Linguagem e lógica matemáticas - inf. adicional - parte 2

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Condições, soluções e conjuntos

Uma das atividades mais comuns em matemática, e em Cálculo em especial, é determinar os valores das variáveis que fazem com que uma dada condição se torne numa proposição verdadeira (ou, como também se diz, que verificam ou satisfazem essa condição, ou que são soluções dessa condição). Chama-se a tal atividade resolver uma condição. Estás certamente familiarizado com essa expressão no caso de equações e de inequações (resolver uma equação, resolver uma inequação).

De modo a clarificarmos um pormenor que pode não ser muito claro na explicação acima (e de modo também a ajudar-nos nas explicações que se seguem) vamos introduzir as notações $a(x)$ e $b(x)$ para designar condições dependentes da variável $x$ pertencente a um certo universo $U$. No caso de condições dependentes de mais do que uma variável, usaremos à mesma apenas um $x$ para designar o "grupo" de variáveis. Damos um exemplo, para ser mais claro aquilo que pretendemos:

Considera a condição $(x+y)^2=x^2+y^2$, para $x,y \in \mathbb R$. Podemos considerar esta condição como um exemplo de $a(u)$, com $u=(x,y) \in \mathbb R^2$, onde portanto o universo $U$ é $\mathbb R^2$. E apenas estamos a usar aqui $a(u)$ em vez de $a(x)$ porque a letra $x$ já estava ocupada com outro sentido.

As soluções desta condição $a(u)$ são os pares $u=(x,y) \in \mathbb R^2$ que fazem com que $a(u)$ se transforme numa proposição verdadeira. Neste caso é fácil verificar quais são:

(1)
\begin{eqnarray} & & \; (x+y)^2=x^2+y^2 \\ & \Leftrightarrow & \; x^2+2xy+y^2 = x^2+y^2 \\ & \Leftrightarrow & \; 2xy=0 \\ & \Leftrightarrow & \; x=0 \, \vee \, y=0. \end{eqnarray}

Portanto são os pares $(x,y) \in \mathbb R^2$ tais que pelo menos uma das coordenadas é zero. Em particular, não se diz, por exemplo, que $x=0$ é solução, pois $x$ é apenas uma das componentes de cada solução. Chama-se neste caso conjunto das soluções ao conjunto

(2)
\begin{align} \{ (x,y) \in \mathbb R^2: x=0 \, \vee y=0 \}. \end{align}

Chama-se de uma maneira geral conjunto das soluções de uma condição $a(x)$ (num universo $U$) ao conjunto

(3)
\begin{align} \{ x \in U : a(x) \mbox{ é verdadeira} \} \end{align}

(que, por analogia com (2), escreveremos mais simplesmente como $\{ x \in U : a(x) \}$) embora, na verdade, o que se pretende é que a parte "$a(x) \mbox{ é verdadeira}$" na descrição acima seja substituída, em cada caso, por algo mais inteligível (obtido com a resolução da condição, como fizémos no exemplo acima).

Tomando agora um ponto de vista oposto (isto é, começando com conjuntos em vez de condições), dado um conjunto num certo universo, uma das maneiras de o descrever é como conjunto das soluções de uma certa condição, como em (3). Isto é, como o conjunto dos elementos do universo em causa que satisfazem uma certa condição (também se diz então que têm a propriedade de satisfazerem essa condição). Diz-se em tal caso que o conjunto se encontra definido por compreensão. A alternativa seria ter o conjunto definido por extensão, ou seja, através da enumeração de todos os seus elementos (algo que muitas vezes não é viável1).

Implicações e equivalência

No que se segue, dadas condições $a(x)$ e $b(x)$ num mesmo universo $U$, designaremos por $A$ e $B$ os respetivos conjuntos das soluções. Temos então as seguintes definições:

$\Rightarrow$ (implica)

$a(x) \Rightarrow b(x)$ significa que $A \subset B$, isto é, que qualquer solução de $a(x)$ é também solução de $b(x)$. Compreende-se, assim, que uma maneira alternativa de ler a frase "$a(x)$ implica $b(x)$" seja "se $a(x)$, então $b(x)$". Numa implicação $a(x) \Rightarrow b(x)$ diz-se que $a(x)$ é o antecedente e que $b(x)$ é o consequente.

$\Leftarrow$ (é implicado(a) por)

$a(x) \Leftarrow b(x)$ significa que $A \supset B$, isto é, que qualquer solução de $b(x)$ é também solução de $a(x)$ (logo tem o mesmo significado que escrever $b(x) \Rightarrow a(x)$). Compreende-se, assim, que uma maneira alternativa de ler a frase "$a(x)$ é implicado(a) por $b(x)$" seja "$a(x)$ se $b(x)$".

$\Leftrightarrow$ (é equivalente a)

$a(x) \Leftrightarrow b(x)$ significa que se verifica tanto $a(x) \Rightarrow b(x)$ como $a(x) \Leftarrow b(x)$, ou, em termos de conjuntos das soluções, que $A=B$, ou seja, que as duas condições têm o mesmo conjunto das soluções. Compreende-se, assim, que uma maneira alternativa de ler a frase "$a(x)$ é equivalente a $b(x)$" seja "$a(x)$ se e só se $b(x)$", onde por vezes a expressão "se e só se" é abreviada para "sse".

Foi com este sentido preciso que o sinal "$\Leftrightarrow$" foi usado em cada uma das passagens na resolução feita em (1) acima. Em particular, em cada passagem o conjunto das soluções não é alterado. Para o efeito usaram-se regras que supomos conhecidas, como a fórmula do quadrado da soma, regras para a simplificação de equações e a lei do anulamento do produto.

Vemos, assim, que é de todo conveniente efetuar as passagens na resolução de uma condição através de equivalências. Infelizmente nem sempre tal é possível ou, pelo menos, não é imediatamente claro, e por isso por vezes estuda-se cada uma das implicações "$\Rightarrow$" e "$\Leftarrow$" separadamente.

Exemplo

Pretende-se resolver a equação $\sqrt{2x+8} = x$2 em $\mathbb R$. Uma primeira ideia razoável é elevar ambos os membros ao quadrado (mantendo o sinal de igual), eliminando desse modo o incómodo sinal de raiz. O problema é que essa operação não mantém necessariamente a equivalência entre equações. O que se pode dizer com toda a certeza é apenas que

(4)
\begin{align} \sqrt{2x+8} = x \; \Rightarrow \; 2x+8 = x^2 \end{align}

e depois é fácil ver, usando a fórmula resolvente para equações do 2.º grau, que

(5)
\begin{align} 2x+8 = x^2 \; \Leftrightarrow \; x=-2 \, \vee \, x=4. \end{align}

No entanto, devido à passagem (4), apenas podemos nesta fase dizer que o conjunto das soluções da equação dada está contido no conjunto $\{ -2, 4 \}$. Na verdade, está estritamente contido, pois é fácil ver por inspeção direta que, embora $4$ seja solução, $-2$ não é. Em conclusão, o conjunto das soluções da equação dada é $\{ 4 \}$.

Conjunção e interseção, disjunção e união, negação e complementar

Usámos acima o símbolo "$\vee$" entre condições, por isso aproveitamos para recordar o significado desse e de outros símbolos relacionados. Convém, no entanto, fazer-se aqui uma distinção importante relativamente aos símbolos tratados acima: enquanto, por exemplo, $a(x) \Rightarrow b(x)$ é uma proposição (subentendido o universo de variação de $x$), $a(x) \vee b(x)$ é, como veremos, uma condição.

$\vee$ (ou)

$a(x) \vee b(x)$ é a3 condição que tem como conjunto das soluções a união $A \cup B$. Como consequência, dado um qualquer $x \in U$, a afirmação $a(x) \vee b(x)$ é verdadeira se e só se pelo menos uma das afirmações $a(x)$, $b(x)$ o for. Compreende-se, assim, o motivo pelo qual o símbolo "$\vee$" se lê "ou". Nota, no entanto, que este "ou" não é exclusivo. Quando se passa de $a(x)$, $b(x)$ para $a(x) \vee b(x)$ diz-se que se fez a disjunção das duas condições.

$\wedge$ (e)

$a(x) \wedge b(x)$ é a condição que tem como conjunto das soluções a interseção $A \cap B$. Como consequência, dado um qualquer $x \in U$, a afirmação $a(x) \wedge b(x)$ é verdadeira se e só se ambas as afirmações $a(x)$, $b(x)$ o forem. Compreende-se, assim, o motivo pelo qual o símbolo "$\wedge$" se lê "e". Quando se passa de $a(x)$, $b(x)$ para $a(x) \wedge b(x)$ diz-se que se fez a conjunção das duas condições.

$\sim$ (não)

$\sim a(x)$ é a condição que tem como conjunto das soluções o complementar $A^c$ de $A$. Como consequência, dado um qualquer $x \in U$, a afirmação $\sim a(x)$ é verdadeira se e só se a afirmação $a(x)$ é falsa. Compreende-se, assim, o motivo pelo qual o símbolo "$\sim$" se lê "não". Quando se passa de $a(x)$ para $\sim a(x)$ diz-se que se fez a negação da condição.

Exercícios

  1. Mostra que
    1. $\sim (\sim a(x)) \; \Leftrightarrow \; a(x)$,
    2. $\sim (a(x) \vee b(x)) \; \Leftrightarrow \; (\sim a(x)) \wedge (\sim b(x))$,
    3. $\sim (a(x) \wedge b(x)) \; \Leftrightarrow \; (\sim a(x)) \vee (\sim b(x))$.
  2. Mostra que "$a(x) \Rightarrow b(x)$" é falsa se e só se "$\exists x \in U : \, a(x) \wedge (\sim b(x))$" é verdadeira.
  3. Mostra que
    1. "$\forall x \in U, \, a(x)$" é falsa se e só se "$\exists x \in U : \: \sim a(x)$" é verdadeira,
    2. "$\exists x \in U : \, a(x)$" é falsa se e só se "$\forall x \in U, \: \sim a(x)$" é verdadeira.

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