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Exercício
- Verifica que se $f : ]a,b[ \to \mathbb R$ for monótona crescente (resp. decrescente) então, no caso de existir, $f'(x) \geq 0$ ou $\infty$ (resp. $f'(x) \leq 0$ ou $-\infty$).
Extremos de uma função
Seja $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$.
O mínimo valor e o máximo valor que $f$ pode atingir dizem-se, respetivamente, o mínimo absoluto (ou global) e o máximo absoluto (ou global) de $f$, também globalmente designados por extremos absolutos (ou globais) de $f$.
Seja $c \in D$. Diz-se que $f(c)$ é um máximo local (resp. mínimo local) de $f$ se e só se for o máximo absoluto (resp. mínimo absoluto) de $f|_{D\, \cap \, ]c-\varepsilon,c+\varepsilon[}$ para algum $\varepsilon > 0$. E em vez do adjetivo local também se pode usar aqui, com o mesmo significado, o adjetivo relativo. Mínimos e máximos locais (ou relativos) de $f$ são globalmente designados por extremos locais (ou relativos) de $f$.
Naturalmente, o máximo (resp. mínimo) absoluto de uma função é um dos seus máximos (resp. mínimos) locais, mas uma função pode ter muitos extremos locais, enquanto só pode ter no máximo dois extremos absolutos (um mínimo, o outro máximo).
Teorema de Fermat
Se $f(c)$ é um extremo local de uma função $f$ cuja derivada existe no ponto interior $c$ do domínio de $f$, então $f'(c)=0$.
A prova deste resultado é mais ou menos imediata. Por exemplo, no caso de $f(c)$ ser um máximo local teremos que $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0$ para $x \in ]c-\varepsilon,c[$, para o $\varepsilon > 0$ considerado acima, enquanto $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0$ para $x \in ]c,c+\varepsilon[$, de modo que da hipótese da existência de $f'(c)$ sai que $f'(c) = f'_e(c) \geq 0 \geq f'_d(c) = f'(c)$ e portanto só pode ser $f'(c)=0$.
Um ponto interior de $D_f$ onde $f'$ seja nula diz-se um ponto crítico (ou de estacionaridade) de $f$. Assim, o Teorema de Fermat diz-nos que os extremos locais em pontos onde existe a derivada de uma função só podem ocorrer em pontos críticos dessa função.
Exercícios
- Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função que atinja um extremo local num ponto interior do seu domínio onde a função não tenha derivada.
- Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função que atinja um extremo local num ponto do seu domínio que não seja interior.
- Mostra que a afirmação recíproca do Teorema de Fermat é falsa.
Derivada e monotonia de uma função
Embora a anulação da derivada de uma função num ponto não permita concluir sobre a existência de extremo da função nesse ponto, em contrapartida é possível provar que o sinal (não nulo) da derivada de uma função permite rapidamente determinar o sentido da monotonia dessa função:
Critério de monotonia
Seja $f$ contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $]a, b[$. Então
- Se $f'$ é nula em $]a,b[$, $f$ é constante em $[a,b]$.
- Se $f'$ assume somente valores positivos em $]a,b[$ então $f$ é estritamente crescente em $[a,b]$.
- Se $f'$ assume somente valores maiores que ou iguais a $0$ em $]a,b[$ então $f$ é crescente em $[a,b]$.
- Se $f'$ assume somente valores negativos em $]a,b[$ então $f$ é estritamente decrescente em $[a,b]$.
- Se $f'$ assume somente valores menores que ou iguais a $0$ em $]a,b[$ então $f$ é decrescente em $[a,b]$.
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