Introdução

« página anterior: nenhuma

Objetos de estudo

Os objetos de estudo do Cálculo I e do Cálculo II são as funções reais (de uma variável real, exceto no 1.º capítulo de Cálculo II, onde se estudarão funções de várias variáveis), sobre as quais se farão certas operações e se estabelecerão certas relações, em especial entre cada função e uma função que dela "deriva" segundo uma regra bem definida.

Parte-se do princípio que conheces o conceito matemático de função, assim como conheces os conceitos de variável independente, variável dependente, domínio, conjunto de chegada, contradomínio e lei de transformação.

A noção de função modela fenómenos naturais que poderemos estar interessados em perceber, em estudar. A ambição do Cálculo é poder estabelecer propriedades envolvendo funções que se possam usar para dizer coisas interessantes (e verdadeiras) sobre esses fenómenos naturais.

Exemplos

Vejamos alguns exemplos de tais fenómenos, onde a palavra função começa por ser usada num sentido mais próximo da linguagem natural:

1. A distância percorrida por um objeto em função do tempo, desde o ponto de partida A até ao ponto de chegada B:
curva.gif
2. Uma variante do exemplo anterior é a posição (no plano) do mesmo objeto em função do tempo.
3. A velocidade instantânea (noção intuitiva para já) do mesmo objeto dos exemplos anteriores em função do tempo.
4. A mesma figura do exemplo 1 acima poderá servir como esquema de um arame de extremos A e B e podemos querer considerar a massa do arame desde A até a um ponto que se distancia de A em direção a B (seguindo os contornos do arame) em função dessa distância.
5. Ou, a propósito do exemplo anterior, podemos querer considerar a densidade pontual (noção intuitiva para já) em função da distância (seguindo os contornos do arame) do ponto a A.
6. O volume de água num tanque em função do tempo:
tanque.gif
7. O fluxo ou caudal instantâneo (noção intuitiva para já) de água que sai da torneira em função do tempo.
8. A carga elétrica acumulada que está a passar por um determinado ponto de um circuito elétrico (i.e., a carga total que passou desde o instante inicial) em função do tempo.
9. O fluxo dessa carga (ou intensidade da corrente elétrica) em cada instante (noção intuitiva para já) em função do tempo.

Funções, variáveis e conjuntos numéricos

Na maior parte dos exemplos anteriores a variável independente é o tempo. As exceções estão nos exemplos 4 e 5, onde tal variável é a distância percorrida. Para poderem ter um tratamento matemático, há que fixar unidades (por exemplo, o segundo para o tempo e o metro para a distância), de modo a que se possam traduzir em números. Do ponto de vista do tratamento matemático são esses números que interessam e que acabamos por encarar como (concretizações de) as variáveis em causa.

Espera-se que seja claro que é suficiente tomar $\mathbb R$ para universo onde tais números vivem.

As variáveis dependentes nos exemplos dados foram assinaladas a vermelho. Após fixadas unidades adequadas, podem também traduzir-se em "números", mas não necessariamente números reais. Por exemplo, no caso do 2.º exemplo precisamos de dois graus de liberdade para determinarmos a posição de um ponto no plano, logo $\mathbb R$ não será adequado, mas $\mathbb R^2$ já será. Analogamente, na parte do 3.º exemplo correspondente ao 2.º, se quisermos que a velocidade também nos indique a direção e o sentido do movimento, também $\mathbb R$ não será suficiente e teríamos também que considerar $\mathbb R^2$ como universo.

Estes dois últimos casos já não caem no domínio de estudo de Cálculo I, pois as funções que estão aí em causa já não são funções reais mas sim funções ditas vetoriais.

Há, no entanto, uma variante do 2.º exemplo acima que podemos modelar em Cálculo I: é o caso do movimento retilíneo, não necessariamente sempre no mesmo sentido; trata-se também de um exemplo onde a posição de um dado objeto é função do tempo, podendo a função ser estudada como uma função real de (uma) variável real.

Reparaste que usámos a palavra função ora num sentido próximo do da linguagem natural, ora num sentido mais estritamente matemático? É claro que em Cálculo passaremos a maior parte do tempo a lidar com este último.


página seguinte: Linguagem e lógica matemáticas »

Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License