Derivadas - parte 3 (revisão)

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Exercício

  1. Verifica que se $f : ]a,b[ \to \mathbb R$ for monótona crescente (resp. decrescente) então, no caso de existir, $f'(x) \geq 0$ ou $\infty$ (resp. $f'(x) \leq 0$ ou $-\infty$).

Extremos de uma função

Seja $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$.

O mínimo valor e o máximo valor que $f$ pode atingir dizem-se, respetivamente, o mínimo absoluto (ou global) e o máximo absoluto (ou global) de $f$, também globalmente designados por extremos absolutos (ou globais) de $f$.

Seja $c \in D$. Diz-se que $f(c)$ é um máximo local (resp. mínimo local) de $f$ se e só se for o máximo absoluto (resp. mínimo absoluto) de $f|_{D\, \cap \, ]c-\varepsilon,c+\varepsilon[}$ para algum $\varepsilon > 0$. E em vez do adjetivo local também se pode usar aqui, com o mesmo significado, o adjetivo relativo. Mínimos e máximos locais (ou relativos) de $f$ são globalmente designados por extremos locais (ou relativos) de $f$.

Naturalmente, o máximo (resp. mínimo) absoluto de uma função é um dos seus máximos (resp. mínimos) locais, mas uma função pode ter muitos extremos locais, enquanto só pode ter no máximo dois extremos absolutos (um mínimo, o outro máximo).

Teorema de Fermat

Se $f(c)$ é um extremo local de uma função $f$ cuja derivada existe no ponto interior $c$ do domínio de $f$, então $f'(c)=0$.

A prova deste resultado é mais ou menos imediata. Por exemplo, no caso de $f(c)$ ser um máximo local teremos que $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0$ para $x \in ]c-\varepsilon,c[$, para o $\varepsilon > 0$ considerado acima, enquanto $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \leq 0$ para $x \in ]c,c+\varepsilon[$, de modo que da hipótese da existência de $f'(c)$ sai que $f'(c) = f'_e(c) \geq 0 \geq f'_d(c) = f'(c)$ e portanto só pode ser $f'(c)=0$.

Um ponto interior de $D_f$ onde $f'$ seja nula diz-se um ponto crítico (ou de estacionaridade) de $f$. Assim, o Teorema de Fermat diz-nos que os extremos locais em pontos onde existe a derivada de uma função só podem ocorrer em pontos críticos dessa função.

Exercícios

  1. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função que atinja um extremo local num ponto interior do seu domínio onde a função não tenha derivada.
  2. Dá um exemplo (pode ser gráfico) de uma função que atinja um extremo local num ponto do seu domínio que não seja interior.
  3. Mostra que a afirmação recíproca do Teorema de Fermat é falsa.

Derivada e monotonia de uma função

Embora a anulação da derivada de uma função num ponto não permita concluir sobre a existência de extremo da função nesse ponto, em contrapartida é possível provar que o sinal (não nulo) da derivada de uma função permite rapidamente determinar o sentido da monotonia dessa função:

Critério de monotonia

Seja $f$ contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $]a, b[$. Então

  1. Se $f'$ é nula em $]a,b[$, $f$ é constante em $[a,b]$.
  2. Se $f'$ assume somente valores positivos em $]a,b[$ então $f$ é estritamente crescente em $[a,b]$.
  3. Se $f'$ assume somente valores maiores que ou iguais a $0$ em $]a,b[$ então $f$ é crescente em $[a,b]$.
  4. Se $f'$ assume somente valores negativos em $]a,b[$ então $f$ é estritamente decrescente em $[a,b]$.
  5. Se $f'$ assume somente valores menores que ou iguais a $0$ em $]a,b[$ então $f$ é decrescente em $[a,b]$.

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