caso escreve uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:1
    1. $f(x)=\sqrt[3]{x}\,$ no ponto de abcissa $2\sqrt{2}$.
    2. $f(x) = 4 \sin^2x\,$ em $(\frac{\pi}{6},1)$.
    3. $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}\,$ em $(0,-1)$.
    4. $f(x) = \sqrt{1+4 \sin x}\,$ em $(0,1)$.
  3. Um tanque cilíndrico com $5$ m de raio da base está a encher-se de água à taxa de $3$ m3/min.. Qual a velocidade com que a altura da água no tanque está a aumentar?
  4. A massa de um certo arame fino e longo desde uma das suas pontas (extremidades) até um ponto medido sobre ele a uma distância de $x$ metros é dada por $x (1+\sqrt{x})$ kg. Determina a sua densidade linear quando $x=4$ m.
  5. Considera a fórmula $V=\pi r^2 \frac{h}{3}$ para o volume $V$ do cone circular reto de altura $h$ e raio da base $r$.
    1. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente à altura no caso de o raio se manter constante.
    2. Determina a taxa de variação (instantânea) do volume relativamente ao raio no caso de a altura se manter constante.
  6. Calcula o declive da reta tangente à circunferência de equação $x^2+y^2=1$ no ponto $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$.
  7. A Lei de Boyle diz-nos que quando uma amostra de gás é comprimida a temperatura constante, o produto da pressão pelo volume se mantém constante: $PV=C$. Determina a taxa de variação do volume relativamente à pressão.
  8. Uma partícula desloca-se numa linha vertical de modo a que a sua ordenada no instante $t$ seja $y=t^3-12t+3$, $t \geq 0$.
    1. Determina as funções velocidade e aceleração.
    2. Quando é que o movimento da partícula é ascendente e quando é que é descendente?
    3. Determina a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 3 unidades.

Derivada da inversa de uma função

Sejam $f : [c,d] \to \mathbb R$ contínua e injetiva e $f^{-1} : J := f([c,d]) \to \mathbb R$ a sua inversa. Se $f$ é diferenciável em $a \in ]c,d[$ e $f'(a) \not= 0$, então $b := f(a)$ é um ponto interior de $J$, $f^{-1}$ é diferenciável em $b$ e

(1)
\begin{align} (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}. \end{align}

Em vez de provarmos completamente este resultado, mostraremos apenas que, sabendo já que tanto $f$ como $f^{-1}$ são diferenciáveis nos interiores dos intervalos respetivos, a fórmula (1) é uma simples consequência da regra da cadeia. De facto, sendo $f$ e $f^{-1}$ inversa uma da outra, então $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ para todo o $x \in ]c,d[$, de modo que a regra da cadeia permite escrever2

(2)
\begin{eqnarray} & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! (f^{-1} \circ f)'(x) = x' = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) = 1, \\ & \Rightarrow & (f^{-1})'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}. \end{eqnarray}

Substituindo $x$ por $a$ obtém-se (1).

O facto de, nessa fórmula, num dos membros se calcular a derivada da função em $a$ e no outro se calcular a derivada da inversa em $b$ costuma causar muita confusão entre os iniciados, que invariavelmente falham na resolução de exercícios como os que se encontram em baixo. Talvez ajude escrever a expressão (1) na forma equivalente

(3)
\begin{align} (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, \end{align}

onde se usou a letra $x$, em vez de $b$, para designar a variável e se escreveu $a$ como função de $x$ ($a=f^{-1}(b) = f^{-1}(x)$). Ou, em notação diferencial, designando por $x$ e $y$ respetivamente as variáveis independentes de $f^{-1}$ e $f$,

(4)
\begin{align} \frac{df^{-1}}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{df}{dy}(f^{-1}(x))}. \end{align}

Uma mnemónica para esta regra consiste em omitir os pontos onde as derivadas são calculadas, pensar nas funções $f^{-1}$ e $f$ respetivamente como $y=f^{-1}(x)$ e $x=f(y)$ e substituir na fórmula acima as funções pelas respetivas variáveis dependentes:

(5)
\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}. \end{align}

É como se trabalhássemos com frações. Se ajudar, usa esta maneira de escrever, mas não encares as supostas frações como verdadeiras frações, que não são. E não te esqueças de calcular as derivadas nos pontos respetivos, de acordo com as fórmulas mais precisas (3) ou (4) indicadas atrás.

Exercícios

  1. Verifica, com a ajuda do resultado acima, que, para $x \in \mathbb R^+$, a regra de derivação da função potência $x^n$, tabelada no final da secção Derivadas - parte 1 (revisão), vale também quando o expoente é da forma $1/m$, com $m \in \mathbb N$.
  2. Combina agora o resultado anterior com a regra da cadeia e mostra que a referida regra da potência vale para qualquer expoente $n \in \mathbb Q$.3
  3. Verifica que a regra de derivação da exponencial de base $a \in \mathbb R^+ \setminus \{1\}$ segue da regra geral de derivação da inversa, dada acima, uma vez sabendo a regra de derivação da função logaritmo de base $a$ (ou vice-versa).
  4. Determina as derivadas das funções trigonométricas inversas
    1. $\arcsin$,
    2. $\arccos$,
    3. $\arctan$,
    4. ${\rm arccot}$.

Atualiza a tabela no final da secção Derivadas - parte 1 (revisão) com as regras de derivação indicadas na ligação acima (e também com as regras de derivação das funções hiperbólicas indicadas no 1.º exercício desta página)!

Exercício

  1. Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta. Designando por $s(t)$ a distância total percorrida até ao instante $t$, por $v(t)$ a velocidade em $t$ e por $a(t)$ a aceleração em $t$, mostra que
    $\quad \quad \quad a(t) = v(t)\cdot \frac{dv}{ds},$
    onde $\frac{dv}{ds}$ designa, como a notação indica, a velocidade de variação da variável $v$ relativamente à variável $s$ (comparadas em cada instante).
    (Observação:em caso de dúvida, supõe que a partícula nunca para, de modo a que a função $t \mapsto s$ se possa inverter.)

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