Linguagem e lógica matemáticas - inf. adicional - parte 1

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É importante começar por verificar se nos entendemos. Passamos em revista alguns símbolos e termos matemáticos, indicando o seu uso correto através de exemplos.

Pertença, inclusões e igualdades

No que se segue, a expressão $2x^3+x+5$ não está a ser entendida como um polinómio, mas sim como uma polinomial, i.e., como a função $x \mapsto 2x^3+x+5$ de $\mathbb R$ para $\mathbb R$.

$\in$ (pertence a)
Exemplo: $2x^3+x+5 \in \{ \mbox{funções polinomiais} \}$
$\subset$ (está contido em)
Exemplo: $\{ 2x^3+x+5 \} \subset \{ \mbox{funções polinomiais} \}$
$\supset$ (contém)
Sendo $A$ e $B$ conjuntos, $A \supset B$ significa o mesmo que $B \subset A$ (ou seja, $A \supset B$ lido da direita para a esquerda).

$=$ (é igual a) é usado em vários enquadramentos:

Exemplo 1: $(x-1)x = x^2-x$ (igualdade de números para todas as concretizações da variável $x$ no universo em questão, por exemplo $\mathbb R$).
Exemplo 2: $h=f+2g$, com $f, g, h$ funções reais de variável real definidas pelas leis de transformação $f(x)=x^4$, $g(x)=5x^3$ e $h(x)=x^4+10x^3$.
Exemplo 3: $\{ \mbox{funções polinomiais} \} = \{ \mbox{funções racionais cujo denominador é 1} \}$ (igualdade entre conjuntos, digamos $A$ e $B$, significando o mesmo que ter $A \subset B$ e $A \supset B$ — aliás, é muito comum, quando se tem que garantir a igualdade entre dois conjuntos, partir o problema em dois através do estudo destas inclusões).

Todas as afirmações usadas como exemplo atrás são verdadeiras. Os símbolos indicados podem também ser usados em afirmações falsas, por exemplo quando se escreve

"A afirmação $1=2$ é falsa",

onde a afirmação global entre aspas é em si verdadeira. E também podem ser usados em construções onde não é claro qual o valor lógico, por exemplo quando se pergunta

"Para que valores de $x \in \mathbb R$ é a afirmação $2x=x$ verdadeira?".

E como já estamos a usar símbolos matemáticos que desempenham diferentes papéis em afirmações (e não só, como veremos), convém catalogar adequadamente esses papéis:

Designações, expressões designatórias, afirmações e condições

designação

É qualquer símbolo que represente um objeto matemático fixo, isto é, constante, que não possa ter mais do que um valor, como $1$, $-3$, $7$, $\mathbb N$ e $A$, se $A$ representar, por exemplo, o conjunto $\{ -6, 10, 23 \}$. Estes dois últimos representam conjuntos. Se bem que um conjunto possa conter vários objetos, como números, é ele próprio um objeto matemático, de uma natureza diferente da dos seus elementos. No fundo, uma designação corresponde, na linguagem comum, a um nome ou substantivo.

expressão designatória

É qualquer expressão envolvendo uma ou mais variáveis (pertencentes a universos previamente fixados) que se transforme numa designação de cada vez que as variáveis sejam concretizadas com valores nesses universos. Por exemplo, $(x-1)x$ e $x^2-x$, usados acima no Exemplo 1 do uso do sinal de igual, são expressões designatórias se, por exemplo, se assumir que $x$ tem a capacidade de representar qualquer número real. Se então concretizarmos $x$ como sendo, por exemplo, $3$ obtemos, respetivamente, $(3-1).3$ e $3^2-3$, duas designações para o número (que também se representa por) $6$. Mas também poderemos concretizar $x$ como sendo, por exemplo, $1,\!2$, obtendo, nesse caso, $0,24$ em ambas as expressões (após simplificação).

Infelizmente, nem sempre a fronteira entre designação e expressão designatória é tão nítida como nos exemplos acima. Muitas vezes uma mesma expressão pode ser uma coisa ou outra consoante o contexto. Por exemplo, embora $2x^3+x+5$, com $x \in \mathbb R$, seja em princípio uma expressão designatória, no cimo desta página usámos $2x^3+x+5$ para representar a função de domínio e conjunto de chegada $\mathbb R$ e cuja lei de transformação é dada por essa expressão designatória. Só existe uma função com essas características, logo aí $2x^3+x+5$ estava a ser usada como uma designação para essa função. Teria sido mais correto designá-la por uma letra não comprometida, por exemplo $f$, mas trata-se de uma abuso de notação ou linguagem muito comum, tal como quando dizemos "considere-se a função $x^2$" ou "considere-se a função $y=x^2$", em vez de dizermos, como seria mais correto, "considere-se a função $f$ dada pela expressão $f(x)=x^2$ em $\mathbb R$".

afirmação ou proposição

É qualquer frase exprimindo uma ideia que se possa classificar como verdadeira ou como falsa. Por exemplo, "$1=2$" e "$3 \in \{ -5,4,7 \}$" são proposições falsas, enquanto "$1=3-2$" e "$3 \in \{ -5,3,4,7 \}$" são proposições verdadeiras. Aplicando esta definição à linguagem natural, teremos também, por exemplo, que uma frase como "O Pedro é irmão da Sofia" é uma proposição, desde que se refira a um Pedro e a uma Sofia específicos (e desde que seja claro o que significa "ser irmão de").

expressão proposicional ou condição

É qualquer frase envolvendo uma ou mais variáveis (em universos fixados a priori) que se transforme em proposição de cada vez que se concretizem as variáveis. Por exemplo, "$2x=x$", para $x$ a variar em $\mathbb R$, é uma condição. Quando $x=0$ transforma-se na proposição verdadeira "$2\times 0 = 0$". Para qualquer outra concretização da variável $x$ transforma-se sempre numa proposição falsa. Um exemplo em linguagem seminatural seria "$x$ é irmã(o) de $y$", com $x$ e $y$ a variar no universo dos seres humanos. De cada vez que concretizarmos $x$ e $y$ teremos ou uma proposição verdadeira ou uma proposição falsa.

A expressão $(x-1)x=x^2-x$, para $x$ a variar em $\mathbb R$, usada no Exemplo 1 acima sobre a utilização do sinal de igual, é uma condição que se diz que é uma condição universal porque se concretiza sempre em proposições verdadeiras. Já a condição $2x=x$, para $x$ no mesmo universo, é uma condição possível (mas não universal), já que admite pelo menos uma concretização em proposição verdadeira (mas há pelo menos uma concretização em proposição falsa). Finalmente, esta mesma condição quando considerada no universo "$\mathbb R \setminus \{ 0 \}$" é uma condição impossível, isto é, todas as concretizações dão origem a proposições falsas. No caso do exemplo dado acima em linguagem seminatural, trata-se claramente de uma condição possível (mas não universal).

Quantificadores

Na verdade, o que o Exemplo 1 referido nos transmite é uma afirmação verdadeira (e não somente uma condição), embora talvez tal não esteja muito bem explicado. Atentando no parêntesis contido nesse exemplo, o que nos está a ser dito nesse exemplo é que "qualquer que seja o $x \in \mathbb R$, $(x-1)x=x^2-x$". O que se pode escrever na forma mais concisa

(1)
\begin{align} \forall x \in \mathbb R,\, (x-1)x=x^2-x. \end{align}

O símbolo "$\forall$" lê-se "qualquer que seja o(a)" ou "para cada" e designa-se por quantificador universal.

Existe um outro quantificador que também pode ser útil para descrever concisamente afirmações e que é o chamado quantificador existencial "$\exists$", que se lê "existe pelo menos um(a)" e que é depois completado pela expressão "tal que", traduzida pelo símbolo ":". Por exemplo,

(2)
\begin{align} \exists x \in \mathbb R :\, (x-1)x \not= x^2-x, \end{align}

ou, em linguagem mais próxima da natural, "existe pelo menos um $x \in \mathbb R$ tal que $(x-1)x$ é diferente de $x^2-x$" é uma afirmação falsa, pois contraria a afirmação verdadeira que tínhamos escrito anteriormente. Já

(3)
\begin{align} \exists x \in \mathbb R : \, 2x=x \end{align}

é, pelo que vimos acima, uma afirmação verdadeira. Assim como

(4)
\begin{align} \exists x, y \in \{ \mbox{seres humanos} \}:\, x \mbox{ é irmã(o) de } y. \end{align}

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