Derivadas - parte 4 (revisão)

« página anterior: Derivadas - parte 3 (revisão)

Extremos e contradomínios via quadro de variação

As relações entre uma função e a sua derivada, dadas no Critério de monotonia, permitem construir-se um quadro de variação da função e, com a ajuda do eventual cálculo de limites nalguns pontos, concluir-se sobre os extremos (locais e absolutos) e sobre o contradomínio da função.

Nesta abordagem deve ter-se também em mente o Teorema dos valores intermédios, o qual garante que uma função contínua transforma intervalos em intervalos, e o facto, provado na parte 1, de que os pontos onde a derivada é finita são sempre pontos de continuidade da função. Em contrapartida, deverá ter-se o cuidado de analisar o que se passa junto a pontos de descontinuidade da função e junto de extremos de subintervalos disjuntos em que naturalmente se subdivida o domínio da mesma.

Como algo neste sentido deve ter sido dado no ensino secundário, omitimos qualquer exemplo e passamos já a exercícios.

Exercícios

  1. Determina os extremos e o contradomínio de cada função no domínio de definição da expressão:
    1. $f(x)=\frac{4x-1}{2x+3}$.
    2. $f(x)=e^{\frac{1}{x}}+2$.
    3. $f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}$.
    4. $f(x)= 8x^3-21x^2+18x+2$.
  2. Mostra que se a soma de dois números é constante então a soma dos seus quadrados é mínima quando os números são iguais.
  3. Determina as dimensões de um retângulo de 16 m2 de área com o perímetro mais pequeno possível.
  4. Determina o ponto da curva $y = \sqrt{x}$ que está mais próximo do ponto $(3,0)$.
  5. Se $p(x)$ é o valor total da produção quando há $x$ trabalhadores numa grande fábrica, a produtividade média da força de trabalho é dada por $A(x):=\frac{p(x)}{x}$. No que se segue, assume que o domínio das expressões anteriores se estendeu a todo o $\mathbb R^+$, dando origem a funções diferenciáveis aí.
    1. Porque é que o dono da fábrica quer contratar mais trabalhadores quando $A'(x) > 0$?
    2. Mostra que $A'(x)>0$ se $p'(x)$ é maior do que a produtividade média.
      cabo-e-rua.gif
  6. Supõe que a quantidade de carga em coulombs (C) que passou através de um ponto de um circuito elétrico até ao instante $t$ (medido em segundos) é dada por $Q(t):=t^3-2t^2+6t+2$. Determina a intensidade da corrente em cada instante de tempo. Em que instante essa intensidade é menor?
  7. Supõe que estender cabo ao longo da rua esquematizada na figura ao lado custa por km metade do que custa estendê-lo através do terreno à volta. Qual é o trajeto mais económico para estender cabo de A até B?

Assíntotas

Na resolução de alguns dos exercícios anteriores foi necessário efetuar cálculos que levam à determinação de assíntotas verticais e de assíntotas horizontais de gráficos de funções.

Diz-se que a reta $x=a$, onde $a \in \mathbb R$, é uma assíntota vertical do gráfico de uma função $f(x)$ se e só se $\lim_{x \to a-} f(x) = \infty \,$ ou $\, \lim_{x \to a-} f(x) = -\infty \,$ ou $\, \lim_{x \to a+} f(x) = \infty \,$ ou $\, \lim_{x \to a+} f(x) = -\infty \,$.

Estas quatro situações possíveis para uma mesma assíntota vertical ficam bem identificadas num quadro de variação da função como o que se fez a propósito da resolução da alínea 1.1 dos exercícios acima: esse quadro indica claramente que, para a função aí em causa, $x=-\frac{3}{2}$ é uma assíntota vertical em que quando $x \to -\frac{3}{2}\! -$ o gráfico se aproxima da parte superior da assíntota, enquanto que quando $x \to -\frac{3}{2}\! +$ o gráfico se aproxima da parte inferior da assíntota.

Observa que $x=a$ não pode ser assíntota vertical do gráfico de uma função $f(x)$ se esta função for contínua em $a$. Assim, para se encontrarem as assíntotas verticais $x=a$ do gráfico de uma função basta procurar entre os $a$ que são pontos de descontinuidade da função e entre os $a$ que, embora não pertencendo ao domínio da função, são pontos de acumulação deste.

Diz-se que a reta $y=b$, onde $b \in \mathbb R$, é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função $f(x)$ se e só se $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\,$ ou $\, \lim_{x \to \infty} f(x) = b$.

Em termos geométricos, a aproximação do gráfico à assíntota pode fazer-se por cima da assíntota, por baixo da assíntota ou nem uma coisa nem outra. Pelo menos nos dois primeiros casos um registo adequado num quadro de variação permite identificar rapidamente em qual das situações se está.

Exercícios

  1. Determina as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais dos gráficos das quatro funções consideradas no exercício 1 acima.

Pode acontecer que quando $x \to -\infty$ ou quando $x \to \infty$ a função $f(x)$ tenda para infinito (positivo ou negativo) de uma maneira peculiar, por exemplo de modo a que o seu gráfico se vá aproximando indefinidamente de uma reta oblíqua. Nessa situação, uma tal reta constitui um exemplo de assíntota não vertical do gráfico de uma função, cuja definição geral se dá de seguida:

Diz-se que a reta $y=mx+b$, onde $m,b \in \mathbb R$, é uma assíntota não vertical do gráfico de uma função $f(x)$ se e só se $\lim_{x \to -\infty} (f(x)-mx-b) = 0\,$ ou $\, \lim_{x \to \infty} (f(x)-mx-b) = 0$.

Observa que, embora as assíntotas horizontais não sejam retas oblíquas, são, no entanto, casos particulares de assíntotas não verticais (trata-se do caso $m=0$). Além disso, para cada uma das situações $x \to -\infty$ ou $x \to \infty$ existe no máximo uma assíntota não vertical. Como consequência particular destes factos, se já encontraste uma assíntota horizontal numa dessas situações, não vale a pena procurares uma outra assíntota não vertical para a mesma situação: é que não existe!

Exemplos

Os gráficos das funções das três primeiras alíneas do exercício 1 acima não têm assíntotas oblíquas.

O seguinte critério para a determinação das eventuais assíntotas não verticais do gráfico de uma função é uma consequência simples da definição:

O gráfico de uma função $f(x)$ tem a reta $y=mx+b$ como assíntota não vertical quando $x \to -\infty$ se e só se

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb R \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to -\infty} (f(x)-mx) = b \in \mathbb R$.

O gráfico de uma função $f(x)$ tem a reta $y=mx+b$ como assíntota não vertical quando $x \to \infty$ se e só se

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb R \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to \infty} (f(x)-mx) = b \in \mathbb R$.

Exemplo

O gráfico da função da alínea quatro do exercício 1 acima, o qual já tínhamos visto não ter assíntotas verticais nem horizontais, também não têm assíntotas oblíquas. De facto, verifica-se nesse caso que

(1)
\begin{align} \lim_{x \to \pm \infty} \frac{8x^3-21x^2+18x+2}{x} = \infty \notin \mathbb R. \end{align}

Exercícios

  1. Determina as assíntotas dos gráficos das seguintes funções:
    1. $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.
    2. $f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$.
    3. $f(x) = \sqrt{x^2+4x}$.

página seguinte: Universo das funções (complemento) »

Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License